馬爾科夫隨機(jī)過(guò)程理論在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用

王云鵬　裴淑麗　劉志強(qiáng)

摘 要 隨著科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在我們?nèi)粘５耐ㄐ朋w系中有著越來(lái)越重的地位，因?yàn)樵诳茖W(xué)研究中，只有借助于數(shù)學(xué)才能精確地描述一個(gè)現(xiàn)象的不同量之間的關(guān)系，從最簡(jiǎn)單的加減乘除，到復(fù)雜的建模思想等等。其中，隨機(jī)過(guò)程作為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，更是在整個(gè)通信過(guò)程中發(fā)揮著不可小覷的作用。

關(guān)鍵詞 隨機(jī)過(guò)程 通信系統(tǒng) 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：TN91 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1馬爾科夫隨機(jī)過(guò)程

在當(dāng)代科學(xué)與社會(huì)的廣闊天地里，人們都可以看到一種叫作隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，從銀河亮度的起伏到星系空間的物質(zhì)分布、從分子的布朗運(yùn)動(dòng)到原子的蛻變過(guò)程，從化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)到電話通訊理論、從謠言的傳播到傳染病的流行、從市場(chǎng)預(yù)測(cè)到密碼破譯，隨機(jī)過(guò)程理論及其應(yīng)用幾乎無(wú)所不在。早在20世紀(jì)初，%：.%：.馬爾可夫研究過(guò)一列有特定相依性的隨機(jī)變量，后人稱之為馬爾可夫鏈。1931年，%：.%@.柯爾莫哥洛夫發(fā)表了《概率論的解析方法》；三年后，%：.%？辛欽發(fā)表了《平穩(wěn)過(guò)程的相關(guān)理論》。這兩篇重要論文為馬爾可夫過(guò)程與平穩(wěn)過(guò)程奠定了理論基礎(chǔ)。1953年，J.L.杜布的名著《隨機(jī)過(guò)程論》問(wèn)世，它系統(tǒng)且嚴(yán)格地?cái)⑹隽穗S機(jī)過(guò)程的基本理論。1951年伊藤清建立了關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)微分方程的理論，為研究馬爾可夫過(guò)程開辟了新的道路；60年代，法國(guó)學(xué)派基于馬爾可夫過(guò)程和位勢(shì)理論中的一些思想與結(jié)果，在相當(dāng)大的程度上發(fā)展了隨機(jī)過(guò)程的一般理論，包括截口定理與過(guò)程的投影理論等，中國(guó)學(xué)者在平穩(wěn)過(guò)程、馬爾可夫過(guò)程、鞅論、極限定理、隨機(jī)微分方程等方面也做出了較好的工作。

2 馬爾科夫隨機(jī)過(guò)程與通信系統(tǒng)

通信就是互通信息?，F(xiàn)代意義上的通信指的是電信，國(guó)際上稱為遠(yuǎn)程通信，即通過(guò)電信號(hào)或光信號(hào)傳送信息。眾所周知，通信系統(tǒng)中用于表示信息的信號(hào)不可能是單一的、確定的，而是具有不確定性和隨機(jī)性，這種具有隨機(jī)性的信號(hào)就是隨機(jī)信號(hào)。

過(guò)去對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的研究只是用一兩個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述，然而現(xiàn)在在工程技術(shù)中必須研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的隨機(jī)現(xiàn)象，這需要研究隨時(shí)間變化的無(wú)窮不可數(shù)的一族隨機(jī)變量，即隨機(jī)過(guò)程。通信系統(tǒng)中存在各種干擾和噪聲，這些干擾和噪聲的波形更是隨機(jī)的、不可預(yù)測(cè)的，我們稱之為隨機(jī)干擾和隨機(jī)噪聲。當(dāng)然，盡管隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)噪聲是不可預(yù)測(cè)的、隨機(jī)的，但它們還是具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。研究隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)噪聲統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)工具就是隨機(jī)過(guò)程理論，隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)信號(hào)和隨機(jī)噪聲的數(shù)學(xué)模型。

隨機(jī)過(guò)程是與時(shí)間有關(guān)的隨機(jī)變量，在確定的時(shí)刻它是隨機(jī)變量。隨機(jī)過(guò)程的具體取值稱作樣函數(shù)，它是時(shí)間函數(shù)，其所有實(shí)現(xiàn)構(gòu)成的集合稱作隨機(jī)過(guò)程的樣函數(shù)空間（%R），所有樣函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)特性即構(gòu)成了隨機(jī)過(guò)程，以大寫字母X（t）、Y（t）等表示隨機(jī)過(guò)程，以對(duì)應(yīng)的小寫字母x（t）、y（t）等表示隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)。

在實(shí)際的通信過(guò)程中，不僅我們用到的信號(hào)與噪聲是隨機(jī)信號(hào)，而且當(dāng)我們?yōu)闊o(wú)線信道進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)也必須用到隨機(jī)過(guò)程。

3馬爾科夫隨機(jī)過(guò)程在通信中應(yīng)用

許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信，船舶裝卸，機(jī)器損修，病人候診，紅綠燈交換，存貨控制，水庫(kù)調(diào)度，購(gòu)貨排隊(duì)，等等，都可用一類概率模型來(lái)描述。這類概率模型涉及的過(guò)程叫排隊(duì)過(guò)程，它是點(diǎn)過(guò)程的特例。排隊(duì)過(guò)程一般不是馬爾可夫型的。當(dāng)把顧客到達(dá)和服務(wù)所需時(shí)間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律研究清楚后，就可以合理安排服務(wù)點(diǎn)。

在通信、雷達(dá)探測(cè)、地震探測(cè)等領(lǐng)域中，都有傳遞信號(hào)與接收信號(hào)的問(wèn)題。傳遞信號(hào)時(shí)會(huì)受到噪聲的干擾，為了準(zhǔn)確地傳遞和接收信號(hào)，就要把干擾的性質(zhì)分析清楚，然后采取辦法消除干擾。這是信息論的主要目的。噪聲本身是隨機(jī)的，所以概率論是信息論研究中必不可少的工具。信息論中的濾波問(wèn)題就是研究在接收信號(hào)時(shí)如何最大限度地消除噪聲的干擾，而編碼問(wèn)題則是研究采取什么樣的手段發(fā)射信號(hào)，能最大限度地抵抗干擾。在空間科學(xué)和工業(yè)生產(chǎn)的自動(dòng)化技術(shù)中需要用到信息論和控制理論，而研究帶隨機(jī)干擾的控制問(wèn)題，也要用到馬爾可夫隨機(jī)過(guò)程。

在通信系統(tǒng)中，編碼過(guò)程分為信源編碼和信道編碼兩種，信源編碼是為了壓縮信息之間的相關(guān)性，最大限度提高傳信率，目的在于提高通信效率；而信道編碼則相反，通過(guò)引入相關(guān)性，使信息具有一定的糾錯(cuò)和檢錯(cuò)的能力從而提高傳輸信息的可靠性。

對(duì)于信源編碼，實(shí)現(xiàn)降低相關(guān)性有兩種途徑，一種是信源概率分布均勻化，另一種是信源獨(dú)立化。從概率論和隨機(jī)過(guò)程的角度來(lái)說(shuō)，概率分布均勻化就是每個(gè)事件發(fā)生的概率大致相同，這樣就會(huì)使每個(gè)信源攜帶的信息量基本相同，那么不確定性就達(dá)到最大，即傳輸過(guò)程中產(chǎn)生的信息量就最大；類似的信源獨(dú)立化是通過(guò)對(duì)信源進(jìn)行擴(kuò)展達(dá)到的，通過(guò)信源的高次擴(kuò)展，是擴(kuò)展信源中每個(gè)符號(hào)出現(xiàn)的概率大致相同，這樣也實(shí)現(xiàn)信息量最大化。

對(duì)于信道編碼，由于信道中存在隨機(jī)噪聲，或者隨機(jī)干擾，使得經(jīng)過(guò)信道傳輸后所接收到的碼元與發(fā)送碼元之間存在差異，這種差異就是傳輸產(chǎn)生的差錯(cuò)。一般，信道噪聲，干擾越大，碼元產(chǎn)生差錯(cuò)的概率也就越大。

所以信道編碼的任務(wù)就是構(gòu)造出以最小冗余度代價(jià)換取最大抗干擾性能的碼字組合。從信道編碼的構(gòu)造方法看，其基本思路是根據(jù)一定的規(guī)律在待發(fā)送的信息碼中加入一些人為多余的碼字。這些碼字的引入時(shí)信息之間具有相關(guān)性，雖然降低了信息所能攜帶的信息量，但是通過(guò)相關(guān)性可以克服由于隨機(jī)噪聲引入的誤碼情況。

參考文獻(xiàn)

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