求任意階遞推關(guān)系通項(xiàng)的矩陣方法

趙曉蘇，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

1 問題提出

在科學(xué)研究和生產(chǎn)實(shí)踐中往往會(huì)遇到某些量之間存在著某種遞推關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為遞推公式，例如

其中an-1，an，…，an+m-2，b0，b1，…bm-1(n=1，2，…；m=2，3，…)為常數(shù).這是一種m階常系數(shù)線性遞推關(guān)系，具有形式簡(jiǎn)單、應(yīng)用廣泛等特點(diǎn).文獻(xiàn)[1]利用母函數(shù)和導(dǎo)數(shù)方法求二階線性遞推關(guān)系的通項(xiàng)，本文用矩陣方法將求二階線性遞推關(guān)系通項(xiàng)的問題推廣到求任意階遞推關(guān)系通項(xiàng)的問題.具體方法是：首先將任意階遞推關(guān)系用矩陣表示，求其矩陣的特征值和特征向量，然后把矩陣對(duì)角化，最后利用矩陣乘法求得任意階遞推關(guān)系的通項(xiàng)[2-5].

2 問題解決

用矩陣方法求任意階遞推關(guān)系通項(xiàng)的具體步驟為：

第1步，將遞推式(1)用矩陣表示為

則式(2)可記作

利用式(3)有

第2步，遞推問題轉(zhuǎn)化為求An.首先求出A的特征值與特征向量，然后將A對(duì)角化，最后求得An.

第3步，利用矩陣乘法，計(jì)算Un=AnU0.

第4步，取Un的第1行第1列的元素，得到un.

下面利用具體例子來說明用矩陣方法求任意階遞推關(guān)系通項(xiàng)的詳細(xì)計(jì)算過程.

例1 裴波那契(Fibonacci)數(shù)列問題：如果1對(duì)兔子出生1個(gè)月后開始繁殖，每個(gè)月產(chǎn)生1對(duì)后代.現(xiàn)在有1對(duì)新生兔子，假定兔子只繁殖，沒有死亡，那么問每月初會(huì)有多少兔子.

這對(duì)新生兔子出生時(shí)記為零月初，這時(shí)只有1對(duì)兔子，1個(gè)月后即1月初，還未開始繁殖，所以依然是1對(duì).2月初，它們生了1對(duì)兔子，因此總共有2對(duì)兔子.3月初，它們又生了1對(duì)兔子，而在1月中生下的那對(duì)兔子還未繁殖，于是一共有3對(duì)兔子.如此繼續(xù)下去，將每個(gè)月初兔子的數(shù)目排成一個(gè)數(shù)列，從0月初開始，一個(gè)月接著一個(gè)月排下去，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，此數(shù)列稱為裴波那契數(shù)列.

假定第n月初的兔子數(shù)為un，從裴波那契數(shù)列知

這是一個(gè)遞推關(guān)系.顯然初始值u0=1，u1=1.由此可遞推出第n個(gè)月初兔子的數(shù)目，利用矩陣的特征值可以直接用一個(gè)顯式來表達(dá)通項(xiàng)un.下面給出解題的具體步驟.

第1步，將式(4)用矩陣表示為

于是Un=AnU0.

第2步，遞推問題轉(zhuǎn)化為求An.首先求出A的特征值與特征向量，即

A的特征值為，相應(yīng)的特征向量為.然后將A對(duì)角化，即

最后求An，有

第3步，計(jì)算Un=AnU0.利用矩陣乘法，得

第4步，取Un的第1行第1列的元素，得到

例2 設(shè)un+2=-6un-1+5un+2un+1(n≥1)，且滿足u0=1，u1=2，u2=3，求通項(xiàng)un.

第1步，將遞推關(guān)系un+2=-6un-1+5un+2un+1用矩陣表示為

令U且，則式(6)可記作Un=AUn-1，n=1，2，…，于是Un=AnU0.

第2步，遞推問題轉(zhuǎn)化為求An.首先求出A的特征值與特征向量，即

A的特征值為λ1=1，λ2=-2，λ3=3，相應(yīng)的特征向量為，然后將A對(duì)角化，即

第3步，計(jì)算Un=AnU0.利用矩陣乘法，得

第4步，取Un的第1行第1列的元素，得到

[1]趙一鳴. 某類遞推公式通項(xiàng)的一種解法[J]. 江蘇廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，1995，13(1)：89-94.

[2]錢椿林. 線性代數(shù)[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[3]《現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)手冊(cè)》編委會(huì). 現(xiàn)代應(yīng)用分析卷[M].北京：清華大學(xué)出版社，1998.

[4]錢椿林. 高等數(shù)學(xué)[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2010.

[5]《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫組. 數(shù)學(xué)手冊(cè)[M]. 北京：高等教育出版社，1984：88-90.