淺析數(shù)學(xué)期望在實(shí)際生活中的應(yīng)用

摘 要 數(shù)學(xué)期望是概率論中的一個(gè)重要概念，是隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一，體現(xiàn)了隨機(jī)變量總體取值的平均水平，本文主要闡述了數(shù)學(xué)期望的定義和性質(zhì)，討論了實(shí)際生活中的某些應(yīng)用問題，從而使我們能夠使用科學(xué)的方法對(duì)其進(jìn)行量化的評(píng)價(jià)，平衡了極大化期望和極小化風(fēng)險(xiǎn)的矛盾，達(dá)到我們期望的最佳效果。

關(guān)鍵詞 概率統(tǒng)計(jì) 數(shù)學(xué)期望 實(shí)際問題 應(yīng)用

早在17世紀(jì)，有一個(gè)賭徒向當(dāng)時(shí)的法國(guó)數(shù)學(xué)家提出一個(gè)使他苦惱了很久的問題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干局，比賽規(guī)則是先勝三局者為贏家，贏家可以獲得100法郎的獎(jiǎng)勵(lì)。他們兩人獲勝的機(jī)率相等.但是當(dāng)其中一個(gè)人贏了2局，另一個(gè)人贏了1局的時(shí)候，由于某種原因終止了賭博。問：賭資應(yīng)該怎樣分才合理？”那么如何分配這100法郎才比較公平？用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，不難得知，甲獲勝的概率為1/2+（1/2）*（1/2）=3/4，或者分析乙獲勝的概率為（1/2）*（1/2）=1/4。因此由此引出了甲的期望所得值為100*3/4=75法郎，乙的期望所得值為25法郎。這個(gè)故事里出現(xiàn)了“期望”這個(gè)詞，數(shù)學(xué)期望由此而來(lái)。在經(jīng)濟(jì)生活中，有許多問題都可以直接或間接的利用數(shù)學(xué)期望來(lái)解決，風(fēng)險(xiǎn)決策中的期望值法便是處理風(fēng)險(xiǎn)決策問題常用的方法。數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一，它代表了隨機(jī)變量總體取值的平均水平。

一、期望的概念及性質(zhì)

1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P（X=xi）= pi（i=1，2……），若級(jí)數(shù)xi pi絕對(duì)收斂，則稱該級(jí)數(shù)的和為X的數(shù)學(xué)期望，記作E（X），即：

E（X）=xi pi

2、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)f（x）為連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度，若積分xf（x）dx絕對(duì)收斂，則稱它為X的數(shù)學(xué)期望，記作E（X），即：

E（X）=xf（x）dx

3、期望的性質(zhì)

（1）E（c）=c，c為任意常數(shù)；

（2）E（cX）=cE（X），c為常數(shù)，X為變量；

（3）E（X+Y）=E（X）+E（Y），X，Y為變量；

（4）若X，Y獨(dú)立，則E（XY）=E（X）E（Y）。

二、數(shù)學(xué)期望在實(shí)際問題中的應(yīng)用

1、決策投資方案

決策方案即將數(shù)學(xué)期望最大的方案作為最佳方案加以決策。它幫助人們?cè)趶?fù)雜的情況下從可能采取的方案中做出選擇和決定。具體做法為：如果知道任一方案Ai（i=1，2，…m）在每個(gè)影響因素Sj（j=1，2，…，n）發(fā)生的情況下，實(shí)施某種方案所產(chǎn)生的盈利值及各影響因素發(fā)生的概率，則可以比較各個(gè)方案的期望盈利，從而選擇其中期望盈利最高的為最佳方案。

假設(shè)某人用10萬(wàn)元進(jìn)行為期一年的投資，有兩種投資方案：一是購(gòu)買股票；二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，若經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好可獲利4萬(wàn)元，形勢(shì)中等可獲利1萬(wàn)元，形勢(shì)不好要損失2萬(wàn)元。如果存入銀行，假設(shè)利率為8%，可得利息8000元，又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好、中、差的概率分別為30%、50%、20%。試問應(yīng)選擇哪一種方案可使投資的效益較大？

比較兩種投資方案獲利的期望大?。嘿?gòu)買股票的獲利期望是E（A1）=4€？.3+1€？.5+（-2）€？.2=1.3（萬(wàn)元），存入銀行的獲利期望是E（A2）=0.8（萬(wàn)元），由于E（A1）>E（A2），所以購(gòu)買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應(yīng)采用購(gòu)買股票的方案。在這里，投資方案有兩種，但經(jīng)濟(jì)形勢(shì)是一個(gè)不確定因素，做出選擇的根據(jù)必須是數(shù)學(xué)期望高的方案。

2、進(jìn)貨問題

設(shè)某種商品每周的需求是從區(qū)間[10，30]上均勻分布的隨機(jī)變量，經(jīng)銷商進(jìn)貨量為區(qū)間[10，30]中的某一整數(shù)，商店銷售一單位商品可獲利5000元，若供大于求，則削價(jià)處理，每處理一單位商品虧價(jià)100元，若供不應(yīng)求，則可以外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)一單位商品獲利300元，為使商品所獲利潤(rùn)期望不少于9280，試確定進(jìn)貨量。

故利潤(rùn)期望不少于9280元的最少進(jìn)貨量為21單位。

3、面試方案

設(shè)想某人在求職過(guò)程中得到了兩個(gè)公司的面試通知，假定每個(gè)公司有三種不同的職位：極好的，工資4萬(wàn)；好的，工資3萬(wàn)；一般的，工資2.5萬(wàn)。估計(jì)能得到這些職位的概率為0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何職位。由于每家公司都要求在面試時(shí)表態(tài)接受或拒絕所提供職位，那么，應(yīng)遵循什么策略應(yīng)答呢？

極端的情況是很好處理的，如提供極好的職位或沒工作，當(dāng)然不用做決定了。對(duì)于其他情況，我們的方案是，采取期望受益最大的原則。 先考慮現(xiàn)在進(jìn)行的是最后一次面試，工資的數(shù)學(xué)期望值為：E（A1）=4€？.2+3€？.3+2.5€？.4+0€？.1=2.7萬(wàn)。

那么在進(jìn)行第一次面試時(shí)，我們可以認(rèn)為，如果接受一般的值位，期望工資為2.5萬(wàn)，但若放棄（可到下一家公司碰運(yùn)氣），期望工資為2.7萬(wàn)，因此可選擇只接受極好的和好的職位。這一策略下工資總的期望 如果此人接到了三份這樣的面試通知，又應(yīng)如何決策呢？

最后一次面試，工資的期望值仍為2.7萬(wàn)。第二次面試的期望值可由下列數(shù)據(jù)求知：極好的職位，工資4萬(wàn)；好的，工資3萬(wàn)；一般的，工資2.5萬(wàn)；沒工作（接受第三次面試），2.7萬(wàn)。期望值為：E（A2）=4€？.2+3€？.3+2.5€？.4+2.7€？.1=3.05萬(wàn)。

這樣，對(duì)于三次面試應(yīng)采取的行動(dòng)是：第一次只接受極好的職位，否則進(jìn)行第二次面試；第二次面試可接受極好的和好的職位，否則進(jìn)行第三次面試；第三次面試則接受任何可能提供的職位。這一策略下工資總的期望值為4€？.2+3.05€？.8=3.24萬(wàn)。故此在求職時(shí)收到多份面試通知時(shí)，應(yīng)用期望受益最大的原則不僅提高就業(yè)機(jī)會(huì)，同時(shí)可提高工資的期望值。

4、保險(xiǎn)公司獲利問題：一年中一個(gè)家庭晚萬(wàn)元被盜的概率是0.01，保險(xiǎn)公司開辦一年期萬(wàn)元以上家庭財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)，參加者需交納保險(xiǎn)費(fèi)100元，若一年內(nèi)萬(wàn)元以上財(cái)產(chǎn)被盜，保險(xiǎn)公司賠償a元（a>100），試問a如何確定才能使保險(xiǎn)公司獲利？

解：只需考慮保險(xiǎn)公司對(duì)任一參保家庭的獲利情況，設(shè)表示保險(xiǎn)公司對(duì)任一參保家庭的收益，則的取值為100或100-a，其分布為：

根據(jù)題意：E（X）=100€？.99+（100-a）€？.01=100-0.01a>0

解得a<10000

又a>100，所以a∈（100，10000）時(shí)保險(xiǎn)公司才能期望獲利。

三、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)期望具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。實(shí)踐證明當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)決策問題較為復(fù)雜時(shí)，決策者在保持自身判斷的條件下處理大量信息的能力將減弱，在這種情況下，風(fēng)險(xiǎn)決策的分析方法可為決策者提供強(qiáng)有力的科學(xué)工具，以幫助決策者作出決策，但不能代替決策者進(jìn)行決策。因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)生活中的風(fēng)險(xiǎn)決策還會(huì)受到諸多因素的影響，決策者的心理因素，社會(huì)上的諸多因素等，人們還需綜合各方面的因素作出更加合理的決斷。

（作者單位：襄陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）