利用二次函數(shù)求最值應(yīng)注意的兩個問題

楊虎成+熊羆

在北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊教材第二章中有兩節(jié)《何時獲得最大利潤》《最大面積是多少》，都涉及利用二次函數(shù)求最大值的問題，在實際應(yīng)用中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在以下幾個誤區(qū)。

誤區(qū)一：二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值

在二次函數(shù)的實際應(yīng)用中，二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)并不一定為最大值，我們應(yīng)具體問題具體分析，如下題：

例1.如下圖，某雞場要建一個矩形的養(yǎng)雞場ABCD，雞場的一邊靠墻，（墻長20米），另三邊用木欄圍成，木欄長100米，設(shè)AB=x米，矩形的面積為S平方米，那么x為多少時，S的值最大？

錯解：∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

∵a=-2<0

∴當(dāng)x=25時，Smax=1250

正確解答：

∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由題意可得：0

解得：40≤x<50

∵a=-2<0，x>25

S隨x的增大而減小

∴當(dāng)x=40時，Smax=-2（40-25）2+1250=800

點(diǎn)評：很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常犯這樣的錯誤，他們認(rèn)為利用二次函數(shù)求最大值，只要求出二次函數(shù)表達(dá)式，并將之化為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為最大值，而沒有考慮自變量的取值范圍，此題中的頂點(diǎn)就不在自變量范圍內(nèi)，因此最大面積就不會取到1250，又由于自變量x的范圍全部在對稱軸x=25左側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，我們可知當(dāng)x=40時，S會有最大值。

誤區(qū)二：二次函數(shù)開口向上沒有最大值

例2.根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關(guān)系，如圖（1）所示，種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖（2）所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）。（1）分別求出利潤y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲得的最大利潤是多少？

圖（1） 圖（2）

解：（1）設(shè)y1=kx（x≥0），設(shè)y2=ax2（x≥0）則由題意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 ∴y1=2x，y2=0.5x2

（2）設(shè)這位專業(yè)戶種植樹木和花卉能獲得的利潤為w萬元，其中投資x萬元種植樹木，則投資（8-x）萬元種植花卉，由題意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 ∵a=0.5>0，∴當(dāng)x=2時，wmin=14∵0≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，當(dāng)0≤x≤2時，w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=0時，wmax=（0-2）2+14=16當(dāng)2≤x≤8時，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=8時，wmax=（8-2）2+14=32 ∵32>12，∴這位專業(yè)戶能獲得的最大利潤是32萬元。

點(diǎn)評：此題第（2）問，很多學(xué)生會說a=0.5，二次函數(shù)開口向上，應(yīng)該沒有最大值，其實不然，本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8，在二次函數(shù)w=0.5（x-2）2+14對稱軸x=2左側(cè)（即當(dāng)0≤x≤2時），由于w隨x的增大而減小，故當(dāng)x=0時，w有最大值16；在對稱軸x=2右側(cè)（即當(dāng)2≤x≤8時），w隨x的增大而增大，當(dāng)x=8時，w有最大值32，通過比較16與32，我們得出最大值為32，此時自變量x=8。

總述：

在利用二次函數(shù)來求最大值問題時，一定要先求出自變量的取值范圍，再看二次函數(shù)的開口方向。①當(dāng)開口向下，頂點(diǎn)位于自變量范圍內(nèi)時（北師大九年級下教材中兩節(jié)均為此種類型），頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值；②當(dāng)開口向下，頂點(diǎn)不位于自變量范圍內(nèi)時（如例1），要求出端點(diǎn)坐標(biāo)，通過比較端點(diǎn)縱坐標(biāo)大小來確定最大值；③當(dāng)二次函數(shù)開口向上（如例2）時，也有最大值，直接比較兩個端點(diǎn)縱坐標(biāo)，大的即為最大值。

（作者單位 湖北省秭歸縣九畹溪中學(xué)）

編輯 薄躍華

在北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊教材第二章中有兩節(jié)《何時獲得最大利潤》《最大面積是多少》，都涉及利用二次函數(shù)求最大值的問題，在實際應(yīng)用中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在以下幾個誤區(qū)。

誤區(qū)一：二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值

在二次函數(shù)的實際應(yīng)用中，二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)并不一定為最大值，我們應(yīng)具體問題具體分析，如下題：

例1.如下圖，某雞場要建一個矩形的養(yǎng)雞場ABCD，雞場的一邊靠墻，（墻長20米），另三邊用木欄圍成，木欄長100米，設(shè)AB=x米，矩形的面積為S平方米，那么x為多少時，S的值最大？

錯解：∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

∵a=-2<0

∴當(dāng)x=25時，Smax=1250

正確解答：

∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由題意可得：0

解得：40≤x<50

∵a=-2<0，x>25

S隨x的增大而減小

∴當(dāng)x=40時，Smax=-2（40-25）2+1250=800

點(diǎn)評：很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常犯這樣的錯誤，他們認(rèn)為利用二次函數(shù)求最大值，只要求出二次函數(shù)表達(dá)式，并將之化為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為最大值，而沒有考慮自變量的取值范圍，此題中的頂點(diǎn)就不在自變量范圍內(nèi)，因此最大面積就不會取到1250，又由于自變量x的范圍全部在對稱軸x=25左側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，我們可知當(dāng)x=40時，S會有最大值。

誤區(qū)二：二次函數(shù)開口向上沒有最大值

例2.根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關(guān)系，如圖（1）所示，種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖（2）所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）。（1）分別求出利潤y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲得的最大利潤是多少？

圖（1） 圖（2）

解：（1）設(shè)y1=kx（x≥0），設(shè)y2=ax2（x≥0）則由題意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 ∴y1=2x，y2=0.5x2

（2）設(shè)這位專業(yè)戶種植樹木和花卉能獲得的利潤為w萬元，其中投資x萬元種植樹木，則投資（8-x）萬元種植花卉，由題意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 ∵a=0.5>0，∴當(dāng)x=2時，wmin=14∵0≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，當(dāng)0≤x≤2時，w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=0時，wmax=（0-2）2+14=16當(dāng)2≤x≤8時，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=8時，wmax=（8-2）2+14=32 ∵32>12，∴這位專業(yè)戶能獲得的最大利潤是32萬元。

點(diǎn)評：此題第（2）問，很多學(xué)生會說a=0.5，二次函數(shù)開口向上，應(yīng)該沒有最大值，其實不然，本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8，在二次函數(shù)w=0.5（x-2）2+14對稱軸x=2左側(cè)（即當(dāng)0≤x≤2時），由于w隨x的增大而減小，故當(dāng)x=0時，w有最大值16；在對稱軸x=2右側(cè)（即當(dāng)2≤x≤8時），w隨x的增大而增大，當(dāng)x=8時，w有最大值32，通過比較16與32，我們得出最大值為32，此時自變量x=8。

總述：

在利用二次函數(shù)來求最大值問題時，一定要先求出自變量的取值范圍，再看二次函數(shù)的開口方向。①當(dāng)開口向下，頂點(diǎn)位于自變量范圍內(nèi)時（北師大九年級下教材中兩節(jié)均為此種類型），頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值；②當(dāng)開口向下，頂點(diǎn)不位于自變量范圍內(nèi)時（如例1），要求出端點(diǎn)坐標(biāo)，通過比較端點(diǎn)縱坐標(biāo)大小來確定最大值；③當(dāng)二次函數(shù)開口向上（如例2）時，也有最大值，直接比較兩個端點(diǎn)縱坐標(biāo)，大的即為最大值。

（作者單位 湖北省秭歸縣九畹溪中學(xué)）

編輯 薄躍華

在北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊教材第二章中有兩節(jié)《何時獲得最大利潤》《最大面積是多少》，都涉及利用二次函數(shù)求最大值的問題，在實際應(yīng)用中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在以下幾個誤區(qū)。

誤區(qū)一：二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值

在二次函數(shù)的實際應(yīng)用中，二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)并不一定為最大值，我們應(yīng)具體問題具體分析，如下題：

例1.如下圖，某雞場要建一個矩形的養(yǎng)雞場ABCD，雞場的一邊靠墻，（墻長20米），另三邊用木欄圍成，木欄長100米，設(shè)AB=x米，矩形的面積為S平方米，那么x為多少時，S的值最大？

錯解：∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

∵a=-2<0

∴當(dāng)x=25時，Smax=1250

正確解答：

∵AB=x ∴BC=100-2x

∴S=AB·BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由題意可得：0

解得：40≤x<50

∵a=-2<0，x>25

S隨x的增大而減小

∴當(dāng)x=40時，Smax=-2（40-25）2+1250=800

點(diǎn)評：很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)常犯這樣的錯誤，他們認(rèn)為利用二次函數(shù)求最大值，只要求出二次函數(shù)表達(dá)式，并將之化為頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為最大值，而沒有考慮自變量的取值范圍，此題中的頂點(diǎn)就不在自變量范圍內(nèi)，因此最大面積就不會取到1250，又由于自變量x的范圍全部在對稱軸x=25左側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)的增減性，我們可知當(dāng)x=40時，S會有最大值。

誤區(qū)二：二次函數(shù)開口向上沒有最大值

例2.根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關(guān)系，如圖（1）所示，種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖（2）所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）。（1）分別求出利潤y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲得的最大利潤是多少？

圖（1） 圖（2）

解：（1）設(shè)y1=kx（x≥0），設(shè)y2=ax2（x≥0）則由題意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 ∴y1=2x，y2=0.5x2

（2）設(shè)這位專業(yè)戶種植樹木和花卉能獲得的利潤為w萬元，其中投資x萬元種植樹木，則投資（8-x）萬元種植花卉，由題意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 ∵a=0.5>0，∴當(dāng)x=2時，wmin=14∵0≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，當(dāng)0≤x≤2時，w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=0時，wmax=（0-2）2+14=16當(dāng)2≤x≤8時，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=8時，wmax=（8-2）2+14=32 ∵32>12，∴這位專業(yè)戶能獲得的最大利潤是32萬元。

點(diǎn)評：此題第（2）問，很多學(xué)生會說a=0.5，二次函數(shù)開口向上，應(yīng)該沒有最大值，其實不然，本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8，在二次函數(shù)w=0.5（x-2）2+14對稱軸x=2左側(cè)（即當(dāng)0≤x≤2時），由于w隨x的增大而減小，故當(dāng)x=0時，w有最大值16；在對稱軸x=2右側(cè)（即當(dāng)2≤x≤8時），w隨x的增大而增大，當(dāng)x=8時，w有最大值32，通過比較16與32，我們得出最大值為32，此時自變量x=8。

總述：

在利用二次函數(shù)來求最大值問題時，一定要先求出自變量的取值范圍，再看二次函數(shù)的開口方向。①當(dāng)開口向下，頂點(diǎn)位于自變量范圍內(nèi)時（北師大九年級下教材中兩節(jié)均為此種類型），頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值；②當(dāng)開口向下，頂點(diǎn)不位于自變量范圍內(nèi)時（如例1），要求出端點(diǎn)坐標(biāo)，通過比較端點(diǎn)縱坐標(biāo)大小來確定最大值；③當(dāng)二次函數(shù)開口向上（如例2）時，也有最大值，直接比較兩個端點(diǎn)縱坐標(biāo)，大的即為最大值。

（作者單位 湖北省秭歸縣九畹溪中學(xué)）

編輯 薄躍華