波利亞與“怎樣解題”

楊麗霞

波利亞主張數(shù)學(xué)教育主要目的之一是發(fā)展學(xué)生的解決問(wèn)題的能力，教會(huì)學(xué)生思考。1944年在美國(guó)出版了《怎樣解題》（How to solve it），其中“怎樣解題”表總結(jié)了人類解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般規(guī)律和程序，對(duì)數(shù)學(xué)解題研究有著深遠(yuǎn)影響。解題方法數(shù)學(xué)問(wèn)題規(guī)律程序波利亞曾經(jīng)教過(guò)中學(xué)，長(zhǎng)期從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。在漫長(zhǎng)的歲月中，他的精湛的教學(xué)藝術(shù)與杰出的數(shù)學(xué)研究相結(jié)合，產(chǎn)生了他特有的豐富的數(shù)學(xué)教育思想。波利亞數(shù)學(xué)教育思想有兩個(gè)基點(diǎn)：其一是關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的認(rèn)識(shí)，其二是關(guān)于對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)。其中他的《怎樣解題》產(chǎn)生深刻影響。

一、怎樣解題

1.理解題目

未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知量，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？畫張圖，引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。把條件的各個(gè)部分分開，能否把它們寫下來(lái)？

2.找出已知數(shù)與求知數(shù)之間的聯(lián)系

如果找不出直接的聯(lián)系，可能不得不考慮輔助問(wèn)題，應(yīng)最終得出一個(gè)求解的計(jì)劃。

擬訂計(jì)劃：你以前見過(guò)它嗎？是否見過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？是否知道一個(gè)可能用得上的定理？觀察未知量。試想出一個(gè)具有相同未知量或相似未知量的熟悉的問(wèn)題。能應(yīng)用它嗎？能不能利用它？能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，是否應(yīng)引入某些輔助元素？能不能重新敘述這個(gè)問(wèn)題？能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去。

如果不能解決所提出的問(wèn)題，可先解決一個(gè)與此有關(guān)的問(wèn)題。能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問(wèn)題？一個(gè)更普遍的問(wèn)題？一個(gè)更特殊的問(wèn)題？一個(gè)類比的問(wèn)題？能否解決這個(gè)問(wèn)題的一部分？?jī)H僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對(duì)于未知能確定到什么程度？它會(huì)怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西？

3.執(zhí)行方案

執(zhí)行解題方案，檢驗(yàn)每一步驟。能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？

4.檢查已經(jīng)得到的解答

回顧：能否檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果？你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能把這結(jié)果或方法用于其他的問(wèn)題？

二、例子

例題：已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高，求它的對(duì)角線長(zhǎng)度。

第一步：理解題目。

教師和學(xué)生之間的對(duì)話可以像下面這樣開始：

“未知量是什么？”“這個(gè)長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度?！?/p>

“已知數(shù)據(jù)是什么？”“此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高?！?/p>

“引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。用哪個(gè)字母表示未知量？”“x。”

“你選哪些字母來(lái)表示長(zhǎng)、寬和高？”“a，b，c?！?/p>

“聯(lián)系a、b、c與x的條件是什么？”“x是長(zhǎng)為a、寬為b和高為c的長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)度?！?/p>

“這是一個(gè)合理的題目嗎？我的意思是，條件是否足以確定未知量？”“是的。如果我們已知a、b、c，我們就知道了長(zhǎng)方體，如果長(zhǎng)方體被確定，其對(duì)角線也就被確定了?！?/p>

第二步：擬定方案。

“你們知道一道與它有關(guān)的題目嗎？”“觀察未知量。你們是否知道有哪一道題目和這一道題目有相同的未知量？”“那么，未知量是什么？”“長(zhǎng)方體的對(duì)角線?！薄澳銈冎烙惺裁搭}目和這一題目有相同的未知量嗎？”“不知道，我們從來(lái)沒(méi)碰到過(guò)關(guān)于長(zhǎng)方體的對(duì)角線的題目?！薄澳銈冎烙惺裁搭}目和這一題目有相似的未知量嗎？”“你們看，對(duì)角線是一條線段，是一條直線的一部分。難道你們從未做過(guò)未知量是一條線段長(zhǎng)度的題目嗎？”“我們當(dāng)然做過(guò)這樣的題目。比如說(shuō)求一個(gè)直角三角形的一條邊?！薄昂芎谩＿@里有一道題目和你們的題目有關(guān)而且以前解過(guò)。你們能利用它嗎？”“非常幸運(yùn)的是，你們能想起一道與你們現(xiàn)在要解的題目有關(guān)，并且你們以前曾經(jīng)解答過(guò)的題目。你們想要在這里應(yīng)用它嗎？”“往這兒看，你們所記得的題目是關(guān)于一個(gè)三角形的。在你們現(xiàn)在的圖形里有沒(méi)有三角形呢？”引入一個(gè)直角三角形，圖中用陰影強(qiáng)調(diào)指出。

“我認(rèn)為在圖中把那個(gè)三角形畫出來(lái)是一個(gè)很好的主意。你們現(xiàn)在有了一個(gè)三角形，但是你們有沒(méi)有找到未知量呢？”“未知量就是這個(gè)三角形的斜邊，我們可以用勾股定理把它計(jì)算出來(lái)。”

“如果兩條直角邊都是已知的，你們是會(huì)計(jì)算的，但是它們是否已知呢？”“其中一條直角邊是給定的，就是c。至于另外一條，我想也不難求出。對(duì)了，這條直角邊又是另一個(gè)直角三角形的斜邊。”“太棒了！現(xiàn)在我知道你們已經(jīng)有了一個(gè)方案了?！?/p>

第三步：執(zhí)行方案。

學(xué)生有了解題思路。他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)直角三角形，這個(gè)直角三角形的斜邊就是要求的未知量x，它的一條直角邊是已知的高度c，另一條邊是長(zhǎng)方體一個(gè)面上的對(duì)角線。也許必須激勵(lì)學(xué)生引入其他合適的符號(hào)。他應(yīng)引入y來(lái)標(biāo)記另一條直角邊，也就是長(zhǎng)方體一個(gè)面上的對(duì)角線，這個(gè)面的兩條邊長(zhǎng)分別為a和b。這樣，在引入了另一個(gè)求未知量y的輔助題目后，他解題的思路就更清晰了。最后，在先后對(duì)兩個(gè)直角三角形分別進(jìn)行計(jì)算后，他可以得到：

第四步：回顧。

你能檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎？“你用到所有的已知數(shù)據(jù)了嗎？”“所有三個(gè)已知量a、b、c都在你的對(duì)角線公式中出現(xiàn)了嗎？”“假如a、b、c互換，表達(dá)式時(shí)候保持不變？”

三、對(duì)《怎樣解題》的評(píng)價(jià)

正如著名數(shù)學(xué)家范·德·瓦爾所說(shuō)：“每個(gè)大學(xué)生，每個(gè)學(xué)者，特別是每個(gè)老師都應(yīng)該讀讀這本引人入勝的書?！?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1]百度百科.

[2]維基百科.

[3]G·波利亞著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?011.

[4]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論.北京：高等教育出版社，2004.