淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法解題

劉小利

一、問題的提出

G·波利亞有一句名言“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”。解決數(shù)學(xué)問題時，常規(guī)的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些問題按照這樣的思維方式來解決問題卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，就要求我們改變思維方向，換一個角度去思考，找到一條繞過障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一。G·波利亞在他的《怎樣解題》中給出了“怎樣解題”表，其中第二步是擬定計劃，“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題?！边\用輔助性數(shù)學(xué)模式，這也正是我們用構(gòu)造法解決問題的思路。

構(gòu)造法的特點：構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對象過程直觀，有很大靈活性。

構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，它不同于一般的邏輯方法，需要一步步地導(dǎo)求必要條件，直至推斷出結(jié)論。它屬于非常規(guī)思維，其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”。構(gòu)造法解決問題的活動是一種創(chuàng)造性的思維活動，關(guān)鍵是借助對問題特征的敏銳觀察展開豐富的聯(lián)想，通過觀察、聯(lián)想，構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)對象，或構(gòu)造出一種新的問題形式，使問題的結(jié)論得以肯定或否定，或使問題轉(zhuǎn)化。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的構(gòu)造解題

用構(gòu)造法解題時，因被構(gòu)造的對象是多種多樣的，可按它的內(nèi)容分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、數(shù)學(xué)模型、算法等類別。本文著重介紹以下幾種：

（一）構(gòu)造輔助數(shù)與式

不等式證明題通常需要構(gòu)造一個不等式，從它出發(fā)進行推理進而獲得解決。

（二）構(gòu)造輔助函數(shù)

求解某些數(shù)學(xué)問題時，根據(jù)問題的條件，構(gòu)想、組合出一種新的函數(shù)關(guān)系，使問題在新的觀點下實行轉(zhuǎn)換。即：通過構(gòu)造輔助函數(shù)，把對原問題的研究轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性去解決輔助函數(shù)的問題。

例2.已知a>b>0，m>0，求證

（三）構(gòu)造輔助方程

方程作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它與數(shù)式、函數(shù)等諸多知識有著密切聯(lián)系。

例3.若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證：x，y，z成等差數(shù)列.

證明：構(gòu)造以x-y，y-z為根的二次方程

t-（x-y）t-（y-z）=0 <=> t2+（y-z）t+（x-y）（y-z）=0，

有△=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0.

可知：方程有兩個相等根，即x-y=y-z，x+z=2y，所以，x，y，z成等差數(shù)列.

（四）構(gòu)造幾何圖形

華羅庚曾說：“數(shù)離開形少直觀，形離開數(shù)難入微?！崩脭?shù)形結(jié)合的思想，可溝通代數(shù)、幾何的關(guān)系，實現(xiàn)難題巧解。

例4.求函數(shù)y=的最值.

證明：如下圖，因為動點在單位圓上運動時處于極端狀態(tài)，即：動點為切點時直線斜率分別為最大最小值，設(shè)切點分別為R、M，易知：

模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對具體問題的特點而采取相應(yīng)的解決辦法。在解題過程中，若按定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點，展開豐富的聯(lián)想，拓寬自己的思維，運用構(gòu)造法解題。運用構(gòu)造法來解題，對提高學(xué)生的解題能力也有所幫助，更重要的是，構(gòu)造法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維的手段之一，在解題過程中能夠使學(xué)生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思維的創(chuàng)新。

“探索是數(shù)學(xué)的生命線?！睒?gòu)造法的實質(zhì)是探究、創(chuàng)新，是對所學(xué)知識的深化和轉(zhuǎn)換。通過將原問題設(shè)計成新問題，拓寬學(xué)生解題思路，激發(fā)學(xué)生思維的火花。解決新問題反演原問題，提高學(xué)生解題能力，增強學(xué)生的自信心理，促進學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識、能力。整個構(gòu)造過程也是體驗數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)的過程，這也體現(xiàn)了目前教學(xué)改革的要求。

參考文獻：

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].秦璋，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]鮑曼.中學(xué)數(shù)學(xué)方法論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2002.

[3]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社，1983.

[4]張靜蓮.數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新說（研究篇）[M].上海：方志出版社，2005.

（作者單位 山西省長治市沁源縣第一中學(xué)）

編輯 楊 倩

一、問題的提出

G·波利亞有一句名言“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”。解決數(shù)學(xué)問題時，常規(guī)的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些問題按照這樣的思維方式來解決問題卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，就要求我們改變思維方向，換一個角度去思考，找到一條繞過障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一。G·波利亞在他的《怎樣解題》中給出了“怎樣解題”表，其中第二步是擬定計劃，“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題?！边\用輔助性數(shù)學(xué)模式，這也正是我們用構(gòu)造法解決問題的思路。

構(gòu)造法的特點：構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對象過程直觀，有很大靈活性。

構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，它不同于一般的邏輯方法，需要一步步地導(dǎo)求必要條件，直至推斷出結(jié)論。它屬于非常規(guī)思維，其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”。構(gòu)造法解決問題的活動是一種創(chuàng)造性的思維活動，關(guān)鍵是借助對問題特征的敏銳觀察展開豐富的聯(lián)想，通過觀察、聯(lián)想，構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)對象，或構(gòu)造出一種新的問題形式，使問題的結(jié)論得以肯定或否定，或使問題轉(zhuǎn)化。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的構(gòu)造解題

用構(gòu)造法解題時，因被構(gòu)造的對象是多種多樣的，可按它的內(nèi)容分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、數(shù)學(xué)模型、算法等類別。本文著重介紹以下幾種：

（一）構(gòu)造輔助數(shù)與式

不等式證明題通常需要構(gòu)造一個不等式，從它出發(fā)進行推理進而獲得解決。

（二）構(gòu)造輔助函數(shù)

求解某些數(shù)學(xué)問題時，根據(jù)問題的條件，構(gòu)想、組合出一種新的函數(shù)關(guān)系，使問題在新的觀點下實行轉(zhuǎn)換。即：通過構(gòu)造輔助函數(shù)，把對原問題的研究轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性去解決輔助函數(shù)的問題。

例2.已知a>b>0，m>0，求證

（三）構(gòu)造輔助方程

方程作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它與數(shù)式、函數(shù)等諸多知識有著密切聯(lián)系。

例3.若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證：x，y，z成等差數(shù)列.

證明：構(gòu)造以x-y，y-z為根的二次方程

t-（x-y）t-（y-z）=0 <=> t2+（y-z）t+（x-y）（y-z）=0，

有△=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0.

可知：方程有兩個相等根，即x-y=y-z，x+z=2y，所以，x，y，z成等差數(shù)列.

（四）構(gòu)造幾何圖形

華羅庚曾說：“數(shù)離開形少直觀，形離開數(shù)難入微?！崩脭?shù)形結(jié)合的思想，可溝通代數(shù)、幾何的關(guān)系，實現(xiàn)難題巧解。

例4.求函數(shù)y=的最值.

證明：如下圖，因為動點在單位圓上運動時處于極端狀態(tài)，即：動點為切點時直線斜率分別為最大最小值，設(shè)切點分別為R、M，易知：

模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對具體問題的特點而采取相應(yīng)的解決辦法。在解題過程中，若按定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點，展開豐富的聯(lián)想，拓寬自己的思維，運用構(gòu)造法解題。運用構(gòu)造法來解題，對提高學(xué)生的解題能力也有所幫助，更重要的是，構(gòu)造法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維的手段之一，在解題過程中能夠使學(xué)生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思維的創(chuàng)新。

“探索是數(shù)學(xué)的生命線。”構(gòu)造法的實質(zhì)是探究、創(chuàng)新，是對所學(xué)知識的深化和轉(zhuǎn)換。通過將原問題設(shè)計成新問題，拓寬學(xué)生解題思路，激發(fā)學(xué)生思維的火花。解決新問題反演原問題，提高學(xué)生解題能力，增強學(xué)生的自信心理，促進學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識、能力。整個構(gòu)造過程也是體驗數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)的過程，這也體現(xiàn)了目前教學(xué)改革的要求。

參考文獻：

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].秦璋，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]鮑曼.中學(xué)數(shù)學(xué)方法論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2002.

[3]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社，1983.

[4]張靜蓮.數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新說（研究篇）[M].上海：方志出版社，2005.

（作者單位 山西省長治市沁源縣第一中學(xué)）

編輯 楊 倩

一、問題的提出

G·波利亞有一句名言“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題”。解決數(shù)學(xué)問題時，常規(guī)的思考方法是由已知到未知的定向思考，但有些問題按照這樣的思維方式來解決問題卻比較困難，甚至無從著手。在這種情況下，就要求我們改變思維方向，換一個角度去思考，找到一條繞過障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一。G·波利亞在他的《怎樣解題》中給出了“怎樣解題”表，其中第二步是擬定計劃，“找出已知數(shù)與未知數(shù)之間的聯(lián)系。如果找不出直接的聯(lián)系，你可能不得不考慮輔助問題?！边\用輔助性數(shù)學(xué)模式，這也正是我們用構(gòu)造法解決問題的思路。

構(gòu)造法的特點：構(gòu)造新的數(shù)學(xué)對象過程直觀，有很大靈活性。

構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，它不同于一般的邏輯方法，需要一步步地導(dǎo)求必要條件，直至推斷出結(jié)論。它屬于非常規(guī)思維，其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”。構(gòu)造法解決問題的活動是一種創(chuàng)造性的思維活動，關(guān)鍵是借助對問題特征的敏銳觀察展開豐富的聯(lián)想，通過觀察、聯(lián)想，構(gòu)造出滿足條件的數(shù)學(xué)對象，或構(gòu)造出一種新的問題形式，使問題的結(jié)論得以肯定或否定，或使問題轉(zhuǎn)化。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的構(gòu)造解題

用構(gòu)造法解題時，因被構(gòu)造的對象是多種多樣的，可按它的內(nèi)容分為數(shù)、式、函數(shù)、方程、數(shù)列、復(fù)數(shù)、圖形、圖表、數(shù)學(xué)模型、算法等類別。本文著重介紹以下幾種：

（一）構(gòu)造輔助數(shù)與式

不等式證明題通常需要構(gòu)造一個不等式，從它出發(fā)進行推理進而獲得解決。

（二）構(gòu)造輔助函數(shù)

求解某些數(shù)學(xué)問題時，根據(jù)問題的條件，構(gòu)想、組合出一種新的函數(shù)關(guān)系，使問題在新的觀點下實行轉(zhuǎn)換。即：通過構(gòu)造輔助函數(shù)，把對原問題的研究轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性去解決輔助函數(shù)的問題。

例2.已知a>b>0，m>0，求證

（三）構(gòu)造輔助方程

方程作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它與數(shù)式、函數(shù)等諸多知識有著密切聯(lián)系。

例3.若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，求證：x，y，z成等差數(shù)列.

證明：構(gòu)造以x-y，y-z為根的二次方程

t-（x-y）t-（y-z）=0 <=> t2+（y-z）t+（x-y）（y-z）=0，

有△=（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0.

可知：方程有兩個相等根，即x-y=y-z，x+z=2y，所以，x，y，z成等差數(shù)列.

（四）構(gòu)造幾何圖形

華羅庚曾說：“數(shù)離開形少直觀，形離開數(shù)難入微?！崩脭?shù)形結(jié)合的思想，可溝通代數(shù)、幾何的關(guān)系，實現(xiàn)難題巧解。

例4.求函數(shù)y=的最值.

證明：如下圖，因為動點在單位圓上運動時處于極端狀態(tài)，即：動點為切點時直線斜率分別為最大最小值，設(shè)切點分別為R、M，易知：

模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實問題的特殊性為基礎(chǔ)，針對具體問題的特點而采取相應(yīng)的解決辦法。在解題過程中，若按定勢思維去探求解題途徑比較困難時，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點，展開豐富的聯(lián)想，拓寬自己的思維，運用構(gòu)造法解題。運用構(gòu)造法來解題，對提高學(xué)生的解題能力也有所幫助，更重要的是，構(gòu)造法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維的手段之一，在解題過程中能夠使學(xué)生發(fā)散思維，謀求最佳的解題途徑，達到思維的創(chuàng)新。

“探索是數(shù)學(xué)的生命線。”構(gòu)造法的實質(zhì)是探究、創(chuàng)新，是對所學(xué)知識的深化和轉(zhuǎn)換。通過將原問題設(shè)計成新問題，拓寬學(xué)生解題思路，激發(fā)學(xué)生思維的火花。解決新問題反演原問題，提高學(xué)生解題能力，增強學(xué)生的自信心理，促進學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識、能力。整個構(gòu)造過程也是體驗數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)的過程，這也體現(xiàn)了目前教學(xué)改革的要求。

參考文獻：

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].秦璋，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]鮑曼.中學(xué)數(shù)學(xué)方法論[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2002.

[3]徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社，1983.

[4]張靜蓮.數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)新說（研究篇）[M].上海：方志出版社，2005.

（作者單位 山西省長治市沁源縣第一中學(xué)）

編輯 楊 倩