重視解題后的再思考

王明蘭

摘 要：通過兩個“解題后的再思考”的典型案例，引發(fā)廣大老師對解題后再思考的重視，注重解題后從多途徑引導學生體驗從數(shù)學角度思考問題的方法，逐步養(yǎng)成解決問題的科學思維習慣，使他們真正懂得“學會學習”。

關鍵詞：“多解”選優(yōu)法；再思考；數(shù)學方法

數(shù)學教學中，許多教師不重視對例題和基本題的研究，不重視問題內在潛力的挖掘、改造，只滿足于它們的解答，不追究問題的來源，看不清問題的本質。取而代之的是大量的題海戰(zhàn)術來訓練學生的解題能力，無謂重復，唯恐題型有遺漏，分題型、套解法、記技巧成了解題教學的法寶，而“解題后的再思考”這一促使學生形成各種能力的重要環(huán)節(jié)卻沒有得到應有的重視。

長此以往，學生只會關心題目解決了沒有，不去關心問題的答案是否正確，更不關心自己到底悟到了什么，只習慣于解決別人的問題而不會自己發(fā)現(xiàn)和提出問題。

筆者認為，問題解決后，教師應引導學生做進一步思考與探索，讓學生明白“解題后再思考”的重要性并掌握“解題后再思考”的方法，使學生真正懂得“學會學習”。那么，在解題后如何引導學生思考與探索呢？對此，筆者結合實例談談自己的看法與體會。

一、探索“多解”選優(yōu)法

題目解完以后，不應該滿足于已經有的解法，而應該充分利用題目設計條件，圍繞解題思路展開廣泛的聯(lián)想，尋找多種解法。這樣可以拓寬思路，從多種解法中比較優(yōu)劣。

例如，已知關于一元二次方程（k2-k-2）x2-（5k-1）x+6=0，

（k≠-1，k≠2）

（1）求證：這個方程一定有兩個實數(shù)根；

（2）求出方程的兩個實數(shù)根x1，x2；

（3）若方程的兩實數(shù)根x1，x2，滿足關系式 + = ，求k的值？

這是一道中等難度的試題，我原以為學生的得分率不會低，但是對80份試卷作出的統(tǒng)計后，得到的卻是相反的結論，在抽取80份試卷中，得分率為24.8%，滿分者僅4人，占學生人數(shù)的1.2%，第（1）問是基本題，得分率僅33.9%，（3）問得分率15.1%，特別是在把x1= ，x2= 代入關系式 + = ，兩邊平方，化簡得25k2-55k-152=0的過程中，因為受固定解題模式的影響，選擇不恰當?shù)慕忸}方法，不能避免的是較繁瑣的計算。致使運算冗繁，浪費大量的時間，最終半途而廢、令人痛心。

本題答卷中存在兩個主要問題：

第一，概念不清，基礎知識掌握不扎實

對于第一問65位學生這樣表述：證明：Δ=b2-4ac=[-（5k-1）]2

-4x6（k2-k-2）=k2+14k+49=（k+7）2≥0，此方程一定兩個實數(shù)根。

實際上，對于定理“ax2+bx+c=0（a≠0），有兩個實數(shù)根？圳Δ≥0”，多數(shù)學生已經熟記，但是應用時，卻把條件a≠0丟掉了。殊不知當a=0時，即k=-1，或k=2時原方程變成一元一次方程，只有一個根，怎么能“一定有兩個實數(shù)根呢”。

之所以出現(xiàn)上述問題，就是因為基礎知識模糊，忽視了題目條件，概念不清。因此對于數(shù)學概念一定要切實理解，并且字斟句酌；書寫證明，一定要完整嚴密，做到步步有據(jù)。

第二，不注意數(shù)學方法的選擇

在（3）問中，有些學生運用“換元”的思想方法，就輕松地化難為易：設 =y，則原方程y+ = ，解之得y=2或y= ，當y=2，代入 即 = ，解之得K1= 。當y= ，即得 = ，解之得k2=- ，

將K1= ，k2=- 代入方程檢驗均滿足題意。本題出現(xiàn)問題的癥結在于：缺乏正確選擇數(shù)學方法的能力。但是在解題的過程中，如果沒有“養(yǎng)成良好的審題的習慣”，對問題不作具體問題具體分析，見到題目，沿固定的解題模式，解題很容易誤入歧途，不能自拔。

二、推廣引申，培養(yǎng)能力

“思維是從提出問題開始的。”對于一些典型習題，可在題設條件不變的情況下，推廣原有結論，或者部分地變換題設條件，研究結論的變化情況，通過這種推廣引申的思考，不僅可以更好地復習基礎知識，而且可以加深對重點知識的理解，既可訓練學生的思維方法，又可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力。因此，解題過程中，我們要善于把蘊含其中的數(shù)學思想方法提煉出來，挖掘出隱含的問題的本質性，從特殊拓展到一般。

例如，1.比較下列各組數(shù)的大小、找規(guī)律、提出你的猜想：

< ； < ； < ； < ；……

（1）根據(jù)規(guī)律寫出一個含有數(shù)字的式子__________

（2）從上面的格式里發(fā)現(xiàn)：一個正分數(shù)的分子、分母______，

所得的分數(shù)的值比原來的值要__________

（3）猜想：設a>b>0，m>0，則 >

2.用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：

=1- ； = - ； = - ；……

（1） + + + + =

（2） + + +…+ =（用含n的式子表示）

（3）若 + + +…+ 的值為 ，求n的值？這樣不但能復習分式的基本性質，還能靈活運用所學知識，來解答有關的實際問題。

總之，解題要達到舉一反三的目的，就要及時提煉在探求解題思路過程中所運用的有效的思考方法、解題技巧以及題目本身所反映出來的一般特性，做好總結歸納，以便在以后的解題中借鑒，這方面的例子很多，同學們可試著對一些典型的習題作解后的總結。如果教師能引導學生認真做好解題后的總結，橫穿縱拓地探索，必定會激起學生探求數(shù)學奧秘的動機，對數(shù)學產生濃厚的興趣，久而久之，就能讓學生學到總結歸納的方法，達到舉一反三、觸類旁通的功效。

（作者單位 江蘇省徐州市賈汪區(qū)汴塘中學）

編輯 薄躍華