淺析運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題

摘 要：在初一數(shù)學(xué)上冊教材中實(shí)際問題與 一元一次方程是個關(guān)鍵和重點(diǎn)的內(nèi)容，一元一次方程灌穿第三章。通過總結(jié)解一元一次方程的基本過程和解決實(shí)際問題時注意的要點(diǎn)，不僅有利于教師開展教學(xué)工作，也有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)。讓學(xué)生更好的掌握運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題的方法，抓住本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中少走彎路和發(fā)現(xiàn)不足處。

關(guān)鍵詞：一元一次方程 主要類型 要點(diǎn)分析 等量關(guān)系

中圖分類號：G634 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）04（b）-0052-01

在初一數(shù)學(xué)教材第三章第四節(jié)中有個內(nèi)容是一元一次方程在解決實(shí)際問題的應(yīng)用。對于這類問題，我做了幾種分類并總結(jié)了解一元一次方程的基本過程，而且對此進(jìn)行了相應(yīng)的分析，總結(jié)了運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題的要點(diǎn)。歸納并總結(jié)了書上以及別的文獻(xiàn)上的相關(guān)內(nèi)容，最后提出了自己的見解和觀點(diǎn)。

一元一次方程主要是下面這種類型：

未知數(shù)的個數(shù)為一個的一元一次方程。例如：當(dāng)未知數(shù)為x時、一元一次方程為ax+b=c，其中a不能為零，bc為任意的有理數(shù)。

同樣當(dāng)未知數(shù)分別為y、z、m，n等其中任意一個未知數(shù)時，方程為ay+b=c、az+b=c、 am+b=c，an+b=c，其中a不能為零，bc為任意的有理數(shù)。

解一元一次方程的基本過程為：

設(shè)未知數(shù)；根據(jù)等量關(guān)系列方程；解方程，未知數(shù)的系數(shù)化為1。

如果運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題，其基本過程為：

根據(jù)實(shí)際問題設(shè)未知數(shù)；根據(jù)等量關(guān)系列方程；解方程；未知數(shù)的系數(shù)化為1，檢驗(yàn)方程的根是否為方程的解。

運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題主要分為以下幾種類型：（1）解決增長率問題；（2）利用一元一次方程解決選擇儲蓄方式；（3）利用一元一次方程解決個人所得稅計算問題；（4）利用一元一次方程計算水費(fèi)；（5）利用一元一次方程計算路程。

在運(yùn)用一元一次方程解決實(shí)際問題時有以下要點(diǎn)：（1）當(dāng)方程中左右兩邊有同類項(xiàng)時，要移項(xiàng)，移項(xiàng)時所移的項(xiàng)要變號；（2）當(dāng)方程中左右兩邊有括號要去括號，運(yùn)用去括號的兩條法則；（3）當(dāng)方程中左右兩邊未知數(shù)的系數(shù)為分?jǐn)?shù)時，要去分母，兩邊同時乘以未知數(shù)的系數(shù)分母的最小公倍數(shù)；（4）當(dāng)方程的同旁有同類項(xiàng)時，要合并同類項(xiàng)；（5）未知數(shù)的系數(shù)一定要化為1。

下面就舉出實(shí)例來一一論證。

實(shí)例1：利用一元一次方程計算水費(fèi)。

例1，我國有很多城市的水資源很缺乏，為了減少水資源的浪費(fèi)，加強(qiáng)居民節(jié)水意識，很多城市制定了用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)一城市規(guī)定了每戶每月的標(biāo)準(zhǔn)用水量，不超過標(biāo)準(zhǔn)用水量按每立方米2.8元收費(fèi)，超過標(biāo)準(zhǔn)用水量按每立方米4元收費(fèi)。該市小華一家六月份用水量為8立方米，需交水費(fèi)為29元。問該市規(guī)定的每戶標(biāo)準(zhǔn)用水量是多少立方米？

分析：由于2.8×8=22.4<29，因此8立方米超過標(biāo)準(zhǔn)用水量。等量關(guān)系為：

總收費(fèi)=標(biāo)準(zhǔn)用水量交費(fèi)+超過標(biāo)準(zhǔn)用水量交費(fèi)。

解：設(shè)每戶標(biāo)準(zhǔn)用水量為x立方米。因?yàn)?.8×8=22.4<29所以小華一家用水量超過標(biāo)準(zhǔn)用水量，由題意得：

2.8x+4（8-x）=29

去括號，得：2.8x+32-4x=29

移項(xiàng)，得：2.8x-4x=29-32

合并同類項(xiàng)，得：-1.2x=-3

系數(shù)化為1，得：x=2.5

答：該市規(guī)定的每戶標(biāo)準(zhǔn)用水量是2.5 m3。

實(shí)例2：利用一元一次方程計算路程。

例2，甲乙兩人分別從王家莊到李家村兩地出發(fā)相向而行，已知兩地相距為145千米。甲從王家莊出發(fā)先走20分鐘，后來乙也從李家村出發(fā)，乙每小時比甲多走5千米，一小時后兩人相遇。問甲乙兩人分別走的路程為總路程幾分之幾？

分析：題中的不變量為總路程，所以等量關(guān)系為：總路程=甲走的路程+乙走的路程。

解：設(shè)甲每小時走x千米，則乙每小時走（x+5）千米，由題意列方程得：

20/60x+（x+x+5）×1=145

去分母，得：20x+60（2x+5）=145×60

去括號，得：20x+120x+5×60=145×60

移項(xiàng)，得：20x+120x=145×60-5×60

合并同類項(xiàng)，得：140x=8400

系數(shù)化為1，得：x=60

則20/60x+x=80 x+5=65

80/145=16/29 65/145=13/29

答：甲乙兩人分別走的路程為總路程的16/29和13/29。

一元一次方程也可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)。如一元一次方程ax+b=c，其中bc為任意的有理數(shù)且a不能為零。當(dāng)把a(bǔ)看作k時、x看作自變量x、c看作因變量y時，ax+b=c就變?yōu)橐淮魏瘮?shù)y=kx+b，這時就可以用一次函數(shù)來解決實(shí)際應(yīng)用題。

一元一次方程也可以轉(zhuǎn)化為二元一次方程。當(dāng)把一元一次方程ax+b=c（a不能為零）中的b看作另一未知數(shù)y、z、w、m，n等其中的任一個時，ax+b=c就可以變ax+y=c、ax+z=c、ax+w=c、ax+m=c，ax+n=c（這些方程中a和c可以不取同一個值且是任意的有理數(shù)）等。當(dāng)同一實(shí)際應(yīng)用題中由存在一個不確定值變?yōu)閮蓚€時就可以把原來的一元一次方程轉(zhuǎn)化為二元一次方程來解決應(yīng)用題。

同樣一元一次方程也可以轉(zhuǎn)化為三元一次方程。當(dāng)把一元一次方程ax+b=c（a不能為零）中的b看作是由y、z、w、m，n等其中任兩個未知數(shù)組成的時，ax+b=c就可以變ax+y+z=c、ax+z+w=c、ax+w+m=c、ax+m+n=c，ax+y+n=c等。（這些方程中a和c可以不取同一個值且是任意的有理數(shù)）等。當(dāng)同一實(shí)際應(yīng)用題中由存在一個不確定值變?yōu)槿齻€時就可以把原來的一元一次方程轉(zhuǎn)化為三元一次方程來解決應(yīng)用題。

依次類推一元一次方程也可以轉(zhuǎn)化為N元一次方程（這里N為無限大的正整數(shù)）。當(dāng)把一元一次方程ax+b=c（a不能為零）中的b看作是由y、z、w、m，n等其中任N-1個未知數(shù)組成的時，ax+b=c就可以變ax+y+ z+w+m+n+…=c、ax+ z+w+m+n+…=c、ax+w+m+n+…=c、ax+m+n+…=c，ax+y+n+…=c（這些方程中a和c 可以不取同一個值且是任意的有理數(shù)）等。當(dāng)同一實(shí)際應(yīng)用題中由存在一個不確定值變?yōu)镹個時就可以把原來的一元一次方程轉(zhuǎn)化為N元一次方程來解決應(yīng)用題。

實(shí)際問題中的一元一次方程還有其它不同種類，在解決這些實(shí)際問題中，除了以上基本過程和方法外，主要在于平時的學(xué)習(xí)和歸納及總結(jié)，就可以提出獨(dú)特的觀點(diǎn)和見解。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐斌艷，主編.數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論[M].浙江教育出版社，2003.