6174猜想

葉子

1955年，卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了對四位數(shù)的一種變換：任給出四位數(shù)k0，用它的四個數(shù)字由大到小重新排列成一個四位數(shù)m，再減去它的反序數(shù)rev（m），得出數(shù)k1=m-rev（m），然后，繼續(xù)對k1重復上述變換，得數(shù)k2。如此進行下去，卡普耶卡發(fā)現(xiàn)，無論k0是多大的四位數(shù)。

只要四個數(shù)字不全相同，最多進行7次上述變換，就會出現(xiàn)四位數(shù)6174。

例如：

k0=5298，k1=9852-2589=7263，

k2=7632-2367=5265，

k3=6552-2556=3996，

k4=9963-3699=6264，

k5=6642-2466=4176，

k6=7641-1467=6174。

后來，這個問題就流傳下來，人們稱這個問題為“6174問題”，上述變換稱為卡普耶卡變換，簡稱 K 變換。

一般地，只要在0，1，2，…，9中任取4個不全相等的數(shù)字組成一個整數(shù)k0（不一定是四位數(shù)），然后從k0開始不斷地作K變換，得出數(shù)k1，k2，k3，…，則必有某個m（m≤7），使得km=6174。

更一般地，從0，1，2，…，9中任取n個不全相同的數(shù)字組成一個十進制數(shù)k0（不一定是n位數(shù)），然后，從k0開始不斷地做K變換，得出k1，k2，…，那么結果會是怎樣的呢？現(xiàn)在已經(jīng)知道的是：

n=2，只能形成一個循環(huán)：（27，45，09，81，63）。例如取兩個數(shù)字7與3，連續(xù)不斷地做K變換，得出：36，27，45，09，81，27，…出現(xiàn)循環(huán)。

n=3，只能形成一個循環(huán)：（495）。

n=4，只能形成一個循環(huán)：（6174）。

n=5，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個循環(huán)：

（53855，59994），

（62964，71973，83952，74943），

（63954，61974，82962，75933）。

n=6，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個循環(huán)：

（642654，…），（631764，…），（549945，…）。

n=7，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一個循環(huán)：（8719722，…）。

n=8，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)四個循環(huán)：

（63317664），（97508421），（83208762，…），

（86308632，…）

n=9，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三個循環(huán)：

（864197532），（975296421，…），（965296431，…）

容易證明，對于任何自然數(shù)n≥2，連續(xù)做K變換必定要形成循環(huán)。這是因為由n個數(shù)字組成的數(shù)只有有限個的緣故。但是對于n≥5，循環(huán)的個數(shù)以及循環(huán)的長度（指每個循環(huán)中所包含數(shù)的個數(shù)）尚不清楚，這也是國內(nèi)一些數(shù)學愛好者熱衷于研究的一個課題。