逆向思維 順?biāo)兄?/h1>
2014-04-29 00:44:03馬建松
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·高中版 2014年3期
馬建松
摘 要：逆向思維是數(shù)學(xué)中的一種重要思維方法，在教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用. 可通過(guò)概念法則逆用，改變角度訓(xùn)練學(xué)生思維，轉(zhuǎn)換對(duì)象靈活變換中培養(yǎng)學(xué)生的能力.
關(guān)鍵詞：逆向思維；作用；應(yīng)用
逆向思維又稱反向思維，它是人們?cè)谘芯窟^(guò)程中有意識(shí)地去做與習(xí)慣性思維方向完全相反的探索，即：若把A→B的連續(xù)思維看做正向聯(lián)結(jié)，并稱這個(gè)心理過(guò)程為正向思維，那么就把相反的連續(xù)B→A看做為逆向聯(lián)結(jié)，并稱這一心理過(guò)程為逆向思維. 逆向思維有利于防止思維僵化和擺脫思維定式，有利于拓寬思路、深化知識(shí)，它是開(kāi)拓型人才必備的思維品質(zhì). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分認(rèn)識(shí)逆向思維的作用，結(jié)合教材內(nèi)容，不僅能進(jìn)一步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)、開(kāi)闊思路，更好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，還能達(dá)到激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造精神、提升學(xué)習(xí)能力的目的.
概念法則逆用，幫助學(xué)生透徹掌握理論知識(shí)
數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是智力的核心.逆向思維是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要法則，其特點(diǎn)表現(xiàn)在：善于從不同的立場(chǎng)、不同的角度、不同的側(cè)面去進(jìn)行探索，當(dāng)某一思路出現(xiàn)阻礙時(shí)，能夠迅速地轉(zhuǎn)移到另一種思路上去，從而使問(wèn)題得到順利解決. 當(dāng)學(xué)生經(jīng)過(guò)努力從正向理解了某個(gè)概念、定理、公式、法則后，若能適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思考，往往會(huì)跨進(jìn)新的知識(shí)領(lǐng)域. 下面就職中數(shù)學(xué)中比較常遇到地要用逆定理、逆公式、逆法則來(lái)解題的情況做一個(gè)簡(jiǎn)要介紹.
1. 逆用定理
重視定義和定理的逆用，加深對(duì)概念內(nèi)涵的認(rèn)識(shí). 許多數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是要求學(xué)生能對(duì)定義和定理進(jìn)行再認(rèn)或逆用.在教學(xué)實(shí)踐中，有的學(xué)生能把書(shū)上的定義背得滾瓜爛熟，但當(dāng)改變一下定義的敘述方式或通過(guò)一個(gè)具體的問(wèn)題來(lái)表述時(shí)，學(xué)生就不知所措了. 作為定義的數(shù)學(xué)命題，其逆命題總是存在，并且是成立的. 因此，學(xué)習(xí)一個(gè)新概念，如果注意從逆向提問(wèn)，學(xué)生不僅對(duì)概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的良好習(xí)慣. 如在幾何的教學(xué)中，對(duì)每一個(gè)定義，都要引導(dǎo)學(xué)生分清其正逆方向的關(guān)系，對(duì)今后推理論證的教學(xué)很有裨益. 在講定義時(shí)，如不強(qiáng)調(diào)它一定具有可逆性，將會(huì)引起學(xué)生對(duì)定義的逆用產(chǎn)生懷疑. 如：直線與平面平行的判定定理，簡(jiǎn)單地可記作“若線線平行，則線面平行”. 反向可設(shè)問(wèn)“若線面平行”，能否得到“線線平行”呢？又如：
例1 解方程：（5-2 ）x2-5x+2 =0.
分析：此題容易想到用求根公式來(lái)解，但計(jì)算煩瑣，如注意到方程中各項(xiàng)系數(shù)之和“a+b+c=0”的特點(diǎn)，就可以逆用方程根的定義，可知“x=1”是方程的一個(gè)根，再根據(jù)韋達(dá)定理求出另一個(gè)根.
解：因?yàn)椋?-2 ）-5+2 =0，
所以x=1是原方程的一個(gè)根，設(shè)另一個(gè)根為x2，由韋達(dá)定理，得：x2= ，即：x2=24+10 .
所以x1=1，x2=24+10 .
例2 已知 + -1=0，n4+n2-1=0，且 ≠n2，求： 的值.
分析：由已知可得： 2+ -1=0，（n2）2+n2-1=0，且 ≠n2，逆向思維，聯(lián)想到方程x2+x-1=0， ，n2恰好是此方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而可根據(jù)韋達(dá)定理得： +n2=-1，
即：原式=-1.
2. 逆用公式
數(shù)學(xué)中的公式總是雙向的，可很多學(xué)生只會(huì)從左到右順用公式，對(duì)于逆用，尤其是利用變形的公式更不習(xí)慣. 事實(shí)上，若能夠靈活地逆用公式，在解題時(shí)就能得心應(yīng)手，左右逢源.在此應(yīng)特別注意兩點(diǎn)：第一、強(qiáng)調(diào)公式的順用和逆用、“聚合”和“展開(kāi)”. 第二、逆用公式是求代數(shù)式的值、化簡(jiǎn)、計(jì)算的常用手段.
例3 計(jì)算sin12°cos33°+cos12°·sin33°.
分析：運(yùn)用加法定理的逆定理sinx cosy+cosxsiny=sin（x+y），得sin12°cos33°+cos12°sin33°=sin（12°+33°）=sin45°.
3. 逆用法則
數(shù)學(xué)中的很多運(yùn)算都有一個(gè)與它相反的運(yùn)算作為逆運(yùn)算，如：加法和減法、乘法和除法、乘方和開(kāi)方都是互為逆運(yùn)算，彼此依存，共同反映某種變化中的數(shù)量關(guān)系. 而且在同一級(jí)運(yùn)算中，可以互相轉(zhuǎn)化，如利用相反數(shù)的概念減法可以轉(zhuǎn)化為加法，利用倒數(shù)的概念可以轉(zhuǎn)化為乘法.
例4 已知：xm=3，xn=7，求：x3m-2n的值.
分析：該題將同底數(shù)冪除法法則逆用后得到結(jié)果.
解：原式=x3m÷x2n=（xm）3÷（xn）2=33÷72= .
例5 已知：a=355，b=444，c=533，試比較a，b，c的大小.
解：因?yàn)閍=（35）11=24311，b=（44）11=25611，c=（53）11=12511. 又因?yàn)?25﹤243﹤256，所以c﹤a﹤b.
改變角度，訓(xùn)練學(xué)生思維能力
在學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些問(wèn)題，當(dāng)從正面考慮時(shí)會(huì)出現(xiàn)很多障礙，或者根本解決不了，而從反面著手，往往可以使問(wèn)題迎刃而解，再或者證明問(wèn)題的不可能性等等都需要有非常規(guī)思路去解決. 非常規(guī)地實(shí)施逆向思維的訓(xùn)練常采用以下三種策略：
1. “正”難則“反”
反證法是一種逆向思維的方法，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，是解數(shù)學(xué)題常用的方法. 當(dāng)題目出現(xiàn)有“至少”或“至多”字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般采用反證法.通常，反證的基本程序是：（1）反設(shè)——根據(jù)原命題提出與它對(duì)立的反命題；（2）歸謬——從假設(shè)的反命題出發(fā)，運(yùn)用已知條件、數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行分析推理，論證反命題不成立（不正確）；（3）結(jié)論——肯定原命題成立（或正確）.
例6 已知：A，B，C，D是空間四個(gè)點(diǎn)，AB，CD是異面直線，求證：AC與BD，AD與BC也都是異面直線.
證明：假定AC和BD不是異面直線，那么AC和BD在同一個(gè)平面內(nèi)，因此，A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi). 這樣AB和CD就分別有兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)，所以AB和CD在這個(gè)平面內(nèi)，即AB和CD不是異面直線，這與已知條件矛盾，所以AC和BD是異面直線. 同理可證AD和BC也是異面直線.
2. 以“退”求“進(jìn)”
逆向思維是一種突破常規(guī)定型模式和超越傳統(tǒng)理論框架，把思路指向新的領(lǐng)域和新的客體的思維方式. 它也是一種啟發(fā)智力的方式，有悖于通常人們的習(xí)慣，而正是這一特點(diǎn)，使得許多靠正常思維不能或是難于解決的問(wèn)題迎刃而解. 一些正常思維雖能解決的問(wèn)題，但在它的參與下，過(guò)程可以大大簡(jiǎn)化，效率可以成倍提高.
例7 解方程：x4+x3-6x2-2x+4=0.
分析：解分式方程的基本思路是把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，然而將整式方程逆向轉(zhuǎn)化為分式方程來(lái)解，有時(shí)也會(huì)令人耳目一新.此題要在方程的兩邊同除以x2，“退”到分式方程再來(lái)解，采取以“退”求“進(jìn)”策略.
解：顯然x≠0，方程的兩邊同除以x2，得：
x2+x-6- + =0，x2+ +x- -6=0，x- 2+x- -2=0.
所以x1=-1+ ，x2=-1- ，x3=2，x4=-1.
3. 反“客”為“主”
例8 已知：關(guān)于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求：實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析：按常規(guī)思路，把x當(dāng)成主元，求出x，再對(duì)a進(jìn)行討論，解題過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，如果啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用逆向思維，把a(bǔ)當(dāng)做主元，這種反客為主的技巧很新穎別致.
解：原方程可變?yōu)椋篴2-（x2+2x）a+x3-1=0，
[a-（x-1）][a-（x2+x+1）]=0，解得：
x=a+1或x2+x+1-a=0，
因?yàn)樵匠逃星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)根，所以方程x2+x+1-a=0無(wú)實(shí)數(shù)根.
所以Δ=1-4（1-a）<0，解得：a< .
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馬建松
摘 要：逆向思維是數(shù)學(xué)中的一種重要思維方法，在教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用. 可通過(guò)概念法則逆用，改變角度訓(xùn)練學(xué)生思維，轉(zhuǎn)換對(duì)象靈活變換中培養(yǎng)學(xué)生的能力.
關(guān)鍵詞：逆向思維；作用；應(yīng)用
逆向思維又稱反向思維，它是人們?cè)谘芯窟^(guò)程中有意識(shí)地去做與習(xí)慣性思維方向完全相反的探索，即：若把A→B的連續(xù)思維看做正向聯(lián)結(jié)，并稱這個(gè)心理過(guò)程為正向思維，那么就把相反的連續(xù)B→A看做為逆向聯(lián)結(jié)，并稱這一心理過(guò)程為逆向思維. 逆向思維有利于防止思維僵化和擺脫思維定式，有利于拓寬思路、深化知識(shí)，它是開(kāi)拓型人才必備的思維品質(zhì). 在數(shù)學(xué)教學(xué)中充分認(rèn)識(shí)逆向思維的作用，結(jié)合教材內(nèi)容，不僅能進(jìn)一步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)、開(kāi)闊思路，更好地實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，還能達(dá)到激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造精神、提升學(xué)習(xí)能力的目的.
概念法則逆用，幫助學(xué)生透徹掌握理論知識(shí)
數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是智力的核心.逆向思維是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要法則，其特點(diǎn)表現(xiàn)在：善于從不同的立場(chǎng)、不同的角度、不同的側(cè)面去進(jìn)行探索，當(dāng)某一思路出現(xiàn)阻礙時(shí)，能夠迅速地轉(zhuǎn)移到另一種思路上去，從而使問(wèn)題得到順利解決. 當(dāng)學(xué)生經(jīng)過(guò)努力從正向理解了某個(gè)概念、定理、公式、法則后，若能適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思考，往往會(huì)跨進(jìn)新的知識(shí)領(lǐng)域. 下面就職中數(shù)學(xué)中比較常遇到地要用逆定理、逆公式、逆法則來(lái)解題的情況做一個(gè)簡(jiǎn)要介紹.
1. 逆用定理
重視定義和定理的逆用，加深對(duì)概念內(nèi)涵的認(rèn)識(shí). 許多數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是要求學(xué)生能對(duì)定義和定理進(jìn)行再認(rèn)或逆用.在教學(xué)實(shí)踐中，有的學(xué)生能把書(shū)上的定義背得滾瓜爛熟，但當(dāng)改變一下定義的敘述方式或通過(guò)一個(gè)具體的問(wèn)題來(lái)表述時(shí)，學(xué)生就不知所措了. 作為定義的數(shù)學(xué)命題，其逆命題總是存在，并且是成立的. 因此，學(xué)習(xí)一個(gè)新概念，如果注意從逆向提問(wèn)，學(xué)生不僅對(duì)概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的良好習(xí)慣. 如在幾何的教學(xué)中，對(duì)每一個(gè)定義，都要引導(dǎo)學(xué)生分清其正逆方向的關(guān)系，對(duì)今后推理論證的教學(xué)很有裨益. 在講定義時(shí)，如不強(qiáng)調(diào)它一定具有可逆性，將會(huì)引起學(xué)生對(duì)定義的逆用產(chǎn)生懷疑. 如：直線與平面平行的判定定理，簡(jiǎn)單地可記作“若線線平行，則線面平行”. 反向可設(shè)問(wèn)“若線面平行”，能否得到“線線平行”呢？又如：
例1 解方程：（5-2 ）x2-5x+2 =0.
分析：此題容易想到用求根公式來(lái)解，但計(jì)算煩瑣，如注意到方程中各項(xiàng)系數(shù)之和“a+b+c=0”的特點(diǎn)，就可以逆用方程根的定義，可知“x=1”是方程的一個(gè)根，再根據(jù)韋達(dá)定理求出另一個(gè)根.
解：因?yàn)椋?-2 ）-5+2 =0，
所以x=1是原方程的一個(gè)根，設(shè)另一個(gè)根為x2，由韋達(dá)定理，得：x2= ，即：x2=24+10 .
所以x1=1，x2=24+10 .
例2 已知 + -1=0，n4+n2-1=0，且 ≠n2，求： 的值.
分析：由已知可得： 2+ -1=0，（n2）2+n2-1=0，且 ≠n2，逆向思維，聯(lián)想到方程x2+x-1=0， ，n2恰好是此方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而可根據(jù)韋達(dá)定理得： +n2=-1，
即：原式=-1.
2. 逆用公式
數(shù)學(xué)中的公式總是雙向的，可很多學(xué)生只會(huì)從左到右順用公式，對(duì)于逆用，尤其是利用變形的公式更不習(xí)慣. 事實(shí)上，若能夠靈活地逆用公式，在解題時(shí)就能得心應(yīng)手，左右逢源.在此應(yīng)特別注意兩點(diǎn)：第一、強(qiáng)調(diào)公式的順用和逆用、“聚合”和“展開(kāi)”. 第二、逆用公式是求代數(shù)式的值、化簡(jiǎn)、計(jì)算的常用手段.
例3 計(jì)算sin12°cos33°+cos12°·sin33°.
分析：運(yùn)用加法定理的逆定理sinx cosy+cosxsiny=sin（x+y），得sin12°cos33°+cos12°sin33°=sin（12°+33°）=sin45°.
3. 逆用法則
數(shù)學(xué)中的很多運(yùn)算都有一個(gè)與它相反的運(yùn)算作為逆運(yùn)算，如：加法和減法、乘法和除法、乘方和開(kāi)方都是互為逆運(yùn)算，彼此依存，共同反映某種變化中的數(shù)量關(guān)系. 而且在同一級(jí)運(yùn)算中，可以互相轉(zhuǎn)化，如利用相反數(shù)的概念減法可以轉(zhuǎn)化為加法，利用倒數(shù)的概念可以轉(zhuǎn)化為乘法.
例4 已知：xm=3，xn=7，求：x3m-2n的值.
分析：該題將同底數(shù)冪除法法則逆用后得到結(jié)果.
解：原式=x3m÷x2n=（xm）3÷（xn）2=33÷72= .
例5 已知：a=355，b=444，c=533，試比較a，b，c的大小.
解：因?yàn)閍=（35）11=24311，b=（44）11=25611，c=（53）11=12511. 又因?yàn)?25﹤243﹤256，所以c﹤a﹤b.
改變角度，訓(xùn)練學(xué)生思維能力
在學(xué)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些問(wèn)題，當(dāng)從正面考慮時(shí)會(huì)出現(xiàn)很多障礙，或者根本解決不了，而從反面著手，往往可以使問(wèn)題迎刃而解，再或者證明問(wèn)題的不可能性等等都需要有非常規(guī)思路去解決. 非常規(guī)地實(shí)施逆向思維的訓(xùn)練常采用以下三種策略：
1. “正”難則“反”
反證法是一種逆向思維的方法，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)家最精良的武器之一”，是解數(shù)學(xué)題常用的方法. 當(dāng)題目出現(xiàn)有“至少”或“至多”字樣，或以否定形式給出時(shí)，一般采用反證法.通常，反證的基本程序是：（1）反設(shè)——根據(jù)原命題提出與它對(duì)立的反命題；（2）歸謬——從假設(shè)的反命題出發(fā)，運(yùn)用已知條件、數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行分析推理，論證反命題不成立（不正確）；（3）結(jié)論——肯定原命題成立（或正確）.
例6 已知：A，B，C，D是空間四個(gè)點(diǎn)，AB，CD是異面直線，求證：AC與BD，AD與BC也都是異面直線.
證明：假定AC和BD不是異面直線，那么AC和BD在同一個(gè)平面內(nèi)，因此，A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi). 這樣AB和CD就分別有兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)，所以AB和CD在這個(gè)平面內(nèi)，即AB和CD不是異面直線，這與已知條件矛盾，所以AC和BD是異面直線. 同理可證AD和BC也是異面直線.
2. 以“退”求“進(jìn)”
逆向思維是一種突破常規(guī)定型模式和超越傳統(tǒng)理論框架，把思路指向新的領(lǐng)域和新的客體的思維方式. 它也是一種啟發(fā)智力的方式，有悖于通常人們的習(xí)慣，而正是這一特點(diǎn)，使得許多靠正常思維不能或是難于解決的問(wèn)題迎刃而解. 一些正常思維雖能解決的問(wèn)題，但在它的參與下，過(guò)程可以大大簡(jiǎn)化，效率可以成倍提高.
例7 解方程：x4+x3-6x2-2x+4=0.
分析：解分式方程的基本思路是把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，然而將整式方程逆向轉(zhuǎn)化為分式方程來(lái)解，有時(shí)也會(huì)令人耳目一新.此題要在方程的兩邊同除以x2，“退”到分式方程再來(lái)解，采取以“退”求“進(jìn)”策略.
解：顯然x≠0，方程的兩邊同除以x2，得：
x2+x-6- + =0，x2+ +x- -6=0，x- 2+x- -2=0.
所以x1=-1+ ，x2=-1- ，x3=2，x4=-1.
3. 反“客”為“主”
例8 已知：關(guān)于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求：實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析：按常規(guī)思路，把x當(dāng)成主元，求出x，再對(duì)a進(jìn)行討論，解題過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，如果啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用逆向思維，把a(bǔ)當(dāng)做主元，這種反客為主的技巧很新穎別致.
解：原方程可變?yōu)椋篴2-（x2+2x）a+x3-1=0，
[a-（x-1）][a-（x2+x+1）]=0，解得：
x=a+1或x2+x+1-a=0，
因?yàn)樵匠逃星抑挥幸粋€(gè)實(shí)數(shù)根，所以方程x2+x+1-a=0無(wú)實(shí)數(shù)根.
所以Δ=1-4（1-a）<0，解得：a< .
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