SCE-UA算法在水環(huán)境系統(tǒng)優(yōu)化問題中的應(yīng)用

張 景，張文婷，邢寶龍

(河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，江蘇南京 210098)

SCE-UA算法在水環(huán)境系統(tǒng)優(yōu)化問題中的應(yīng)用

張 景，張文婷，邢寶龍

(河海大學(xué)水文水資源學(xué)院，江蘇南京 210098)

把SCE-UA算法應(yīng)用到水環(huán)境系統(tǒng)優(yōu)化問題的求解中，通過對問題的預(yù)處理，求解3個典型的優(yōu)化問題:①二維穩(wěn)態(tài)水質(zhì)模型橫向擴(kuò)散系數(shù)及流速推求;②排放口最優(yōu)化處理;③水工建筑物優(yōu)化調(diào)度。結(jié)果表明:SCE-UA算法不但能求解一元函數(shù)約束的優(yōu)化問題，通過構(gòu)造罰函數(shù)，還能夠成功求解有多元函數(shù)約束的優(yōu)化問題。認(rèn)為該算法不依賴導(dǎo)數(shù)和優(yōu)化問題的具體形式，所需參數(shù)極少，求解精度高，通用性較強(qiáng)，值得在環(huán)境系統(tǒng)優(yōu)化中推廣。

SCE-UA算法;水環(huán)境系統(tǒng)優(yōu)化;縱向擴(kuò)散系數(shù)推求;排放口優(yōu)化;水閘調(diào)度

在水環(huán)境管理的過程中會遇到大量的水環(huán)境系統(tǒng)優(yōu)化問題，如排污口優(yōu)化設(shè)計、水質(zhì)模型參數(shù)識別以及水質(zhì)優(yōu)化調(diào)度等，這些問題都可以歸結(jié)為非線性優(yōu)化問題。目前常用的求解方法有矩法、直線圖解法、經(jīng)驗(yàn)公式法、模糊非線性規(guī)劃法、智能優(yōu)化算法等，這些方法有的與水質(zhì)模型的具體形式有關(guān)，且參數(shù)的估計精度較難控制［1-2］;有的較為復(fù)雜，如遺傳算法，其程序的編制異常煩瑣且參數(shù)眾多，使得其應(yīng)用受到限制。SCE-UA算法參數(shù)少，過程簡單，在解決水環(huán)境系統(tǒng)優(yōu)化問題中潛力很大。

SCE-UA算法是一種全局優(yōu)化算法［3-4］。宋星原等［5］把SCE-UA算法、遺傳算法和改進(jìn)的單純形法應(yīng)用到三水源新安江模型參數(shù)自動優(yōu)選中，對各種優(yōu)化算法的應(yīng)用效果進(jìn)行分析比較。結(jié)果表明，SCE-UA算法綜合了遺傳算法和單純形法優(yōu)點(diǎn)，能夠一致、快速地收斂到全局最優(yōu)解，取得了較為滿意的結(jié)果。雷曉輝等［6］在分布式水文模型EasyDHM中運(yùn)用SCE-UA算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，結(jié)果表明SCEUA算法是一種能解決高維參數(shù)全局優(yōu)化問題的有效算法。辛朋磊等［7］運(yùn)用SCE-UA算法進(jìn)行模型尋優(yōu)計算，得到合理的水資源優(yōu)化配置。唐運(yùn)憶等［8］運(yùn)用SCE-UA算法對集總式新安江模型匯流參數(shù)及半分布式TOPMODEL模型進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)對TOPMODEL參數(shù)自動優(yōu)選的結(jié)果好于新安江模型。馬海波等［9］用SCE-UA算法對TOPMODEL參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，并對優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明SCE-UA算法可用于 TOPMODEL模型參數(shù)率定。唐和生等［10］證明SCE-UA算法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識別問題的可行性、穩(wěn)定性和有效性。

以上研究多是把SCE-UA算法用于水文模型參數(shù)的優(yōu)化，優(yōu)化問題中含有的約束多是參數(shù)的上下限。在水環(huán)境系統(tǒng)中，約束多目標(biāo)優(yōu)化問題非常常見，但很少采用SCE-UA算法用于模型優(yōu)化，為此筆者嘗試運(yùn)用該算法求解水環(huán)境系統(tǒng)優(yōu)化問題。

1 SCE-UA算法

1.1 算法的基本步驟

SCE-UA算法的基本思想是把確定性的復(fù)合形搜索技術(shù)和自然界中的生物競爭進(jìn)化原理相結(jié)合。算法基本步驟如下［3］:

步驟1 問題預(yù)處理。利用權(quán)重法與罰函數(shù)法處理算法中的多目標(biāo)與約束，使問題成為僅含有自變量界限約束的單目標(biāo)優(yōu)化問題。

步驟2 初始化。假定待優(yōu)化問題為n維問題，選取參與進(jìn)化的復(fù)合形個數(shù)p(p≥1)和每個復(fù)合形所包含的頂點(diǎn)數(shù)m(m≥n+1)，則計算樣本點(diǎn)數(shù)目s=p·m。

步驟3 產(chǎn)生樣本點(diǎn)。在可行域內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生s個樣本點(diǎn)x1，x2，…，xs，分別計算每一點(diǎn)xi的函數(shù)值fi=f(xi)，i=1，2，…，s。

步驟4 樣本點(diǎn)排序。把s個樣本點(diǎn)(xi，fi)按函數(shù)值升序排列，排序后仍記為((xi，fi)，i=1，2，…，s)，其中f1≤f2≤…≤fs，記D={(xi，fi)，i=1，2，…，s}。

步驟5 劃分復(fù)合形群體。將D劃分為p個復(fù)合形A1，A2，…，Ap，每個復(fù)合形含有m個頂點(diǎn)，其中Ak表示第k個復(fù)合形，k=1，2，…，p。

步驟6 復(fù)合形進(jìn)化。按復(fù)合形進(jìn)化算法分別進(jìn)化各個復(fù)合形。

步驟7 復(fù)合形混合。把進(jìn)化后的每個復(fù)合形的所有頂點(diǎn)組合成新的點(diǎn)集，再次按函數(shù)值fi升序排列，排列后不妨仍記為D，對D按目標(biāo)函數(shù)升序進(jìn)行排列。

步驟8 收斂性判斷。如果滿足收斂條件則停止，否則返回步驟5。

1.2 算法的終止準(zhǔn)則

①目標(biāo)函數(shù)被調(diào)用計算目標(biāo)值的次數(shù)達(dá)到最大值Nmax;②目標(biāo)函數(shù)連續(xù)循環(huán)規(guī)定的次數(shù)Lmax后仍無法提高規(guī)定的精度。

2 優(yōu)化模型的預(yù)處理及求解

SCE-UA算法在以往的應(yīng)用中常用來求解僅帶有決策變量取值范圍的約束優(yōu)化問題，但在水環(huán)境系統(tǒng)規(guī)劃管理過程中，常會遇到無約束優(yōu)化問題、約束優(yōu)化問題以及不可導(dǎo)優(yōu)化問題。針對上述3種情況，分別選取了3個典型實(shí)例，并針對不同情況通過不同處理方法，使得SCE-UA算法能夠適用不同類型問題的優(yōu)化求解。實(shí)例中各參數(shù)取值如表1所示。

表1 各實(shí)例參數(shù)設(shè)置

2.1 二維穩(wěn)態(tài)水質(zhì)模型橫向擴(kuò)散系數(shù)及流速的推求

在斷面形狀、河底坡降沿程基本不變的河流上游斷面的中點(diǎn)，連續(xù)穩(wěn)定排放示蹤劑溶液。水流方向?yàn)閤軸方向，河流橫向?yàn)閥軸方向，坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)在排放點(diǎn)，假設(shè)示蹤劑溶液在水深方向瞬間混合均勻并忽略河流的縱向擴(kuò)散作用。在以上條件下求得二維穩(wěn)態(tài)水質(zhì)模型的解析解為

式中:ρ(x，y)為點(diǎn)(x，y)處污染物質(zhì)量濃度，mg/L;x，y分別為縱、橫坐標(biāo)，m;M0為單位時間內(nèi)排放的污染物量，即源強(qiáng)，mg/s;ux為河流x向平均速率，m/s;h為河道平均水深，m;Dy為河流y向擴(kuò)散系數(shù)，m2/s;q0為示蹤劑流量，L/s;ρ0為示蹤劑質(zhì)量濃度，mg/L。

文獻(xiàn)［1］中，在x=1200m處沿河流橫向不同距離采集水樣，實(shí)測得數(shù)據(jù)y(i)，ρ(i)。利用SCE-UA算法對Dy、ux進(jìn)行識別，所形成的優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)為

式中:fmin為目標(biāo)函數(shù)值;ρ'(i)為根據(jù)解析式得到的在y(i)處的示蹤劑濃度計算值。

對二維穩(wěn)態(tài)水質(zhì)模型橫向擴(kuò)散系數(shù)及流速的推求問題，由于在此優(yōu)化問題中只有關(guān)于各決策變量的一元函數(shù)約束，故可以直接利用SCE-UA算法對優(yōu)化模型進(jìn)行求解，目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化過程見圖1。迭代計算13次后，目標(biāo)函數(shù)趨于穩(wěn)定，此過程中目標(biāo)函數(shù)被調(diào)了220次。優(yōu)化結(jié)果為Dy=0.009 995 7，ux=1.0004，與真值Dy=0.01，ux=1.0非常接近，相對誤差為0.04%。

圖1 目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化過程

2.2 排污口處理率最優(yōu)化

排污口處理率最優(yōu)化是指在一定的水質(zhì)約束和技術(shù)約束條件下，尋求各污水廠最佳處理效率的組合。這個問題的基礎(chǔ)是假設(shè)各污染源的污水處理規(guī)模不變，通過調(diào)整各處理廠的處理效率，使整個區(qū)域的污水處理費(fèi)用最低。某河道［11］沿岸3個主要排污口污水處理效率的最優(yōu)化模型為

式中:Fmin為最小處理總費(fèi)用，元;ηi為第i個排放口的污水處理效率，i=1，2，3。

由于上述問題中含有多元函數(shù)約束，SCE-UA算法難以直接應(yīng)用，為此需構(gòu)造罰函數(shù)，把約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，構(gòu)造的罰函數(shù)形式為

式中:X為目標(biāo)變量;f(X)為原目標(biāo)函數(shù);M為懲罰因子，在求解之前要先化成標(biāo)準(zhǔn)形式;gi(X)為約束，i=1，2，…，l。

用二次規(guī)劃算法求解上述排污口最優(yōu)化處理問題，其真值為:η1=0.987，η2=0.421，η3=0.023，F(xiàn)min=1435.447。應(yīng)用SCE-UA算法對排污口優(yōu)化模型進(jìn)行求解，構(gòu)造罰函數(shù)，M取為100000，排污口處理率優(yōu)化模型求解過程見圖2，最優(yōu)解為η1=0.98631，η2=0.42458，η3=0.022395，F(xiàn)min=1435.668，其中處理總費(fèi)用的相對誤差為0.02%，與真值非常接近，滿足工程實(shí)際的需要。

2.3 生態(tài)優(yōu)化調(diào)度

在很多水環(huán)境優(yōu)化模型中，都存在目標(biāo)函數(shù)不可導(dǎo)的問題，一般算法在求解時必須進(jìn)行導(dǎo)數(shù)推求，而此類問題難以求導(dǎo)，因此難以解決此類優(yōu)化問題。但SCE-UA算法在求解時不依賴任何導(dǎo)數(shù)信息，且在水文模型參數(shù)率定中取得較好效果，因此可以嘗試將其與水動力模型結(jié)合，用于優(yōu)化生態(tài)調(diào)度。

圖2 排污口處理率優(yōu)化模型求解過程

現(xiàn)以磨洋河水系生態(tài)調(diào)度優(yōu)化為例進(jìn)行說明。由于河道地形的原因，磨洋河水系流量自行分配不合理，需要新建水閘對流量進(jìn)行控制，以得到合理的河段流量，建閘位置如圖3所示?，F(xiàn)以閘門的控制高度為決策變量，對調(diào)度進(jìn)行優(yōu)化，使得陳厝河分配流量為0.5m3/s，福興河與新厝河分配流量為1m3/s，各河段的水流流向如圖3所示。衡量每個目標(biāo)點(diǎn)(水工建筑物)處流量調(diào)控效果的評價函數(shù)可用式(5)表示。由于是河網(wǎng)調(diào)控問題，存在多個目標(biāo)點(diǎn)，為了把多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為單一目標(biāo)優(yōu)化，可以對不同的評價函數(shù)加一個權(quán)重。最后得到的優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)見式(5)～(6):

式中:Rmse為評價函數(shù)值;Obs，i、Sim，i分別為第i個目標(biāo)值與模擬值(通過相應(yīng)的河流動力學(xué)模型求解)時間序列，其中i=1，2，…，N;Fpool，i為目標(biāo)函數(shù)值;k為評價函數(shù)的個數(shù);wj為相應(yīng)的評價函數(shù)的權(quán)重，j=1，2，…，k;Fj為第j個評價函數(shù)。此次優(yōu)化中，各評價函數(shù)的權(quán)重取為1。

圖3 磨洋河水系生態(tài)調(diào)度示意圖

最后，可以概化出如下優(yōu)化模型:式中:m為參數(shù)個數(shù);θi為第i個參數(shù)，i=1，2，…，m;θmin，i和 θmax，i分別為m個參數(shù)的取值上、下限。

優(yōu)化結(jié)果:應(yīng)用SCE-UA算法對優(yōu)化模型進(jìn)行求解，目標(biāo)函數(shù)僅被調(diào)用167次，便滿足了算法終止準(zhǔn)則，浦東河上水閘閘門高程為5.27m，福興河上水閘閘門高程為4.92 m，新厝河上水閘閘門高程為4.66 m，調(diào)控后的河道分流流量如圖4所示。

圖4 磨洋河水系優(yōu)化調(diào)度后河道分流效果

3 結(jié)語

SCE-UA算法的精度和效率很高，不但可以優(yōu)化無約束優(yōu)化問題，還可以處理經(jīng)罰函數(shù)法處理后的有約束優(yōu)化問題以及經(jīng)權(quán)重法處理后的多目標(biāo)優(yōu)化問題，在水環(huán)境模型優(yōu)化問題中能廣泛應(yīng)用;該算法不依賴導(dǎo)數(shù)與優(yōu)化問題的具體形式，能夠有效求解高度非線性優(yōu)化問題?？傊?，SCE-UA算法所需參數(shù)較少，應(yīng)用簡單方便，適用性廣，在水環(huán)境系統(tǒng)優(yōu)化問題的求解中有很高的推廣價值。

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Application of SCE-UA algorithm to water environmental system optimization

ZHANG Jing，ZHANG Wenting，XING Baolong
(College of Hydrology and Water Resources，Hohai University，Nanjing 210098，China)

The SCE-UA algorithm was used to solve the optimization problems of the water environmental system.

Through preprocessing the problems，this algorithm solved three typical optimization problems，which included(1)

calculation of the transverse diffusion coefficient and flow velocity of the two-dimensional steady water quality model，(2)outfall optimization，and(3)optimal scheduling of hydraulic construction.The results show that，not only can the SCE-UA algorithm solve the optimization problem of unary function constraints，it can also successfully solve the optimization problem of multivariate function constraints by constructing a penalty function.The algorithm does not depend on the derivative and the specific forms of the problems;it needs few parameters，but has high precision and strong versatility，and thus it can be widely applied to the optimization of environmental systems.

SCE-UA algorithm;water environmental system optimization;longitudinal diffusion coefficient calculation;outfall optimization;sluice operation

X321

A

1004-6933(2014)03-0061-04

10.3969/j.issn.1004-6933.2014.03.012

張景(1987—)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)樗Y源環(huán)境。E-mail:saintitaly@sina.com

(收稿日期:2014-02-13 編輯:徐 娟)