淺談極限思想

摘 要 極限思想談的是數(shù)學(xué)中的思維問(wèn)題，它的廣泛使用是由數(shù)學(xué)本身的發(fā)展所決定的。本文以數(shù)學(xué)發(fā)展史為基礎(chǔ)，從一些典型例子中尋找極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展，主要是以歷史辯證唯物主義觀來(lái)重新分析、概述有關(guān)極限思想的問(wèn)題和函數(shù)極限概念小結(jié)極限思想應(yīng)用的舉例。

關(guān)鍵詞 極限 函數(shù) 導(dǎo)數(shù)

所謂極限的思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來(lái)定義的。

一、極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展

1、極限思想的由來(lái)

與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對(duì)無(wú)限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于間接證法——?dú)w謬法來(lái)完成了有關(guān)的證明。

到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過(guò)程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問(wèn)題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無(wú)意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向”。

2、極限思想的發(fā)展

極限思想的進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。16世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問(wèn)題，只用初等數(shù)學(xué)的方法已無(wú)法解決，要求數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用以描述和研究運(yùn)動(dòng)、變化過(guò)程的新工具，這是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會(huì)背景。

起初牛頓和萊布尼茨以無(wú)窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，后來(lái)因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變量與時(shí)間的改變量之比表示運(yùn)動(dòng)物體的平均速度，讓無(wú)限趨近于零，得到物體的瞬時(shí)速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)理論。他意識(shí)到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，他說(shuō)：“兩個(gè)量和量之比，如果在有限時(shí)間內(nèi)不斷趨于相等，且在這一時(shí)間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等”。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無(wú)法得出極限的嚴(yán)格表述。牛頓所運(yùn)用的極限概念，只是接近于下列直觀性的語(yǔ)言描述：“如果當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，n無(wú)限地接近于常數(shù)A，那么就說(shuō)n以A為極限”。

這種描述性語(yǔ)言，人們?nèi)菀捉邮?，現(xiàn)代一些初等的微積分讀物中還經(jīng)常采用這種定義。但是，這種定義沒有定量地給出兩個(gè)“無(wú)限過(guò)程”之間的聯(lián)系，不能作為科學(xué)論證的邏輯基礎(chǔ)。

3、極限思想的完善

極限思想的完善與微積分的嚴(yán)格化密切聯(lián)系。在很長(zhǎng)一段時(shí)間里，微積分理論基礎(chǔ)的問(wèn)題，許多人都曾嘗試解決，但都未能如愿以償。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對(duì)象已從常量擴(kuò)展到變量，而人們對(duì)變量數(shù)學(xué)特有的規(guī)律還不十分清楚；對(duì)變量數(shù)學(xué)和常量數(shù)學(xué)的區(qū)別和聯(lián)系還缺乏了解；對(duì)有限和無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系還不明確。這樣，人們使用習(xí)慣了的處理常量數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)思想方法，就不能適應(yīng)變量數(shù)學(xué)的新需要，僅用舊的概念說(shuō)明不了這種“零”與“非零”相互轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系。

首先用極限概念給出導(dǎo)數(shù)正確定義的是捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾，他把函數(shù)f的導(dǎo)數(shù)定義為差商€%=y/€%=x的極限f′（x），他強(qiáng)調(diào)指出f′（x）不是兩個(gè)零的商。波爾查諾的思想是有價(jià)值的，但關(guān)于極限的本質(zhì)他仍未說(shuō)清楚。

到了19世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在前人工作的基礎(chǔ)上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，他在《分析教程》中指出：“當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)值（絕對(duì)值）無(wú)限地減小使之收斂到極限0，就說(shuō)這個(gè)變量成為無(wú)窮小”。

為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)的定義，給微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。所謂 n=A，就是指：“如果對(duì)任何€%^>0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式|n-A|<€%^恒成立”。

這個(gè)定義，借助不等式，通過(guò)€%^和N之間的關(guān)系，定量地、具體地刻劃了兩個(gè)“無(wú)限過(guò)程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義是嚴(yán)格的，可以作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍在數(shù)學(xué)分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是數(shù)及其大小關(guān)系，此外只是給定、存在、任取等詞語(yǔ)，已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，不再求助于運(yùn)動(dòng)的直觀。

二、建立概念的極限思想

極限的思想方法貫穿于數(shù)學(xué)分析課程的始終?？梢哉f(shuō)數(shù)學(xué)分析中的幾乎所有的概念都離不開極限。在幾乎所有的數(shù)學(xué)分析著作中，都是先介紹函數(shù)理論和極限的思想方法，然后利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分的概念。如：

（1）函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)的定義，是當(dāng)自變量的增量時(shí)，函數(shù)值的增量趨于零的極限。

（2）函數(shù)在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義，是函數(shù)值的增量與自變量的增量之比，當(dāng)時(shí)的極限。

（3）函數(shù)在上的定積分的定義，是當(dāng)分割的細(xì)度趨于零時(shí)，積分和式的極限。

（4）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是用部分和數(shù)列的極限來(lái)定義的。

三、解決問(wèn)題的極限思想

極限思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法，也是數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別之處。數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題（例如求瞬時(shí)速度、曲線弧長(zhǎng)、曲邊形面積、曲面體體積等問(wèn)題），正是由于它采用了極限的思想方法。

有時(shí)我們要確定某一個(gè)量，首先確定的不是這個(gè)量的本身而是它的近似值，而且所確定的近似值也不僅僅是一個(gè)而是一連串越來(lái)越準(zhǔn)確的近似值；然后通過(guò)考察這一連串近似值的趨向，把那個(gè)量的準(zhǔn)確值確定下來(lái)。這就是運(yùn)用了極限的思想方法。

（作者單位：襄陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院）