復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的研究

函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的核心內(nèi)容之一，多以考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性居多. 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律為：若函數(shù)y=f（u）與u=g（x）的增減性相同（相反），則y=f[g（x）]是增（減）函數(shù)，可概括為“同增異減”.為了幫助考生對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性有一個全面的認識，本文結(jié)合例題，對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法及單調(diào)性的應(yīng)用加以歸納總結(jié)。

一、引言

什么是復(fù)合函數(shù).對于函數(shù)y=f（u） u∈B與u=g（x） x∈A，如果x∈A時u=g（x）的值域C與函數(shù)y=f（u）的定義域B的交集非空，即C∩B≠€%o，那么就說y=f（u） u∈B與u=g（x） x∈A可以復(fù)合，稱函數(shù)y=f（g（x））叫做y=f（u） u∈B與u=g（x） x∈A的復(fù)合函數(shù)，其中y=f（u）叫做外函數(shù)，u=g（x）叫做內(nèi)函數(shù).

比如， （x∈R）的復(fù)合函數(shù)是u=-X2 ∵u=-x2≤0與u≥0的交集為{0}，∴二者可以復(fù)合，但定義域發(fā)生了變化，復(fù)合后的函數(shù)的定義域既不是u≥0，也不是x∈R， 而是x=0.也就是說復(fù)合函數(shù)的定義域既受外函數(shù)的制約也受內(nèi)函數(shù)的制約（主要受外函數(shù)的制約）.由定義知道 就不能復(fù)合成f（g（x））。

二、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷總體步驟

復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]的單調(diào)性可按下列步驟判斷：

（1）將復(fù)合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：y=f（u）與u=g（x）.其中y=f（u）又稱為外層函數(shù)， u=g（x）稱為內(nèi)層函數(shù)；

（2）確定函數(shù)的定義域；

（3）分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)性；

（4）若兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)y=f[g（x）]為增函數(shù)；

（5）若兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個是增函數(shù)，而另一個是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)y=f[g（x）]為減函數(shù).

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可概括為一句話：“同增異減”.

三、詳細分析

（1）觀察下面兩組在相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)，然后指出這兩組函數(shù)之間在性質(zhì)上的主要區(qū)別是什么？

第一組：

第二組：

顯然第一組函數(shù)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；第二組組函數(shù)，函數(shù)值y隨x的增大而減小。

這正是兩組函的主要區(qū)別.當(dāng)x變大時，

第一組函數(shù)的函數(shù)值都變大，而第二函數(shù)的函數(shù)值都變小.雖然在每一組函數(shù)中，函數(shù)值變大或變小的方式并不相同，但每一每函數(shù)卻具有一種共同的性質(zhì).我們在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及冪函數(shù)時，就曾經(jīng)根據(jù)函數(shù)的圖像研究過函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變大而變大或變小的性質(zhì)，而這些研究結(jié)論是直觀地由圖像得到的.在函數(shù)的集合中有很多函數(shù)具有這種性質(zhì)，因此我們有必要對函數(shù)這種性質(zhì)作更進一步的一般性的討論和研究.

（2）對概念的分析

在增函數(shù)和減函數(shù)的定義中用了兩個簡單的不等關(guān)系“x1f（x2），它刻畫了函數(shù)的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì).這就是數(shù)學(xué)的魅力！現(xiàn)在請看剛才的兩組圖中的第一個函數(shù)y=f1（x）和y=f2（x）的圖像，體會這種魅力。

圖中y=f1（x）對于區(qū)間[a，b]上的任意x1，x2，當(dāng)x1

（3）概念的應(yīng)用

例 能說反比例函數(shù)f（x）=k/x （x>0）在整個定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)嗎？并用定義證明你的結(jié)論.

反比例函數(shù)f（x）= k/x （k>0）的定義域是什么？

f（x）= k/x （k>0）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）.

對于這個例子如果認為f（x）= k/x （k>0）在（-∞，0）以及（0+∞）上都是減函數(shù)，那就是錯誤的.因為如果認為這個函數(shù)不是整個定義域內(nèi)的減函數(shù)，不符合減函數(shù)的定義。比如取x1 （-∞，0）取x2 （0+∞），x10，顯然

有f（x1）f（x2），因此它不是定義域內(nèi)的減函數(shù)。

那能否說明f（x） （k>0）是定義域內(nèi)的增函數(shù)呢？

也不能這樣認為，因為由圖像可知，它分別在（-∞，0）和（0+∞）上都是減函數(shù).

經(jīng)過剛才的分析，我們知道f（x）= k/x （k>0）即不是定義域內(nèi)的增函數(shù)，也不是定義域內(nèi)的減函數(shù)，它在（-∞，0）和（0+∞）每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是減函數(shù).因此在函數(shù)的幾個單調(diào)增（減）區(qū)間之間不要用符號“∪”連接，另外，x=0不是定義域中的元素，此時不要寫成閉區(qū)間.實際上f（x）=k/x （k>0）在（-∞，0上是減函數(shù)， f（x）=k/x（k>0）在（0+∞）上是減函數(shù)。

（作者單位：湖北襄陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課部）