在初中代數(shù)概念課中引導(dǎo)學(xué)生自主變式的研究

張杏

【摘要】 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開始和基礎(chǔ)，任何數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是始于概念的探討和研究的。因此，數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)知識(shí)的必要基礎(chǔ)，也是訓(xùn)練和提高學(xué)生基本數(shù)學(xué)技能的重要環(huán)節(jié)。從教學(xué)實(shí)踐來看，變式教學(xué)是數(shù)學(xué)概念教學(xué)最為有效的方法之一，實(shí)際教學(xué)中，我們應(yīng)該做到具體情況具體分析，讓學(xué)生真正參與到教學(xué)之中，在對(duì)一個(gè)個(gè)變式的研究與討論過程中，實(shí)現(xiàn)自主完善、自我提高。教學(xué)變式的設(shè)計(jì)應(yīng)該注意呈現(xiàn)差異性，體現(xiàn)層次性，具有開闊性，彰顯靈活性。

【關(guān)鍵詞】 初中 代數(shù) 變式 問題

【中圖分類號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2014）03-057-02

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的開始和基礎(chǔ)，任何數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是始于概念的探討和研究的。就本質(zhì)而言，數(shù)學(xué)概念所反應(yīng)的是客觀事物的空間結(jié)構(gòu)與各組成部分之間的內(nèi)在關(guān)系，是人們經(jīng)過研究和實(shí)踐總結(jié)歸納出來的事物屬性的抽象概括，也是各種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的匯聚點(diǎn)。因此，數(shù)學(xué)概念是學(xué)生學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)知識(shí)的必要基礎(chǔ)，也是訓(xùn)練和提高學(xué)生基本數(shù)學(xué)技能的重要環(huán)節(jié)。從教學(xué)實(shí)踐來看，變式教學(xué)是數(shù)學(xué)概念教學(xué)最為有效的方法之一，以下筆者就來結(jié)合具體教學(xué)案例來談一談自己的看法，以饗讀者。

一、變式教學(xué)的相關(guān)概念

所謂“變式”，就是在不斷變更對(duì)象的非本質(zhì)屬性，而使學(xué)生更加注意事物的本質(zhì)特征，從變化之中找到不變，形成“公理化”的認(rèn)識(shí)。所謂“變式教學(xué)”，就是指課堂教學(xué)過程中，以變換教學(xué)材料的組織方式，讓學(xué)生在不同的例題、習(xí)題和新舊知識(shí)的對(duì)比當(dāng)中找到知識(shí)的本質(zhì)以及不同知識(shí)、概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。由此來看，變式教學(xué)實(shí)質(zhì)上就是不斷變換題型、變換知識(shí)的表達(dá)形式和敘述方式，使學(xué)生從不同的角度來對(duì)相關(guān)、相近、相反的概念來進(jìn)行對(duì)比分析，實(shí)際上就是一種對(duì)比教學(xué)法。其實(shí)，對(duì)于我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)來說，變式教學(xué)并不是一個(gè)新的概念，只是相關(guān)的理論梳理和實(shí)證研究工作做得不多?，F(xiàn)在，有關(guān)的研究都是以顧泠沅、馬登等人的變易原理和變式對(duì)比理論為基礎(chǔ)的。

變式教學(xué)實(shí)質(zhì)上就是為了促進(jìn)學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)。為了實(shí)現(xiàn)這一目的，教師就需要根據(jù)實(shí)際教學(xué)需要，綜合考慮教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，合理地設(shè)計(jì)教學(xué)變式，使學(xué)生從多個(gè)角度、多個(gè)側(cè)面來深入思考數(shù)學(xué)概念，增強(qiáng)教學(xué)活動(dòng)的互動(dòng)性和有效性，真正完成教學(xué)目標(biāo)。

二、變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用方式

對(duì)于初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)來說，其根本任務(wù)是讓學(xué)生從來源上把握概念，并由此拓展概念的內(nèi)涵和外延，理解不同概念之間的關(guān)系，學(xué)會(huì)靈活地應(yīng)用概念來解決實(shí)際問題。根據(jù)概念的不同類型，我們可以將概念變式教學(xué)分為四類，即描述性概念、定義型概念、難理解概念和難想象概念。實(shí)際教學(xué)中，我們應(yīng)該做到具體情況具體分析，讓學(xué)生真正參與到教學(xué)之中，在對(duì)一個(gè)個(gè)變式的研究與討論過程中，實(shí)現(xiàn)自主完善、自我提高。

1. 應(yīng)用變式教學(xué)來進(jìn)行描述性概念教學(xué)

概念的產(chǎn)生和描述方式不同，變式教學(xué)法的方法就有所不同。如數(shù)學(xué)概念當(dāng)中并沒有明確的定義，而只是對(duì)其特征加以描述或列舉其不同表現(xiàn)形式、反例圖式等。對(duì)于此類概念，我們應(yīng)該針對(duì)其內(nèi)涵和外延，讓學(xué)生自主地思想，培養(yǎng)學(xué)生深刻的思維。當(dāng)然，如果能使之建立具體事物、感性經(jīng)驗(yàn)和抽象概念之間的聯(lián)系，則教學(xué)就會(huì)變得相當(dāng)簡(jiǎn)單和自然。相關(guān)的研究也表明，影響學(xué)生掌握代數(shù)概念的因素主要有三個(gè)，一是學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，二是概念的敘述方式，三是為掌握概念所呈現(xiàn)的各種變式。以數(shù)軸的教學(xué)為例，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師往往會(huì)借助以下兩類變式來完成教學(xué)任務(wù)：一是通過生活實(shí)例來激活學(xué)生已有的感性經(jīng)驗(yàn)，使其理解數(shù)軸的實(shí)際含義，如舉出兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)以5米/秒的速度出發(fā)，向相反的方向行走，如何描述兩人兩秒后距離出發(fā)點(diǎn)的距離之類的問題就非常恰當(dāng)；二是利用不同的生活生產(chǎn)實(shí)例作為變式，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)由直觀材料形成的感性經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念的升華和過度，使之掌握數(shù)軸的數(shù)學(xué)含義，準(zhǔn)確把握數(shù)軸的數(shù)學(xué)外延。也就是說，在教學(xué)過程中應(yīng)該多舉實(shí)例，使學(xué)生從不同的生活實(shí)例當(dāng)中找到數(shù)軸上數(shù)值正負(fù)的含義：方向不同。當(dāng)然，在教學(xué)發(fā)展到一定階段之時(shí)，我們就可以擺脫數(shù)學(xué)概念所依賴的具體的或直觀的生活場(chǎng)景，使學(xué)生能通過自己的邏輯思維來理解數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)了。而當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)達(dá)到一定程度之后，甚至某些基本的數(shù)學(xué)概念成為其學(xué)習(xí)新概念的直觀變式。所以，我們這里所說的數(shù)學(xué)概念是抽象的還是具體的，是一個(gè)相對(duì)的概念。

2. 應(yīng)用變式教學(xué)來進(jìn)行描述性概念教學(xué)

有些概念，在數(shù)學(xué)當(dāng)中是有明確定義的，也就是說，教科書當(dāng)中有明確的、陳述性的定義。對(duì)于這燈概念，我們應(yīng)該通過變式來引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地完成新概念與已有概念、特別是已有的相關(guān)概念之間的聯(lián)系，讓學(xué)生在將新概念與已有概念的對(duì)比和聯(lián)系當(dāng)中體會(huì)新概念的本質(zhì)屬性，從而完成對(duì)新概念的理解，也就是要讓學(xué)生主動(dòng)完成心理學(xué)上所說的概念的同化的過程。在此過程中，學(xué)生受知識(shí)水平和認(rèn)知能力的限制，極有可能會(huì)在理解新概念時(shí)，加入自己主觀臆斷的成分。為避免這一情況產(chǎn)生的負(fù)作用，我們應(yīng)該結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以邏輯關(guān)系為依據(jù)來創(chuàng)設(shè)，利用概念的真命題、逆命題、否命題來引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的源頭，摒棄錯(cuò)誤思想，樹立正確觀念。

對(duì)于那些學(xué)生難以接受的概念，我們不妨將相關(guān)甚至相對(duì)的概念放在一起，讓學(xué)生在自發(fā)的對(duì)比、對(duì)照過程中，了解各個(gè)概念之間的聯(lián)系與區(qū)別。初中代數(shù)當(dāng)中的不少概念之間是相容和不相容的關(guān)系，而即使是相容的概念，其關(guān)系又可以分為從屬、交叉和同一三種關(guān)系。比如，自然數(shù)和正整數(shù)就是同一關(guān)系，算術(shù)平方根的平方要是從屬關(guān)系，而根式和方根則是交叉關(guān)系。我們?cè)谏鲜鰩捉M概念的教學(xué)中，就要將對(duì)應(yīng)的概念加以對(duì)照比較，使之由表及里地理解相關(guān)概念。

只有學(xué)生深刻地理解了數(shù)學(xué)概念，才能為提高解題能力和實(shí)際應(yīng)用能力打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)；反之，也只有經(jīng)過一系列的相關(guān)題目的訓(xùn)練，學(xué)生才能更全面、更深刻地理解和掌握概念的內(nèi)涵和外延。在教科書和參考資料當(dāng)中都有大量的例子，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該充分利用起來。當(dāng)然，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，理解上出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤，也往往是我們重要的教學(xué)素材，如果能加以整理，則可形成針對(duì)性極強(qiáng)的訓(xùn)練題目，再配合學(xué)生自主練習(xí)、小組討論、課堂交流、教師點(diǎn)評(píng)，則會(huì)使學(xué)生茅塞頓開、恍然大悟。

3. 應(yīng)用變式教學(xué)來突破難理解概念

教學(xué)實(shí)踐中，我們會(huì)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，盡管有些概念在數(shù)學(xué)當(dāng)中有明確的定義，通過教學(xué)之后，學(xué)生也能一字不落地背出來，定義當(dāng)中各個(gè)詞語(yǔ)的意思學(xué)生也能對(duì)答如流，但是只要一做題就出錯(cuò)，出了錯(cuò)學(xué)生是一點(diǎn)就透、一說就明白。出現(xiàn)這種情況，就說明學(xué)生對(duì)概念的理解仍然只是表面的、淺層次的，而并沒有清楚地理解概念的實(shí)質(zhì)。此時(shí)，我們應(yīng)該變換教學(xué)角度，學(xué)生理解概念當(dāng)中每一個(gè)修飾性詞語(yǔ)的深刻含義，當(dāng)然，最好能再結(jié)合具體例子來使學(xué)生從正反兩個(gè)方面來重新認(rèn)識(shí)概念，讓學(xué)生改變或者加深對(duì)概念的認(rèn)識(shí)，使其對(duì)概念的理解更加具體、更有意義。

如對(duì)于二次根式，課本是這樣描述的：“一般地，式子■（a≥0）叫做二次根式?！边@是一個(gè)典型的描述性的概念。在這一概念當(dāng)中，式子■（a≥0）是作為整體來出現(xiàn)的，其中a≥0是二次根式的必要條件，教學(xué)過程中我們可以分別舉出a>0、a=0、a<0的例子來讓學(xué)生判斷是否屬于二次根式。再如，對(duì)于函數(shù)，初中代數(shù)當(dāng)中是這樣定義的：“在某一變化過程中，有兩個(gè)變量x、y，在某一范圍內(nèi)，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與其相對(duì)應(yīng)，這時(shí)，就稱y是x的函數(shù)。這時(shí)，x是自變量，y是因變量?！睘榱思m正學(xué)生在理解上的偏差，我們可以從如下四個(gè)方面來逐層剖析：一是存在“某一變化過程”，這是變量存在的基礎(chǔ)；二是“有兩個(gè)變量x、y”，這表明函數(shù)所描述的是兩個(gè)變量之間的相互關(guān)系；三是“在某一范圍內(nèi)，如果對(duì)于x的每一個(gè)值”，這意在將變量x的值限制在某一范圍之內(nèi)，也就是說函數(shù)有意義所要滿足的條件；四是“y都有唯一的值與其相對(duì)應(yīng)”，也就是說x和y應(yīng)該是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。如此一來，層層深入，就會(huì)使學(xué)生理解，函數(shù)從本質(zhì)上來說就是一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

4. 應(yīng)用教學(xué)來突破難想象概念

在數(shù)學(xué)當(dāng)中，不少概念看起來好像是簡(jiǎn)單而且具體的，但是一旦應(yīng)用到實(shí)際情況當(dāng)中，學(xué)生往往不知如何下手。實(shí)際上要解決這種情況，最好的辦法就是展示出概念產(chǎn)生的背景和經(jīng)常出現(xiàn)的方式，以實(shí)現(xiàn)概念的變式。

在初中代數(shù)當(dāng)中，特別是涉及數(shù)軸、函數(shù)圖象等知識(shí)時(shí)，往往需要借助幾何圖形來理解概念或者解決相關(guān)問題，因此初中代數(shù)教學(xué)當(dāng)中特別強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合的思想，以幫助學(xué)生正確地理解和應(yīng)用概念。如，我們?cè)诰毩?xí)和考試當(dāng)中常見與如下題目相類似的題目：

文具店、書店、服裝店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店的西邊30m處，服裝店在書店的東邊80m處，小明從書店出來沿街先向西走了20m，接著又向東走了100m，則小明此時(shí)的位置在（ ）

A. 文具店處 B. 書店?yáng)|100m處

C. 服裝店處 D. 文具店?yáng)|100m處

這一題目其實(shí)并不難，但對(duì)于初一學(xué)生而言，如果單憑想象，則往往不得要領(lǐng)。如果我們引導(dǎo)學(xué)生以書店為原點(diǎn)、以向東為正方向、以是1m為單位長(zhǎng)度建立數(shù)軸，將題述情況畫到畫軸之上，則文具店、服裝店的位置分別可用-30、+80來表示。這校一來，小明從書店向西走了20m，接著又向東走了100m，則其位置正好處于+80，即小明所在位置為服裝店處。這樣做的話，學(xué)生就會(huì)完成由實(shí)際生活案例向代數(shù)知識(shí)的轉(zhuǎn)變，學(xué)會(huì)用代數(shù)知識(shí)來理解、描述和分析日常生活行為。

三、應(yīng)用變式教學(xué)需要注意的問題

如前所述，應(yīng)用變式教學(xué)來進(jìn)行概念教學(xué)，方便實(shí)用，有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的全面理解，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，有利于改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，更好地激發(fā)學(xué)生的自主思考，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激活學(xué)生的發(fā)散思想，特別適合基礎(chǔ)差、積極性新的學(xué)生在數(shù)學(xué)上有所發(fā)展。從這些方面來說，變式教學(xué)都是頗為符合新課程的要求的。但是，我們應(yīng)該注意，我們所說的變式教學(xué)絕不是為了“變式”而“變式”，而應(yīng)該以教學(xué)需要為依據(jù)，以學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)規(guī)律為準(zhǔn)繩，有序、科學(xué)、合理地設(shè)計(jì)教學(xué)變式，讓學(xué)生在變式訓(xùn)練的過程中，深化對(duì)知識(shí)的理解，將學(xué)科知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力，掌握數(shù)學(xué)技巧，真正完成“應(yīng)用——理解——形成技能和能力”的完整認(rèn)知過程。所以，數(shù)學(xué)變式的設(shè)計(jì)要講究“巧”，要注意藝術(shù)性，要把握好“度”。一般說來，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教學(xué)變式的設(shè)計(jì)應(yīng)該注意以下幾個(gè)問題：

1. 呈現(xiàn)差異性。設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)變式必須突出一個(gè)“變”字，不能是同一題目的簡(jiǎn)單、機(jī)械地重復(fù)。當(dāng)然，我們說突出“變”字，并不是說同一題組之間無(wú)任何聯(lián)系，而是同一題組之間的不同題目應(yīng)該有明顯的差異，只有這樣，學(xué)生在分析問題和解決問題的過程中感覺既熟悉又新鮮。從心理學(xué)的角度來看，只有新鮮的題目才能給學(xué)生以強(qiáng)烈的刺激，使之處于高度興奮狀態(tài)，集中注意力分析題目之間的不同，積極思考，主動(dòng)探索，從而收到較好的訓(xùn)練效果。所以我們說，在代數(shù)概念教學(xué)的變式設(shè)計(jì)中，應(yīng)該力爭(zhēng)做到變中求“活”，變中求“新”，變中求“異”，變中求“廣”。

2. 體現(xiàn)層次性。我們說概念變式教學(xué)所設(shè)計(jì)的問題不能過于簡(jiǎn)單，讓學(xué)生一眼看穿，否則將無(wú)法調(diào)動(dòng)學(xué)生思考的積極性。但是，在變式設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)該遵循由易到難、逐步深入、層層遞進(jìn)的原則，使一系列的問題總能處于學(xué)生思維能力的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。唯有如此，方能既保證學(xué)生的求知欲和好奇心，又使學(xué)生在解決和分析問題的過程中提升自身能力和素質(zhì)，能夠自主地跨過一個(gè)又一個(gè)“門坎”。

3. 具有開闊性。好的藝術(shù)作品，意境開闊方能令人回味無(wú)窮。教學(xué)設(shè)計(jì)也是如此。對(duì)于概念教學(xué)的變式設(shè)計(jì)來說，應(yīng)該給學(xué)生留下足夠的思考空間，使其有意猶未盡之感。要做到這一點(diǎn)，教學(xué)設(shè)計(jì)當(dāng)中所引用的生產(chǎn)、生活實(shí)例和例題就要具備三個(gè)特點(diǎn)：一是與相關(guān)知識(shí)具有橫向聯(lián)系，能引起學(xué)生的聯(lián)想；二是題目延伸性強(qiáng)，可以實(shí)現(xiàn)一題多變，激起學(xué)生變中求統(tǒng)一的欲望；三是題目的分析與解決過程體現(xiàn)創(chuàng)造性和深刻性，對(duì)學(xué)生具有方法啟迪。

4. 彰顯靈活性。即變式設(shè)計(jì)應(yīng)該符合學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際，緊扣教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)，變式設(shè)計(jì)的方式靈活多樣，學(xué)生能夠在教師啟發(fā)下獨(dú)立完成探索過程，或者至少能夠半獨(dú)立地完成思考和討論。當(dāng)然，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的不同，我們可以安排學(xué)生就數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延分散訓(xùn)練，也可以安排學(xué)生進(jìn)行集中討論，甚至將對(duì)一個(gè)概念的掌握分為為若干個(gè)變式，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的螺旋上升過程。這樣一來，就會(huì)吸引學(xué)生多種感官來參與學(xué)習(xí)，使其大腦和神經(jīng)始終處于高度興奮狀態(tài)，收到最佳的教學(xué)效果。

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