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      導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)科中的應(yīng)用

      2014-04-29 00:00:00楊昌海
      今日湖北·下旬刊 2014年1期

      導(dǎo)數(shù)是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分,它在經(jīng)濟(jì)、物理、幾何、微積分等學(xué)科中起著極其重要的作用。本文主要論述了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)科中的廣泛應(yīng)用。

      一、導(dǎo)數(shù)的定義

      設(shè)函數(shù)y=()在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,若極限(1)存在,則稱函數(shù)f在點(diǎn)x0可導(dǎo),并稱該極限為函數(shù)f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),記作f'(x0)。令x=x0 +€L唜,€L唝=f(x0+€L唜)-f(x0),則(1)式可改寫為: (2)。所以,導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量€L唝與自變量€L唜之比的極限。這個(gè)增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率(又稱差商),而導(dǎo)數(shù)f'(x0)則為f在x0處關(guān)于x的變化率。

      若(1)或(2)式極限不存在,則稱f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

      以下介紹導(dǎo)數(shù)的有關(guān)應(yīng)用:經(jīng)濟(jì)方面,物理方面,極限方面,函數(shù)方面,最優(yōu)化問題方面以及其它生活中的應(yīng)用實(shí)例方面來闡述導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用:

      二、導(dǎo)數(shù)概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

      將導(dǎo)數(shù)概念應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)中,主要是指利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量,如成本、收入、利潤、需求等函數(shù)的變化率,其一為瞬時(shí)變化率,在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為“邊際”;其二為相對變化率,在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為“彈性”。

      (一)總成本函數(shù)與邊際成本

      總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的某種產(chǎn)品所需投入的總費(fèi)用,它是產(chǎn)量的函數(shù),一般用C表示,設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量為時(shí)所需的總成本為C=C(x),稱為總成本函數(shù),簡稱為成本函數(shù),它是由固定成本c0(與產(chǎn)量無關(guān)的資源投入,如廠房、設(shè)備、企業(yè)管理費(fèi)、廣告費(fèi)等)及可變成本c1(x)(與產(chǎn)量相關(guān)的資源投入,如原料、電力、人力等)兩部分組成,一般函數(shù)關(guān)系為C(x)=c0+c1(x),這是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)。

      若產(chǎn)量是連續(xù)變化的,且函數(shù)C(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),則有。C'(x)為成本函數(shù)的瞬時(shí)變化率,稱為產(chǎn)量為x時(shí)的邊際成本,又記作MC。按導(dǎo)數(shù)定義,C'(x)近似表示在產(chǎn)量為x,產(chǎn)量的改變量€L唜的絕對值|€L唜|很小時(shí),總成本變化的速度,即平均增加或減少一個(gè)單位產(chǎn)量時(shí)總成本改變量,而經(jīng)濟(jì)學(xué)家對邊際成本C'(x)的解釋是C'(x)表示當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí),再生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所需增加的成本的近似值。

      (二)總成本函數(shù)與邊際收入

      總成本函數(shù)是指生產(chǎn)者出售一定數(shù)量的產(chǎn)品后所得的全部收入,一般用R表示,它與銷售量及價(jià)格有關(guān),其關(guān)系式為總收入=價(jià)格銷售量。

      在一元函數(shù)中,可根據(jù)所討論的問題將總收入表示為銷售量的函數(shù)或表示為價(jià)格的函數(shù)。

      現(xiàn)在設(shè)某種產(chǎn)品的銷售量為x時(shí)的總收入為R=R(x),稱R(x)為總收入函數(shù),簡稱收入函數(shù)。類似與邊際成本的討論,若在R(x)點(diǎn)x處可導(dǎo),就稱為銷售量為x時(shí)的邊際收入,又記作MR,其經(jīng)濟(jì)意義為:假設(shè)已經(jīng)銷售了x個(gè)單位產(chǎn)品,再多銷售一個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)收入增加的近似值。

      [例1]:設(shè)某種產(chǎn)品的需求量x是價(jià)格p(元/單位產(chǎn)品)的函數(shù):x=20000-100p,求邊際收入函數(shù)MR(x)及需求量分別是9000,10000,11000個(gè)單位時(shí)間的邊際收入,并說明其經(jīng)濟(jì)意義。

      解:總收入函數(shù)為R(x)=銷售量價(jià)格=需求量價(jià)格x=p

      由已知20000-100p,將p=200-0.01x代入R(x)得

      R(x)=200x-0.01x2,于是MR(x)=R'(x)=200-0.2x

      (9000)=20(元) (10000)= 0(元) (11000)=-20(元)

      其經(jīng)濟(jì)意義為:當(dāng)需求量為9000個(gè)單位時(shí),如果需求量再增加1個(gè)單位,總收入大約增加20元;當(dāng)需求量為10000個(gè)單位時(shí),如果需求量再增加1個(gè)單位,總收入大約不變;當(dāng)需求量為11000個(gè)單位時(shí),如果需求量再增加1個(gè)單位,總收入大約減少20元,這說明總收入并不總是隨需求量(即銷售量)的增加而增加的。

      (三)總利潤函數(shù)與邊際利潤

      總利潤是指生產(chǎn)者將生產(chǎn)的產(chǎn)品售出后,扣除投入部分的費(fèi)用后所得的收入,一般用L表示,即L=總收入-總成本。如果我們假設(shè)銷售量=產(chǎn)量(即產(chǎn)銷平衡),設(shè)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量為x時(shí),總成本函數(shù)為C(x),總收入函數(shù)為R(x),則有L(x)= R(x)- C(x),稱L (x)為總利潤函數(shù),簡稱為利潤函數(shù)。若L(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),就稱為產(chǎn)量為x時(shí)的邊際利潤,又記作ML。其經(jīng)濟(jì)意義為:當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)再多生產(chǎn)1個(gè)單位產(chǎn)品所增加的利潤的近似值。

      [例2]:設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個(gè)單位的成本函數(shù)為C(x)=1000+10x+0.01x2(單位:元)。如果每單位產(chǎn)品售價(jià)為30元,求邊際成本與在產(chǎn)銷平衡情況下的邊際利潤函數(shù),并求產(chǎn)量為800個(gè)單位時(shí)的邊際利潤,并說明其經(jīng)濟(jì)意義。

      解:當(dāng)產(chǎn)量為個(gè)單位時(shí)的總收入為R(x)=30x,邊際收入。由已知成本函數(shù)可得邊際成本為,從而產(chǎn)量為個(gè)單位時(shí)的邊際利潤為

      當(dāng)x=800時(shí),

      結(jié)果表明,當(dāng)產(chǎn)量為800個(gè)單位時(shí),再多生產(chǎn)1個(gè)單位產(chǎn)品,利潤大約可增加4元。

      (四)彈性分析

      導(dǎo)數(shù)討論的是函數(shù)在某點(diǎn)的變化率,關(guān)心的是自變量的微小改變所引起的函數(shù)改變量,但是在日常經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中,例如,在研究需求量與價(jià)格之間的關(guān)系時(shí),關(guān)心較多的不是因價(jià)格p的改變所引起的需求量Q的改變量,而是價(jià)格的相對改變量所帶來的需求量的相對改變量,這樣便得到一種被稱為彈性的度量。下面先給出一般函數(shù)的彈性定義。

      定義2.4:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某領(lǐng)域內(nèi)有定義,若對于x的改變量Dx,函數(shù)取得改變量€L唝=f(x0+€L唜)-f(x0),稱值為y=f(x)在點(diǎn)x0與點(diǎn)x0+€L唜之間的弧彈性。

      弧彈性表示當(dāng)自變量由€L唜變到x0+€L唜時(shí),自變量變化€L唜的1%所引起的函數(shù)值變化對于f(x0)的百分比,故稱為平均相對變化率。

      定義2.5:如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則稱極限值為y=f(x)在點(diǎn)x0處的點(diǎn)彈性,記作,即。

      當(dāng)|€L唜|很小時(shí),。

      定義2.6:如果函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間可導(dǎo),則稱為y=f(x)在該區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)彈性函數(shù),簡稱彈性函數(shù)。

      函數(shù)的彈性表示的是變量相對變量變化的反應(yīng)程度或靈敏度。在經(jīng)濟(jì)問題中,經(jīng)常需要在不同產(chǎn)品之間進(jìn)行比較,而這些產(chǎn)品使用的計(jì)量單位不同。由彈性定義可知,函數(shù)彈性是一個(gè)無量綱的常數(shù),使用起來可以不受計(jì)量單位的限制,這使彈性概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。

      (作者單位:湖北襄陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部)

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