橢圓內(nèi)的常見結(jié)論講座

李晶

我們都知道，橢圓與相關(guān)問題一直是圓錐曲線中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，特別是對于橢圓的研究與學(xué)習(xí)的情況影響了下面雙曲線、拋物線的學(xué)習(xí)，而且在近幾年的高考大綱中也提升了橢圓的地位。我在橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)過程中，總結(jié)出橢圓里常用的結(jié)論，今天與各位做一下交流，我們拿焦點(diǎn)在x軸的橢圓為例，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（焦點(diǎn)在y軸上時(shí)可以仿此推導(dǎo)相應(yīng)結(jié)論）。設(shè)橢圓上點(diǎn)P，左焦點(diǎn)F、右焦點(diǎn)F，∠F1PF2=θ

一、橢圓的幾何性質(zhì)

我們先從橢圓的本身來分析，從橢圓的幾何性質(zhì)來說主要是長短軸、頂點(diǎn)、離心率、準(zhǔn)線方程。特別是離心率是高考的熱點(diǎn)，而如何求離心率的問題也一直是難點(diǎn)，其實(shí)只要抓住a與c，利用所給的條件來建立它們之間的關(guān)系式，問題就會(huì)迎仞而解了。

1.橢圓的長軸長2a，短軸長2b，焦距2c

2.橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)

3.橢圓的離心率

4.橢圓的a、b與e的關(guān)系

5.橢圓的準(zhǔn)線方程

6.橢圓的x、y的取值范圍-a≤x≤a，-b≤y≤b

二、點(diǎn)M（x1，y1）和橢圓的位置關(guān)系

我們知道點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以直接帶入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，比較與圓心之間的距離與半徑的大小，那么橢圓呢？要判斷的話只能借助于橢圓的定義式推到，經(jīng)過推到我們得到了下面的結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)就是將點(diǎn)帶入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中比較與1的大小。

1.點(diǎn)M（x1，y1）在橢圓內(nèi)<1

2.點(diǎn)M（x1，y1）在橢圓上=1

3.點(diǎn)M（x1，y1）在橢圓外>1

這樣如果出現(xiàn)過定點(diǎn)的直線與橢圓一定相交，那就隱含著定點(diǎn)一定在橢圓上或橢圓內(nèi)部，那么就可以直接帶入求解了。

三、過點(diǎn)作橢圓切線的問題

過一定點(diǎn)作橢圓的切線并求切線方程問題，學(xué)生一看見就要設(shè)斜率來求解，對于選擇和填空題來說這種計(jì)算量較大還容易出現(xiàn)問題，經(jīng)過總結(jié)我們?nèi)绻靡韵碌慕Y(jié)論就會(huì)更便捷。

1.若點(diǎn)M（x1，y1）在橢圓上，則過點(diǎn)M（x1，y1）可作橢圓的一條切線，其方程為（求此方程利用判別式等于零或利用導(dǎo)數(shù)）

2.若點(diǎn)M（x1，y1）在橢圓外，則過點(diǎn)M（x1，y1）可作橢圓的二條切線，這兩條切線有兩個(gè)切點(diǎn)，過這兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程為

3.若點(diǎn)M（x1，y1）在橢圓內(nèi)，則過點(diǎn)M（x1，y1）可作橢圓的任意一條弦，過這條弦的兩個(gè)端點(diǎn)引橢圓的兩條切線，如果這兩條切線相交，則交點(diǎn)一定在方程表示的直線上。

四、直線與橢圓位置關(guān)系

將直線方程與橢圓聯(lián)立，消去y，得關(guān)于x得一元二次方程，可利用此方程的判別式以及韋達(dá)定理，解得：x1+x2與x1·x2

1.若此方程判別式小于零，則此直線與橢圓相離

2.若此方程判別式為零，則此直線與橢圓相切

3.若此方程判別式大于零，則此直線與橢圓相交。在這種情況下，可解得橢圓弦長

五、相關(guān)性質(zhì)

1.焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離叫焦參數(shù)，用p表示，

2.橢圓上點(diǎn)P（x0，y0）到焦點(diǎn)的距離叫焦半徑，焦點(diǎn)F、F，則|PF1|=||，| PF2|=||（焦半徑公式）

3.過焦點(diǎn)弦長公式（其中a為弦與長軸夾角，用極坐標(biāo)推導(dǎo)）

4.焦點(diǎn)三角形面積公式=（后者用海倫公式推導(dǎo)）

5.共焦點(diǎn)橢圓方程

共離心率橢圓方程

共x軸頂點(diǎn)橢圓方程

6.橢圓面積公式πab（可以由橢圓是由圓拉伸得到的進(jìn)行解釋，相關(guān)知識：面積攝影定理）

7.以長軸為直徑的圓與以焦半徑為直徑的圓的位置關(guān)系為相內(nèi)切。

8.焦點(diǎn)三角形的旁切圓（三個(gè)中有兩個(gè)）與橢圓相切與長軸端點(diǎn)。

9.點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，則的最小值為點(diǎn)A到與F1對應(yīng)的準(zhǔn)線距離。

10.點(diǎn)A在橢圓內(nèi)，則的最小值為，最大值為。

11.點(diǎn)N（n，0）在長軸上，點(diǎn)P到N的距離的最小值不在長軸端點(diǎn)取到，則n的取值范圍為（-ec，ec）

通過總結(jié)這些性質(zhì)我們不僅對于橢圓的認(rèn)識加深了，而且對于圓錐曲線的把握也更加準(zhǔn)確。在解決圓錐曲線問題上會(huì)做到事半功倍。