淺析導(dǎo)數(shù)在函數(shù)三個(gè)性質(zhì)中的應(yīng)用

仇正權(quán) 李素英

【摘要】 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)間有著緊密的聯(lián)系，本文主要從導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)以及極值、最值這三個(gè)方面出發(fā)，對(duì)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作一個(gè)基本的探討，從而促進(jìn)對(duì)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí).

【關(guān)鍵詞】 單調(diào)性；零點(diǎn)；極值；最值

導(dǎo)數(shù)作為微積分的初步知識(shí)，是近代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，它體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中的重要思想——極限思想，同時(shí)也是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁.它的引入為解答數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)辟了新的視野，是探究函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、解析幾何和數(shù)列問(wèn)題的有力工具.另外，導(dǎo)數(shù)作為一個(gè)特殊的函數(shù)，其與函數(shù)之間有著千絲萬(wàn)縷般的聯(lián)系，理清它們之間的關(guān)系，從而對(duì)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和理解，能起到較強(qiáng)的促進(jìn)作用.筆者主要從三個(gè)方面，對(duì)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作一個(gè)初步的分析.

一、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性是一種較為便捷的手段，但我們?cè)谂袛鄦握{(diào)性時(shí)一定要清楚以下兩個(gè)關(guān)系，方能正確地判斷函數(shù)的單調(diào)性，下面就以增函數(shù)為例子，做一簡(jiǎn)單的剖析，默認(rèn)條件都是函數(shù)y=f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).

（1）f′（x）>0與f（x）為增函數(shù)的關(guān)系.

如果f′（x）>0，那么f（x）定為增函數(shù)，反之則不一定，例如函數(shù)f（x）=2x3在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞增的，可是f′（x）≥0，所以f′（x）>0是f（x）為增函數(shù)的充分不必要條件.

（2）f′（x）≥0與f（x）為增函數(shù)的關(guān)系.

如果f（x）為增函數(shù)，那么f′（x）≥0，反之則不一定，因?yàn)閒′（x）≥0，即為f′（x）>0或f′（x）=0，若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有f′（x）=0恒成立，則f（x）為一常數(shù)，函數(shù)沒(méi)有單調(diào)性，所以f′（x）≥0是f（x）為增函數(shù)的必要不充分條件.

例1 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+2x-1在 R 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解 f′（x）=3x2+2ax+2，∵y=f（x）在 R 上是增函數(shù)，∴f′（x）≥0在 R 上恒成立，即Δ=4a2-24≤0，解得：- 6 ≤a≤ 6 .

評(píng)析 如果函數(shù)在某區(qū)間上已經(jīng)確定了單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意f′（x）=0的情況，此題很多時(shí)候會(huì)得出錯(cuò)誤的答案：- 60.另外，也要注意特別的情況，如：f（x）=（m-2）x+n在 R 上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是m>2，此時(shí)m就不能等于2.對(duì)此，可以這樣去理解：f′（x）=0可以成立，但不是恒成立，在具體情況中，要能根據(jù)題目的不同而進(jìn)行靈活的處理.