增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂實(shí)效性的教學(xué)策略

趙緒昌

摘 要：怎樣充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，讓作為主體的學(xué)生用最少的付出，獲得最大收獲并擁有積極的情感體驗(yàn)，讓小課堂成為學(xué)生獲得更多知識(shí)的大舞臺(tái)，讓學(xué)生掌握知識(shí)的同時(shí)數(shù)學(xué)思維能力得到發(fā)展. 增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂實(shí)效性的教學(xué)基點(diǎn)是學(xué)習(xí)材料本質(zhì)抓準(zhǔn)，要點(diǎn)是學(xué)習(xí)主體經(jīng)驗(yàn)喚醒，重點(diǎn)是情境創(chuàng)設(shè)簡(jiǎn)潔高效，亮點(diǎn)是教師引導(dǎo)及時(shí)適時(shí).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；實(shí)效課堂；教學(xué)策略；案例分析

課程改革以來(lái)，我們的課堂無(wú)論是在課程理念、課程目標(biāo)和課程內(nèi)容，還是教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式都發(fā)生了深刻的變化.怎樣充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，讓作為主體的學(xué)生用最少的付出，獲得最大收獲并擁有積極的情感體驗(yàn)，讓小課堂成為學(xué)生獲得更多知識(shí)的大舞臺(tái)，讓學(xué)生掌握知識(shí)的同時(shí)數(shù)學(xué)思維能力得到發(fā)展，締造實(shí)效性課堂，這是許多同行都在苦苦思考和探索的問(wèn)題. 下面就“增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂實(shí)效性的教學(xué)策略”舉例說(shuō)明.

■增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂實(shí)效性的教學(xué)基點(diǎn)是學(xué)習(xí)材料本質(zhì)抓準(zhǔn)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以具體的學(xué)習(xí)素材為載體的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程. 如果學(xué)習(xí)材料偏離了教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，會(huì)導(dǎo)致思維膚淺片面，甚至產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí).

案例1？搖 “集合”概念的教學(xué)片斷

教師：上課！

學(xué)生：（起立）老師好！

師：全班請(qǐng)坐.（等學(xué)生坐好后又說(shuō)）上課！

學(xué)生：（面帶疑惑地站起來(lái)）老師好！

教師：男生坐下，（稍做停頓）女生坐下.

教師：（等學(xué)生坐好后又說(shuō)）上課！

學(xué)生：（議論紛紛地站起來(lái)看著老師）

教師：高個(gè)子坐下.

學(xué)生：（坐下了幾個(gè)，還有幾個(gè)坐下了，想想又站起來(lái)，不知該坐還是該站.看到他們的樣子，其余學(xué)生紛紛笑了起來(lái).）

教師：（問(wèn)那幾個(gè)不知該坐該站的學(xué)生）為什么坐下后又站起來(lái)？

學(xué)生1：老師沒(méi)給出多高算高個(gè)子.

學(xué)生2：我不確定自己算不算高個(gè)子.

教師：為什么前面你就坐下了呢？

學(xué)生1：因?yàn)槲沂歉咭唬▁）班的學(xué)生，我也是男生.

教師：很好，像我們班全體同學(xué)就構(gòu)成一個(gè)集合，所有男生，所有女生也分別構(gòu)成了一個(gè)集合. 同學(xué)們想一想，在初中數(shù)學(xué)中，我們接觸過(guò)哪些點(diǎn)或數(shù)的集合？

學(xué)生3：數(shù)的分類中，“正數(shù)的集合”、“負(fù)數(shù)的集合”.

學(xué)生4：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

學(xué)生5：角平分線是到角的兩邊的距離相等的所有點(diǎn)的集合.

教師：可見(jiàn)“集合”一詞在初中數(shù)學(xué)已被廣泛使用，誰(shuí)能再舉個(gè)例子？

學(xué)生6：（學(xué)生很活躍）圖書(shū)館里所有的書(shū). （學(xué)生紛紛贊許）

學(xué)生7：（調(diào)皮地喊）我們班的漂亮女生.

學(xué)生：（哈哈大笑，都在喊）不是集合.

教師：（也笑）為什么不是？

學(xué)生8：因?yàn)椤捌僚睕](méi)有判定標(biāo)準(zhǔn)，它的對(duì)象不確定.（學(xué)生紛紛點(diǎn)頭）

教師：那誰(shuí)能給集合一個(gè)準(zhǔn)確的定義呢？

學(xué)生9：具有共同的特征的數(shù)、式、點(diǎn)、形、物等放在一起構(gòu)成集合.

教師：還能精煉一些嗎？

學(xué)生10：有共同特征的事物集在一起形成集合.

教師：很好，某些指定對(duì)象的全體構(gòu)成集合，集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.

教學(xué)隨想：概念形成的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是抽象出某一類對(duì)象或事物的共同本質(zhì)特征的過(guò)程. 案例中給出了全班、男生、女生、高個(gè)子以及后面的數(shù)集、點(diǎn)集等各種刺激模式讓學(xué)生辨別分化，引導(dǎo)學(xué)生將集合概括為“有共同特征的事物放在一起形成集合”. 在寬松、愉悅的環(huán)境下，在教師的指導(dǎo)下，老師通過(guò)短短的三次起立、坐下，突破了本節(jié)課的難點(diǎn)——對(duì)集合元素的確定性的理解，突出了概念的本質(zhì)屬性. 這個(gè)過(guò)程是使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中比較穩(wěn)定的相關(guān)觀念建立起實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的過(guò)程.這樣緊扣數(shù)學(xué)本質(zhì)地設(shè)計(jì)、選擇、使用學(xué)習(xí)材料，不僅提高了學(xué)生的質(zhì)疑能力，也提高了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

■增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂實(shí)效性的教學(xué)要點(diǎn)是學(xué)習(xí)主體經(jīng)驗(yàn)喚醒

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上. 學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，沒(méi)有學(xué)生的積極參與，課堂教學(xué)就不能取得良好的效果.

案例2？搖？搖“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”中概念的教學(xué)片斷

老教材在橢圓與雙曲線中要學(xué)習(xí)第二定義，我們知道：按第二定義，當(dāng)01時(shí)，軌跡是雙曲線；那么e=1時(shí)，軌跡又是什么呢？所以拋物線概念的引出不必花太多工夫，可以開(kāi)門見(jiàn)山地直奔主題.但是新教材刪除了第二定義，所以引出拋物線的概念就變得相當(dāng)困難，有的教師把握不準(zhǔn)《課程標(biāo)準(zhǔn)》和《學(xué)科指導(dǎo)意見(jiàn)》，就或多或少地增加了第二定義的內(nèi)容，拋物線的教學(xué)仍然與老教材的教法一樣；有的教師為了能夠上好拋物線，也增加了第二定義的教學(xué). 這種做法“方便”了教學(xué)，卻加重了學(xué)生的負(fù)擔(dān). 那么到底應(yīng)該怎樣進(jìn)行教學(xué)呢？因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)具備橢圓、雙曲線和初中層面拋物線的知識(shí)，我們應(yīng)從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)誘導(dǎo)出新概念.

教師問(wèn)1：若點(diǎn)P（x，y）滿足■+■=6，則P點(diǎn)的軌跡是__________.

學(xué)生1：利用平方化簡(jiǎn)，但沒(méi)有做出來(lái).

教師：該同學(xué)平方化簡(jiǎn)，肯定可以得到答案，只是還需要一些時(shí)間，相信他一定能成功！

學(xué)生2：上面式子表示兩點(diǎn)距離之和，根據(jù)橢圓定義可知，P點(diǎn)的軌跡是橢圓.

學(xué)生眾：是的.

教師問(wèn)2：若點(diǎn)P（x，y）滿足■-■=6，則P點(diǎn)的軌跡是__________.

學(xué)生眾：雙曲線.

教師：是雙曲線嗎？

學(xué)生3：應(yīng)該是雙曲線的上半支.

（由于問(wèn)1的解決對(duì)問(wèn)2有著提示和啟發(fā)作用，所以問(wèn)2幾乎所有學(xué)生都不再化簡(jiǎn)了，自然地聯(lián)想到利用定義的解法，于是教師順勢(shì)拋出問(wèn)3.）

教師問(wèn)3：若點(diǎn)P（x，y）滿足■-y+2=0，則P點(diǎn)的軌跡是__________.

學(xué)生眾：從條件的含義看，似乎不是橢圓，也不像雙曲線，不太清楚.

教師：到底軌跡是什么，學(xué)生1解問(wèn)1的方法會(huì)給我們很好的啟示.

學(xué)生：因?yàn)樗姆匠淌莥=■，它是我們初中已經(jīng)學(xué)過(guò)的拋物線.

教師：若把條件中的“2”改為其他數(shù)字（非零），結(jié)果如何？

學(xué)生眾：軌跡仍然是拋物線，只是方程中的數(shù)字不同而已.

教師：那么條件所表示的幾何意義又是什么呢？

學(xué)生4：原方程即■=y+2，左端表示點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)（0，2）的距離，右端肯定不是兩點(diǎn)的距離，但它是點(diǎn)P（x，y）到直線y=-2的距離，等式表示兩個(gè)距離相等.

教師：從問(wèn)3的分析中我們可以看出，滿足這種條件的軌跡都是拋物線. 于是我們拋棄這些具體的位置和數(shù)據(jù)外殼，得出拋物線的定義. 請(qǐng)哪位同學(xué)根據(jù)上面的等式，說(shuō)出拋物線的定義.

學(xué)生5：到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.

學(xué)生6：不太準(zhǔn)確，應(yīng)該添上“平面內(nèi)”三字.

教師：完整的定義請(qǐng)同學(xué)們看課本. 我們?cè)儆脛?dòng)畫(huà)來(lái)演示一下這個(gè)定義下的軌跡.

教學(xué)隨想：案例中，教師根據(jù)教學(xué)中的疑難點(diǎn)，從學(xué)生已經(jīng)具備橢圓、雙曲線和初中層面拋物線的知識(shí)，由易到難、環(huán)環(huán)相扣，設(shè)計(jì)3個(gè)問(wèn)題，順著學(xué)生的思路，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)，認(rèn)真加以剖析，讓學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中對(duì)比發(fā)現(xiàn)，逆推出拋物線的定義，再結(jié)合多媒體動(dòng)畫(huà)的演示，給學(xué)生留下了深刻的印象. 這樣不僅復(fù)習(xí)了舊知識(shí)，而且把“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”中概念的學(xué)習(xí)組織成學(xué)生再創(chuàng)造的過(guò)程，從而使學(xué)生一步一步地完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).整個(gè)過(guò)程教師自始至終“帶著學(xué)生走向知識(shí)”——授人以漁，充分體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者的理念.

■增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂實(shí)效性的教學(xué)亮點(diǎn)是教師引導(dǎo)及時(shí)適時(shí)

1. 疏導(dǎo)與引領(lǐng)

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)各種各樣的信息，教師應(yīng)充分發(fā)揮主導(dǎo)作用. 當(dāng)學(xué)生在認(rèn)知過(guò)程中出現(xiàn)思維障礙，教師應(yīng)及時(shí)給予疏導(dǎo)、點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生把想說(shuō)的話說(shuō)出來(lái)；當(dāng)學(xué)生在認(rèn)知過(guò)程中想法、觀點(diǎn)偏離教學(xué)目標(biāo)時(shí)，教師要在保護(hù)學(xué)生參與交流積極性的前提下，巧妙地把學(xué)生的交流方向引導(dǎo)到本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容上來(lái)；當(dāng)學(xué)生交流中形成了不同的觀點(diǎn)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行梳理、辨析、討論，甚至可以想辦法引發(fā)學(xué)生的爭(zhēng)論；當(dāng)學(xué)生交流的信息或觀點(diǎn)漸趨一致時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生把交流過(guò)程中得到的成果提升到一般規(guī)律的層面，還可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)探究問(wèn)題的方法，不斷提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

案例4 已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=9，求證ac+bd≤3.

待學(xué)生獨(dú)立嘗試后，通過(guò)互動(dòng)交流生成了較為豐富的成果：學(xué)生們先后給出了課本介紹的證明本題的三種證法：分析法、比較法和綜合法，還有不少學(xué)生嘗試運(yùn)用了其他方法. 對(duì)此，教師首先讓部分學(xué)生展示了綜合法：

因?yàn)閍c≤■（a2+c2），①

bd≤■（b2+d2），②

所以，ac+bd≤■（a2+c2）+■（b2+d2）=■=5.

問(wèn)題到底出在哪兒？正當(dāng)學(xué)生疑惑不解時(shí)，教師不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)：①式等號(hào)成立的條件是什么？②式呢？這時(shí)，學(xué)生們恍然大悟：若a=c且b=d，就有a2+b2=c2+d2，這顯然與已知矛盾?、佗趦墒降忍?hào)不能同時(shí)成立，所以ac+bd不能取到最大值5.

進(jìn)而，教師又因勢(shì)利導(dǎo)：是否還有其他證法？剛才有些同學(xué)還聯(lián)想到了我們學(xué)過(guò)的向量、三角函數(shù)等知識(shí)？很好！同學(xué)們?cè)僭囋嚳矗∵@下學(xué)生們的熱情更高漲了，經(jīng)過(guò)一番熱烈的交流、討論，他們的思想產(chǎn)生了“碰撞”，大腦形成了“共鳴”.

實(shí)際上，結(jié)合本題的題設(shè)和結(jié)論，不難聯(lián)想到向量的模和向量乘積的坐標(biāo)形式，故可設(shè)x=（a，b），y=（c，d），則x=■=1，y=■=3，x·y=ac+bd.

又x·y≤xy，故ac+bd≤3.

再者，由a2+b2=1，c2+d2=9，可把點(diǎn)（a，b）、（c，d）分別看做是兩個(gè)圓上的動(dòng)點(diǎn)，故可設(shè)a=cosα，b=sinα，c=3cosβ，d=3sinβ，則ac+bd=3cosαcosβ+3sinαsinβ=3cos（α-β），而cos（α-β）≤1，故ac+bd≤3.

教學(xué)隨想？搖？搖學(xué)貴有思，教重在引.案例中，正當(dāng)學(xué)生疑惑不解，教師不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)：①式等號(hào)成立的條件是什么？②式呢？當(dāng)學(xué)生恍然大悟后，教師又因勢(shì)利導(dǎo)：是否還有其他證法？學(xué)生們熱情高漲，經(jīng)過(guò)師生、生生之間的交流與互動(dòng)，加深了對(duì)基本不等式適用條件（“一正”、“二定”、“三相等”）的理解，加強(qiáng)了知識(shí)間的聯(lián)系，拓寬了解題思路，培養(yǎng)了學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 如果沒(méi)有教師的適時(shí)引導(dǎo)，取而代之的是直接回應(yīng)，其效果會(huì)大打折扣. 這種無(wú)痕的引導(dǎo)，充分彰顯了上課教師的教學(xué)機(jī)智.

2. 追問(wèn)或補(bǔ)問(wèn)

在學(xué)生交流過(guò)程中，根據(jù)教學(xué)的目標(biāo)與交流的實(shí)際，往往需要教師適時(shí)地追問(wèn)或補(bǔ)問(wèn). 合理地追問(wèn)或補(bǔ)問(wèn)，是提高數(shù)學(xué)交流有效性的重要手段，是增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性的有力措施.

案例5 求過(guò)直線l1：2x-y+2=0和l2：3x+2y-2=0的交點(diǎn)，且過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線方程.

（大部分學(xué)生的解法是利用兩直線方程聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)-■，■，再利用直線方程的兩點(diǎn)式求得直線方程是5x+y=0.但解答過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)有學(xué)生將已知的兩直線方程相加，也得到要求的直線方程.）

教師（追問(wèn)）：這樣做對(duì)嗎？是巧合還是必然？

學(xué)生1：是偶然的！兩方程相加后常數(shù)項(xiàng)正好為零，直線恰好過(guò)原點(diǎn). 若把直線l■的方程改為2x-y+1=0，兩式相加就不會(huì)有上面的情形發(fā)生了.

學(xué)生2：是偶然的！兩個(gè)方程相加，怎么知道就過(guò)原來(lái)兩直線的交點(diǎn)呢？

學(xué)生3：兩個(gè)方程相加得到的方程，必然過(guò)原來(lái)兩直線的交點(diǎn). 因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)坐標(biāo)一定適合相加后的方程. 但是，相加后常數(shù)項(xiàng)為零，正好表示直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)好像是偶然的.

學(xué)生4：剛才學(xué)生1說(shuō)將方程改為2x-y+1=0，我看還是可以解決的. 我們可以改變系數(shù)，使方程變成4x-2y+2=0，再相加就對(duì)了.

學(xué)生1：那么再把過(guò)原點(diǎn)改為點(diǎn)（1，1），這個(gè)方法就完全失效了.

教師（追問(wèn)）：難道真的就完全失效了嗎？

學(xué)生5：把過(guò)點(diǎn)（1，1）轉(zhuǎn)化成過(guò)原點(diǎn)，把兩直線的方程改為：l1：2（x-1）-（y-1）+3=0和l2：3（x-1）+2（y-1）+3=0，再相加就對(duì)了.

教師（追問(wèn)）：到底是偶然的結(jié)果，還是必然的結(jié)果？

學(xué)生：有偶然也有必然！

教師：對(duì)！兩條直線的方程相加的意義是表示一條新的直線，這條直線經(jīng)過(guò)原來(lái)兩直線的交點(diǎn)，這是必然的因素！

設(shè)兩直線方程為l1：a1x+b1y+c1=0和l2：a2x+b2y+c2=0，l1，l2相交于點(diǎn)P，那么a1x+b1y+c1+λ（a2x+b2y+c2）=0（λ∈R）表示一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線（除l2外），即a1x+b1y+c1+λ（a2x+b2y+c2）=0（λ∈R）表示經(jīng)過(guò)直線l1，l2交點(diǎn)的直線系.

教師：通過(guò)研討，我們不斷把結(jié)論加以深入和一般化，這也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要方法. 同時(shí)，我們更要善于觀察思考，不斷提出問(wèn)題、深化問(wèn)題，這樣就能從中獲得許多課本中沒(méi)有的知識(shí).

教學(xué)隨想？搖 古人云：“學(xué)貴有疑”，“學(xué)起于思，思源于疑”，只有讓學(xué)生在質(zhì)疑、探索、釋疑中真正明白自己所困惑的問(wèn)題，才能使理解和記憶更加深刻，才能把要學(xué)習(xí)的知識(shí)和能力內(nèi)化為個(gè)人的發(fā)展，同時(shí)學(xué)生在自我發(fā)現(xiàn)、解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得“實(shí)現(xiàn)自我”的快樂(lè).案例中教師面對(duì)學(xué)生的困惑，實(shí)施追問(wèn)——“這樣做對(duì)嗎，是巧合還是必然”“難道真的就完全失效了嗎”“到底是偶然的結(jié)果，還是必然的結(jié)果”等，巧妙地引發(fā)學(xué)生思考，充分暴露學(xué)生的思維歷程，展現(xiàn)自己的思維方法，讓學(xué)生自己體驗(yàn)、反思，消除困惑，形成解決問(wèn)題的策略. 如果沒(méi)有教師的適時(shí)追問(wèn)，取而代之的是直接回應(yīng)，其效果會(huì)大打折扣. 其實(shí)，追問(wèn)不僅是了解學(xué)情、指導(dǎo)學(xué)法的重要途徑，也是改進(jìn)教法、實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng)的良策. 我們何樂(lè)而不為呢？

總之，作為數(shù)學(xué)文化的傳承者、學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育者，教師的綜合素養(yǎng)的不同，將決定著課堂的實(shí)效與否. 相信你和我，都希望自己的課堂是實(shí)效的、高效的，林清玄告訴我們：“改變表相最好的方法，不是在表相下工夫，一定要從內(nèi)里改革.” 當(dāng)我們的教學(xué)理念、知識(shí)儲(chǔ)備、文化底蘊(yùn)……有底氣時(shí)，我們的舉手投足就會(huì)有不一樣的從容與自信，我們的課堂才會(huì)是一個(gè)實(shí)效性的課堂.