多變量金融時(shí)間序列的相空間重構(gòu)理論研究多變量金融時(shí)間序列的相空間重構(gòu)理論研究

劉智

[摘要]金融時(shí)間序列是金融市場(chǎng)這個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)在演化過程中產(chǎn)生的離散輸出，根據(jù)觀測(cè)點(diǎn)的數(shù)量，金融時(shí)間序列可以分為單變量時(shí)間序列和多變量時(shí)間序列。在多維時(shí)間序列中，有些維度的時(shí)間序列之間存在較大的演化差異，從眾多的時(shí)間序列中挑選出這些對(duì)重構(gòu)相空間提供貢獻(xiàn)較大的時(shí)間序列并完成重構(gòu)則可以得到較好的重構(gòu)和預(yù)測(cè)效果。采用多維金融時(shí)間序列重構(gòu)金融市場(chǎng)這個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)可能會(huì)得到更好的效果，此外使用多維時(shí)間序列也可以有效地減少噪聲對(duì)重構(gòu)過程的影響。

[關(guān)鍵詞]金融時(shí)間序列；相空間重構(gòu)；預(yù)測(cè)

[中圖分類號(hào)]TP311[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]1005-6432（2014）43-0100-02

1引言

時(shí)間序列的預(yù)測(cè)問題已在各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛關(guān)注，如生物信息學(xué)、神經(jīng)信息學(xué)、金融工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)等。時(shí)間序列的最優(yōu)預(yù)測(cè)非常重要，它會(huì)為決策者進(jìn)行決策提供重要的參考信息。

行業(yè)指數(shù)與綜合指數(shù)都是證券市場(chǎng)這個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)產(chǎn)生的時(shí)間序列，這些時(shí)間序列之間相互作用影響，一段時(shí)間內(nèi)會(huì)出現(xiàn)相同趨勢(shì)的演化而另一時(shí)刻則會(huì)產(chǎn)生相互背離的演化。這種演化中的背離現(xiàn)象說明多個(gè)時(shí)間序列中所包含的復(fù)雜系統(tǒng)演化信息不同，因此利用多個(gè)行業(yè)指數(shù)時(shí)間序列進(jìn)行證券市場(chǎng)的復(fù)雜系統(tǒng)重構(gòu)應(yīng)比簡(jiǎn)單采用單一觀測(cè)量的重構(gòu)更加貼近真實(shí)系統(tǒng)。

2多元時(shí)間序列的定義

現(xiàn)實(shí)中，多元時(shí)間序列以各種形式廣泛存在，現(xiàn)首先給出多元時(shí)間序列的數(shù)學(xué)定義。

一系列按照時(shí)間先后順序記錄的值S={vi（1）， vi（2）， …， vi（t）， …， vi（n）}稱為時(shí)間序列。其中t（t=1，2，…，n）表示時(shí)刻，i（i=1，2，…，m）表示變量，vi（t）表示第i個(gè)變量在t時(shí)刻上的記錄值當(dāng)m>1時(shí)，S為多元時(shí)間序列（MTS）；此多元時(shí)間序列為確定性的數(shù)值類型的數(shù)據(jù)，可以用m×n矩陣表示，m為變量數(shù)，n為時(shí)間點(diǎn)數(shù)。

在多元時(shí)間序列中由于各變量間量綱等方面的差異，因此需先將數(shù)據(jù)正則化，以減少隨機(jī)波動(dòng)干擾、降低算法計(jì)算復(fù)雜度。同時(shí)，為保證MTS相似的有效性和準(zhǔn)確性對(duì)MTS數(shù)據(jù)集也有一定的初始要求，因此這里給出同構(gòu)的MTS的定義，以限定研究對(duì)象范圍。

同構(gòu)的MTS需要滿足以下三個(gè)要求：①對(duì)于MTS數(shù)據(jù)集，各序列的變量維數(shù)相同，變量之間一一對(duì)應(yīng)且表示相同的含義；②對(duì)于某一MTS樣本，各變量數(shù)值的記錄時(shí)刻對(duì)應(yīng)，且具有相同的時(shí)間粒度；③MTS需經(jīng)正則化處理。

3多變量相空間重構(gòu)參數(shù)的選取方法

在非線性多變量數(shù)據(jù)分析中，采用虛假鄰點(diǎn)法進(jìn)行相空間重構(gòu)是一種簡(jiǎn)單易行的常用方法。該算法具有計(jì)算過程簡(jiǎn)單、計(jì)算速度快等特點(diǎn)。虛假鄰點(diǎn)法是由 Kennel 等人提出的算法，該方法的基本思想是當(dāng)嵌入維數(shù)m變成m+1時(shí)，考察信號(hào)xn的鄰點(diǎn)中哪些是真實(shí)的，哪些是虛假的鄰點(diǎn)，當(dāng)沒有虛假鄰點(diǎn)時(shí)，可以認(rèn)為幾何結(jié)構(gòu)完全被打開，此時(shí)的m即為所求的最佳嵌入維數(shù)。設(shè)xn的最近鄰點(diǎn)為xη（n），當(dāng)m1增大到m1+1時(shí)，重新計(jì)算兩個(gè)信號(hào)之間的距離并求與原距離之間的比值：

xη（n）+xn（m1…ml+1…mL）-xη（n）-xn（m1…ml…ML）xη（n）-xn（m1…ml…mL）≥σ0

如果距離變化的比值大于σ0，則xη（n）是xn的虛假鄰點(diǎn)。對(duì)于多維信號(hào)（m1，…，ml，…mL）從（1，…，1，…，1）開始，每次ml增加1，直到虛假鄰點(diǎn)的比例小于δ，則可以認(rèn)為吸引子的幾何機(jī)構(gòu)完全打開，此時(shí)的（m1，…，ml，…mL）為最佳嵌入維數(shù)。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)通常預(yù)定義σ0=10，δ=5%。

4相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)理論是研究混沌理論的基礎(chǔ)。Takens和Packard 等人認(rèn)為系統(tǒng)中任意一分量的演化都是由與之相互作用的其他分量所決定的。因此，這些相關(guān)分量的信息隱含在任意一個(gè)分量的發(fā)展過程中，重構(gòu)系統(tǒng)相空間只需考察一個(gè)分量。

設(shè)X表示觀測(cè)到的混沌時(shí)間序列，x（t），t=1，2，…，n，根據(jù)Takens定理，進(jìn)行相空間重構(gòu)，則在狀態(tài)空間中重構(gòu)后的狀態(tài)矢量可以表示為：Xi=（xi，xi+1，…，xi+（m-1）t）T（i=1，2，…，i+（m-1）t），其中i+（m-1）是重構(gòu)相空間中的相點(diǎn)個(gè)數(shù)，t是延遲時(shí)間，m是嵌入維數(shù)。Takens 證明了可以找到一個(gè)合適的嵌入維數(shù)，即如果延遲坐標(biāo)的維數(shù)m≥2d+1，d是動(dòng)力系統(tǒng)的維數(shù)，在這個(gè)嵌入維空間里就可以把吸引子恢復(fù)出來。

5復(fù)雜非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)

結(jié)構(gòu)復(fù)雜的非線性數(shù)據(jù)，不適宜從數(shù)據(jù)特性出發(fā)分析建模，而唯象預(yù)測(cè)方法就不關(guān)心數(shù)據(jù)本身所具有的特性，只是利用現(xiàn)存歷史數(shù)據(jù)去逼近模型進(jìn)而預(yù)測(cè)未來。1989 年 Billings 等人提出的非線性自回歸滑動(dòng)平均（NARMA）模型，具有形式簡(jiǎn)潔、高度概括等特點(diǎn)。

主要建模步驟如下：

（1）對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行零均值平穩(wěn)化處理。時(shí)間序列一般可分為平穩(wěn)時(shí)間序列和趨勢(shì)性序列。時(shí)間序列的趨勢(shì)又分為線性趨勢(shì)和非線性趨勢(shì)。若時(shí)間序列為非平穩(wěn)序列，具有向下或向上的趨勢(shì)，建模之前需要進(jìn)行序列平穩(wěn)化處理，即零均值化、平穩(wěn)化處理。

（2）逐漸增加模型階數(shù)，擬合ARMA（n，n-1）模型。即一階、一階增加模型階數(shù)，模型參數(shù)采用非線性最小二乘法估計(jì)，具體算法采用最速下降法。選擇殘差序列最小方差對(duì)應(yīng)的模型作為初選模型。

（3）模型適應(yīng)性檢驗(yàn)。

（4）求最優(yōu)模型。系統(tǒng)意義上的最優(yōu)模型不僅是一個(gè)適應(yīng)模型，而且是一個(gè)經(jīng)濟(jì)的模型。因此還需要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠癜?shù)，若有，可用F檢驗(yàn)判斷是否可以刪去，擬合較低階模型，進(jìn)而得到系統(tǒng)意義上的最優(yōu)模型。

（5）時(shí)間序列預(yù)測(cè)。

6問題與展望

基于非線性動(dòng)力學(xué)的時(shí)間序列分析和預(yù)測(cè)技術(shù)的主要支撐理論是20世紀(jì)80年代初PTakens和RMane提出的相空間延遲重構(gòu)技術(shù)，這一方法后來由 TSaner等作了完善和推廣。實(shí)際環(huán)境中，對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的觀測(cè)時(shí)間序列通常是有限長(zhǎng)的，甚至很短，具有噪聲，而另一方面觀測(cè)時(shí)間序列是同時(shí)產(chǎn)生的多維時(shí)間序列，這些時(shí)間序列中可能包含大量的冗余信息也可能包含著十分有用的復(fù)雜系統(tǒng)演化信息。本文研究無疑能為金融機(jī)構(gòu)與投資者深入認(rèn)識(shí)金融市場(chǎng)規(guī)律、有效地進(jìn)行金融管理、提高金融投融資效率等提供新的數(shù)量技術(shù)支撐，對(duì)促進(jìn)金融市場(chǎng)技術(shù)分析理論與方法的創(chuàng)新和發(fā)展具有重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義。

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（上接P99）

根據(jù)上圖，該體系框架自上而下共分為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層、方案層和指標(biāo)層四個(gè)層次。其中，最高層是企業(yè)戰(zhàn)略目標(biāo)層，即追求企業(yè)EVA最大化；第二層是準(zhǔn)則層，以BSC的財(cái)務(wù)、顧客、內(nèi)部業(yè)務(wù)流程、學(xué)習(xí)與成長(zhǎng)四個(gè)維度作為實(shí)現(xiàn)戰(zhàn)略目標(biāo)的準(zhǔn)則；第三層是方案層，通過具體措施的事實(shí)保證四個(gè)維度策略的執(zhí)行；最后一層是指標(biāo)層，利用具體的業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)措施執(zhí)行的效果進(jìn)行衡量。在實(shí)施過程中，企業(yè)可以結(jié)合自身實(shí)際情況，對(duì)具體指標(biāo)進(jìn)行挑選和組合，并對(duì)相應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行權(quán)重設(shè)計(jì)，從而能夠有效的實(shí)現(xiàn)企業(yè)戰(zhàn)略業(yè)績(jī)?cè)u(píng)價(jià)。