巧作圓中輔助線靈活求解圓類題

張華

圓的知識在初中數(shù)學中占有重要的地位，其解題方法與技巧體現(xiàn)了靈活性、創(chuàng)新性.其中，題型的靈活性大多體現(xiàn)在輔助線的添加方法上.本文通過幾個題目介紹圓中常見的輔助線的添加方法.

1.垂徑定理中，連半徑構(gòu)造直角三角形

垂徑定理內(nèi)容是，在圓中垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.定理的內(nèi)容反映圓中直徑（或半徑）、弦長、弦心距間的關(guān)系，在解決相關(guān)問題時常要連接弦的端點與圓心并作出弦心距構(gòu)造直角三角形，借助解直角三角形的知識來解決問題.

.

點評 利用垂徑定理解題最常見的做法是構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合已知條件找出半徑、弦長與弦心距間的關(guān)系，“知二求一”.在很多的題目中，還需體現(xiàn)方程的思想，設(shè)定未知數(shù)求解.

2.有直徑，作直徑所對圓周角

在圓中直徑所對的圓周角是直角；相反，在圓中如果圓周角是直角，則該圓周角所對的弦是直徑.在解題時，如果出現(xiàn)直徑求角的度數(shù)或過程中需要求某角的度數(shù)時，常要結(jié)合直徑構(gòu)造直角三角形來進行求解.

點評 直徑所對的圓周角是直角，在解題時常根據(jù)此點要連接

弦長構(gòu)造直角三角形，借助直角三角形的性質(zhì)幫助求解問題.在解題時，有時要根據(jù)直徑所對的圓周角是直角這一性質(zhì)，連接圓的半徑，找出角與角間的關(guān)系進行相關(guān)的證明或計算.

3.看到圓切線，作出過切點的半徑

直線與圓的位置關(guān)系中相切最為重要，其重要的性質(zhì)是切線垂直于過切點的半徑.根據(jù)此性質(zhì)可得到線與線的垂直或得到直角三角形.

點評 已知直線是圓的切線，切點與圓心的連線是常作的輔助線，由此可得到線與線的垂直或直角三角形.

4.證明圓的切線，“連半徑，證垂直”

在證明直線是圓的切線時，我們經(jīng)常過直線與圓交點作圓的半徑，通過證明半徑與直線垂直，來證明直線與圓相切，這也就是我們通常所說的“連半徑，證垂直”.

圖4 例4 如圖4，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，

連接AC，將△ACE沿AC翻折得到△ACF，直線FC與直線

AB相交于點G.試判斷直線FC與⊙O有何位置關(guān)系？

并說明理由.

分析 要證明直線與圓相切，作出圓的半徑，

證明半徑與直線垂直即可得證.

點評 無論是切線的性質(zhì)還是切線的判定，作圓的半徑是常見的輔助線，由切線的性質(zhì)可得到線與線的垂直；在判定切線時可以通過證明半徑與直線的垂直，得到直線與圓相切.

總之，圓中添加輔助線方法有多種多樣，在解題過程中要深刻理解題設(shè)，找出已知量與未知量間的關(guān)系，巧妙添加輔助線可建立起兩者的聯(lián)系，從而快速、準確找到解題的突破口.