小學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)的研究

宋曉東

數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的重要組成部分. 它是知識與技能、解決問題、情感與態(tài)度目標(biāo)的核心部分，對人的發(fā)展具有重要的作用. 思維能力是一切能力的核心，它是通過對事物的感知、表象進(jìn)行分析、概括、歸納而獲得事物本質(zhì)的能力. 思維能力是學(xué)習(xí)活動得以開展的先決條件，因為數(shù)學(xué)是其他學(xué)科的基礎(chǔ)，小學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的優(yōu)劣不僅僅決定了一個人數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的強(qiáng)弱，同時也關(guān)乎著一個人的全面學(xué)習(xí)能力如何，一個具有創(chuàng)新精神與實踐能力的人，他的思維能力是極為優(yōu)秀的，因此小學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，對于一個人、一個民族是否具有創(chuàng)造力至關(guān)重要.

數(shù)學(xué)思維能力的強(qiáng)弱不是數(shù)學(xué)活動表面的一種熱鬧，它在于思維活動本身的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、抽象性、敏捷性、靈活性、批判性和創(chuàng)造性. 培養(yǎng)學(xué)生具有優(yōu)秀的思維品質(zhì)，喜歡數(shù)學(xué)思考，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是我們亟待研究與解決的問題.

一、引導(dǎo)孩子從小喜歡數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)作為人類的一種文化，它的思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分，在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用. 因此每個人的成長離不開數(shù)學(xué)，它是學(xué)生全面發(fā)展的需要.

1. 學(xué)前數(shù)學(xué)避免小學(xué)化

我們作為數(shù)學(xué)教師，經(jīng)常會看到有些孩子不愛學(xué)數(shù)學(xué)，或者說學(xué)不好數(shù)學(xué). 這里有智能類型的客觀因素，多數(shù)是因為過早地學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)或者學(xué)習(xí)方式不當(dāng)有關(guān). 一年級入學(xué)的新生現(xiàn)狀是基本接受了學(xué)前教育，由于我國教育正處于改革與發(fā)展之中，現(xiàn)行的學(xué)前班教學(xué)與小學(xué)教學(xué)基本不是有機(jī)銜接的關(guān)系，而是一種重復(fù)，數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)尤為明顯. 多數(shù)孩子上小學(xué)后，一、二年級的內(nèi)容在學(xué)前已經(jīng)提前得到訓(xùn)練，給學(xué)生造成一種“思考厭食癥”，削弱了思考的積極性. 另外數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容與方式的單一，使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐漸失去了好奇心與積極探索的興趣.

愛迪生小的時候不適應(yīng)學(xué)校教育，卻在媽媽的欣賞與培養(yǎng)下，成為具有1099項發(fā)明創(chuàng)造的世界發(fā)明之王. 愛因斯坦在小學(xué)時的一節(jié)手工課上，經(jīng)過自己的努力只做出了班上最丑的小凳子，后來卻成了20世紀(jì)最偉大的科學(xué)家. 這與教育是否順應(yīng)了人的發(fā)展有關(guān). 小學(xué)階段尤其是學(xué)前數(shù)學(xué)應(yīng)該是真正的興趣培養(yǎng)與啟蒙的基礎(chǔ)教學(xué).

2. 尊重學(xué)生的思維特點

學(xué)生真正喜歡數(shù)學(xué)，能夠積極思考的真正內(nèi)在動因是，學(xué)習(xí)活動的開展應(yīng)尊重學(xué)生最原始的思維特點，才能帶領(lǐng)學(xué)生身心愉悅地走進(jìn)數(shù)學(xué)世界. 尤其在學(xué)前以及一年級時期，千萬不能因為他們所謂的不成熟或者不是數(shù)學(xué)化的思考而去主觀地改變他們的數(shù)學(xué)思考方式. 例如：在學(xué)習(xí)20以內(nèi)加減法時，9 + 6等于多少，學(xué)生最原始的思考方法是非常豐富的. （1）在第一個加數(shù)9或第二個加數(shù)6的基礎(chǔ)上接著數(shù)的方法. （2）9 + 1 = 10，10 + 5 = 15.（3）6 + 4 = 10，10 + 5 = 15.（4）扳著手指從1開始數(shù). （5）畫出圖形再數(shù)出來. （6）把9看成10，因為多看了1，再從6中減去1，10 + 5 = 15，等等. 這些方法的呈現(xiàn)不是簡單地追求算法多樣化，更重要的是全面了解學(xué)生的思維特點，有針對性地尊重、引導(dǎo)與優(yōu)化. 在我們教師看來，其中有些方法太麻煩，所以自然地將湊十法按照我們傳統(tǒng)的教學(xué)理念重視起來，甚至直接交給學(xué)生，忽略了孩子們原始的數(shù)學(xué)思考方法，他們的思維特點沒有得到尊重、認(rèn)可與重視，就這樣學(xué)生被教師牽引著開始了數(shù)學(xué)思維之路. 從近期看，學(xué)生解決了某個問題，但不是他們自己的思考，這樣會在思維習(xí)慣、思維品質(zhì)的初步形成階段中，暗示給學(xué)生一種沒有自我的學(xué)習(xí)意識，不利于主動思考意識與能力的培養(yǎng)，沒有學(xué)生自我思想的盡情綻放，還會有興趣嗎？更談不上學(xué)生的個性發(fā)展與創(chuàng)新品質(zhì)的形成了. 可想而知學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)會逐漸走向無味，享受不到數(shù)學(xué)思考的樂趣.

因此，在低年級的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，一定給學(xué)生充分獨立思考的時間與空間，按照他們的思維特點思考他們自己的數(shù)學(xué)，認(rèn)真傾聽他們對數(shù)學(xué)思考的解釋. 無論這思考有多么的離譜，都要重視或從某種角度給予肯定. 做教師的一定要舍得時間投入，盡管這種投入可能近期看不到結(jié)果，但它一定是學(xué)生終身受益的長效. 我們不能因為學(xué)生說得不完整甚至不清楚而忽略了他們對數(shù)學(xué)的原始思考；也不能因為擔(dān)心他們上課擺弄學(xué)具而省去了動手操作的過程，因為這是他們思考的輔助方式；更不能讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)就是數(shù)字，就是計算，應(yīng)在空間與圖形等其他領(lǐng)域中享受思考的樂趣. 在低年級的關(guān)鍵階段，多關(guān)注學(xué)生的思維特點與差異，讓其體驗到積極思考的快樂與自信. 隨著心智的發(fā)展，他們會慢慢地經(jīng)過教師的引領(lǐng)與自我判斷和優(yōu)化，形成自己的思考類型，真正喜歡數(shù)學(xué)、喜歡思考.

二、引導(dǎo)學(xué)生真正學(xué)會思考

愛迪生說：“沒有任何權(quán)宜之計可以讓人逃避真正的勞動——思考. ”數(shù)學(xué)思考是真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 要讓思考真正發(fā)生，真正促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展.

1. 合理安排“雙基”與“解決問題”的教學(xué)時間

我們的數(shù)學(xué)課堂重視“基礎(chǔ)知識與基本技能”的教學(xué)，由來已久. 盡管課程改革以來，我們的教學(xué)觀念有所轉(zhuǎn)變，但由于評價方式的單一，所以從一定意義上講，“雙基”教學(xué)依然是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重. 因為學(xué)生的學(xué)習(xí)時間是有限的，所以用于簡單技能訓(xùn)練的時間越長，有深度的數(shù)學(xué)思考、解決問題的時間就會相對減少，尤其是對過程開放的復(fù)雜問題的思考解決，探究、體驗的時間會大量減少，學(xué)生很難體會到思維的深刻性，自然就享受不到高質(zhì)量的數(shù)學(xué)思考的成果. 因此，學(xué)生感受不到思維能力提升帶給自己的自信與快樂. 而對數(shù)學(xué)開放性問題解決能力的培養(yǎng)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)，是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的途徑之一. 如果我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，只培養(yǎng)了會快速、準(zhǔn)確計算，能解決一些簡單問題或過程受限問題的學(xué)生，創(chuàng)新人才從何而來，民族發(fā)展的不竭動力何在？華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育研究所張奠宙教授說過：“過多地打基礎(chǔ)，就像花崗巖基礎(chǔ)上蓋了個茅草房. ”“大廈是美麗的但是基礎(chǔ)更為重要，雖然基礎(chǔ)更為重要，但只有大廈才是美麗的. ”這富有哲理的話，正是對這種教學(xué)關(guān)系的一種詮釋.

國際數(shù)學(xué)教育大會做過的數(shù)學(xué)問題解決專題研究的數(shù)據(jù)能夠說明一定的問題.

中美小學(xué)生在四類問題上的平均得分（用百分?jǐn)?shù)表示）：

從統(tǒng)計表中能夠看到中國“雙基”教學(xué)的成功之處，中國學(xué)生在計算及簡單問題解決上比美國學(xué)生占絕對優(yōu)勢，但這種優(yōu)勢并沒有在過程開放的復(fù)雜問題解決上表現(xiàn)出來. 同時也能看到中國學(xué)生數(shù)學(xué)能力呈現(xiàn)的是下降趨勢，美國學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是平緩上升的. 簡單問題和過程受限的復(fù)雜問題的解決可以用標(biāo)準(zhǔn)算法或某一算法的變形，然而過程開放的問題解決卻沒有標(biāo)準(zhǔn)算法. 花大量時間在基礎(chǔ)知識與基本技能的訓(xùn)練上，勢必會造成思維習(xí)慣循規(guī)蹈矩、機(jī)械與膚淺，影響數(shù)學(xué)思考能力的真正提高. 我們不能將自己囿于在中國的教育群山之中，應(yīng)該相信“他山之石可以攻玉”. 所以合理安排“雙基”與“解決問題”的教學(xué)時間，讓“雙基”真正成為“解決問題”的基礎(chǔ)知識，成為“解決問題”的能力源泉，解決問題的能力能夠在“雙基”的基礎(chǔ)上不斷提升、創(chuàng)新、發(fā)展.

（1）減少單純的計算與技能訓(xùn)練，增強(qiáng)技能訓(xùn)練的思考性

用創(chuàng)新的辦法使該方面的學(xué)習(xí)變得生動、具體、思考性更強(qiáng). 例如：四則混合運算的學(xué)習(xí)，我們的現(xiàn)行教材已經(jīng)非常重視結(jié)合具體的問題情境理解運算的順序，我們一定要讀懂教材，避免進(jìn)行大量的純數(shù)字的計算練習(xí). 例如：將計算順序的理解與解決生活中的問題相結(jié)合，體會先算乘除后算加減，有括號的先算括號里的運算法則. 或者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)算式編問題來理解運算順序.

（2）在提出問題、解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

提出問題、分析問題、解決問題是數(shù)學(xué)思考的載體，同時通過數(shù)學(xué)思考達(dá)到真正解決問題的目的. 引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實生活中發(fā)現(xiàn)問題、思考問題，學(xué)會數(shù)學(xué)化地思考，逐漸認(rèn)識到數(shù)學(xué)內(nèi)容是現(xiàn)實世界的抽象、概括，達(dá)到認(rèn)知上的一種飛躍. 具備了發(fā)現(xiàn)問題的意識與能力，才會有創(chuàng)新性思考能力的提高. 在即將頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，將會增加“發(fā)現(xiàn)問題、提出問題”的培養(yǎng)目標(biāo)，如此，將來才會在世界的經(jīng)濟(jì)舞臺上出現(xiàn)更多的“中國制造”.

2. 在獨立思考、合作交流中提升數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)家華羅庚說：“獨立思考能力是科學(xué)研究和創(chuàng)造發(fā)明的一項必備才能. 在歷史上任何一個較重要的科學(xué)上的創(chuàng)造和發(fā)明，都是和創(chuàng)造發(fā)明者的獨立地深入地看問題的方法分不開的. ”

獨立思考能夠張揚(yáng)學(xué)生的個性、獨特性、愛好、專長，發(fā)展學(xué)生的個體思維能力. 獨立思考也是合作交流的基礎(chǔ)，不會人云亦云，不會失去思維的主動性、獨特性. 所以在教學(xué)中，我們應(yīng)該充分尊重學(xué)生，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)一種安全、和諧的心理氛圍，保證他們能夠身心放松地進(jìn)行獨立思考. 例如：不隨意打擾學(xué)生思考問題，不急于評價正在表達(dá)中的優(yōu)點與錯誤，保證獨立思考與表達(dá)的完整、連貫，對學(xué)生具有獨特性的思考予以肯定鼓勵.

在獨立思考的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生合作、交流，在合作交流中實現(xiàn)自我，提升自我. 通過交流表達(dá)、傾聽，完善自己的思考.

3. 尊重學(xué)生思維表征的個性特征

思維表征是學(xué)生思維過程的表述，有言辭表征、符號表征、圖示表征、算數(shù)表征、代數(shù)表征、半抽象策略表征等. 我們的課堂教學(xué)往往重視算數(shù)與代數(shù)表征的運用，忽視了其他表征對學(xué)生思考能力的表達(dá)與提升. 因為學(xué)生的思維品質(zhì)不同，決定了表征的不同. 不是每名學(xué)生都能較早地完成由具體形象思維向抽象思維的過渡，所以應(yīng)當(dāng)允許學(xué)生使用他們能夠理解的表征形式表達(dá)他們的思考過程，這樣學(xué)生的思考對他們來說能夠得到清晰的認(rèn)證，有助于思維能力的提高. 例如：教學(xué)中有的同學(xué)在解決問題時，尤其是解決開放性問題時，他們能通過思考得到答案，但卻不會用教師期望的式子表達(dá)，那么就應(yīng)該鼓勵他用言辭的形式把過程寫出來或說出來，或者用表格、圖畫的辦法表示出來，然后再引導(dǎo)、幫助他們用數(shù)學(xué)模型表示出來. 再如：學(xué)生在計算從一個時刻到另一個時刻的經(jīng)過時間時，受計算教學(xué)的影響，很多同學(xué)會把兩個時刻相減，在他們不會將時刻轉(zhuǎn)化為時間再相減的時候，應(yīng)該允許學(xué)生用語言文字和流程圖示表達(dá)出經(jīng)過時間.

4. 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從無序到有序的思考過程

有序思考可以讓思路更清晰，優(yōu)化思考方式，提高思考效率. 所以，具體解決問題中，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生逐步學(xué)會有條理地思考問題.

例如：將10、20、30、40、50、60、70、80這8個數(shù)填入小圓圈中，使每個大圓圈上的數(shù)相加的和相等（兩個大圓圈，兩個數(shù)字公用）. 大多數(shù)學(xué)生完成這道題的初始方法應(yīng)該是嘗試，其實嘗試的方法也是很好的一種數(shù)學(xué)思維方法，是學(xué)生必經(jīng)的一個學(xué)習(xí)過程，關(guān)鍵是教師應(yīng)該抓住這個嘗試的契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生反思、總結(jié)后，學(xué)習(xí)有序思考. 因為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最重要的不是讓學(xué)生記住了多少數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)，會算多少道題，而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的思想、方法對人成長所起的作用才是終身受益的. 在即將頒布的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的目標(biāo)中也加進(jìn)了基本思想、基本方法，由“雙基”變成了“四基”. 這樣的問題就可以利用現(xiàn)代信息技術(shù)，動畫演示有序的思維過程. 引導(dǎo)學(xué)生觀察題中是兩個大圓，而且要將這8個數(shù)分成兩組，這兩組中有兩個數(shù)是重復(fù)的，每組數(shù)的和相等. 這兩組數(shù)的和與這8個數(shù)的和會有什么樣的關(guān)系？學(xué)生會發(fā)現(xiàn)：“這兩組數(shù)的總和比8個數(shù)的和多出兩個數(shù)字相加的和. ”動畫演示，先將這兩個大圓分開，算出8個數(shù)的總和除以2得到每個大圓的和是180. 然后再將這兩個大圓相交，可以任意選兩個數(shù)公用，這樣對于每個大圓來說都增加了一個數(shù)，算出這兩個數(shù)的差是多少除以2，然后從其他三個位置的數(shù)中找到差時這個數(shù)的兩個數(shù)字調(diào)換位置就可以了. 經(jīng)歷了這個過程，學(xué)生就會對有序的數(shù)學(xué)思考方法在解決問題中的作用有更深刻的認(rèn)識，激發(fā)學(xué)生面對紛繁復(fù)雜的問題時，會冷靜思考，尋找有效的思維方式、方法.

三、注重學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)猜想是人們根據(jù)已有數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗，運用非邏輯的思維方法，憑借直覺而作出的假設(shè)和預(yù)測. 它是人們探索數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的手段和策略，培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力，不僅能夠調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性，促使學(xué)生主動獲取知識，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維、探索精神和創(chuàng)新意識，發(fā)展學(xué)生的推理能力.

例如：學(xué)習(xí)平面圖形的面積時，學(xué)習(xí)了長方形與正方形的面積之后，學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形的面積時，可以引導(dǎo)學(xué)生猜想，要探究的圖形面積與學(xué)過的圖形面積會有什么關(guān)系呢？怎樣計算它的面積呢？學(xué)生通過猜想、驗證，逐步達(dá)到合情猜想，促進(jìn)思維的積極與主動. 牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn). ”學(xué)生天性好奇心強(qiáng)，富于幻想，教學(xué)中教師要抓住這一心理特點，創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，引導(dǎo)與鼓勵學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，發(fā)展思維能力.

四、尊重數(shù)學(xué)的科學(xué)性

愛因斯坦說：“為什么數(shù)學(xué)比其他一切科學(xué)受到特殊尊重，一個理由是它的命題是絕對可靠的和無可爭辯的，而其他一切科學(xué)的命題在某種程度上都是可爭辯的，而且經(jīng)常處于會被新發(fā)現(xiàn)的事實推翻的危險之中；數(shù)學(xué)之所以有高聲譽(yù)，還有另一個理由，那就是數(shù)學(xué)給予精密自然科學(xué)以某種程度的可靠性，沒有數(shù)學(xué)，這些科學(xué)是達(dá)不到這種可靠性的. ”因此，教師對數(shù)學(xué)的理解一定要準(zhǔn)確和通透. 例如概念教學(xué)，概念的教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，同時也是難點，除了揭示每一個概念的內(nèi)涵和外延，還要讓學(xué)生理解概念之間的關(guān)系. 這對邏輯思維正在形成的小學(xué)生來說，尤為重要.