立足教材 拓展探究

甘曉云

摘要：近幾年的中考數(shù)學(xué)所考查的內(nèi)容越來越注重基礎(chǔ)、立足教材，也越來越靈活。取之教材又高于教材，這就要求初中生在平時學(xué)習(xí)的過程中要學(xué)會拓展研究。本文以一道具體的課本問題為例對常見的正方形問題進(jìn)行了拓展探究。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；正方形；拓展探究

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）03-0117

縱觀近幾年的中考數(shù)學(xué)試卷，其特點(diǎn)是起點(diǎn)低，入手容易，注重基礎(chǔ)，知識覆蓋面廣，這說明中考強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗(yàn)考查，尤其是部分中考試題直接從課本中取材，或適當(dāng)對課本中的探究、例題、練習(xí)題等通過類比、加工，改造，加強(qiáng)條件或減弱條件，延伸或擴(kuò)展，并不斷設(shè)置新的問題情境。下面，筆者以一道具體的課本習(xí)題為例來談一談教學(xué)資源的整合及對其教育價值的挖掘。

原題 本題源于人教版《數(shù)學(xué)》八年級下冊P121 10

如圖，ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，且DE=CF，要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？

利用正方形的性質(zhì)證明一對全等的直角三角形。

一、探究例題，用變題開拓思維

教材提供的僅僅是一種方向，一條線索，教師在面對教材時，完全可以根據(jù)實(shí)際需要對其進(jìn)行增清、刪減、調(diào)整、變換、延伸等“藝術(shù)”加工，賦予它新的生命，從而達(dá)到真正意義的利用教材。

探究1：ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，現(xiàn)從門E，F(xiàn)引路，

（1）如圖1，所引的兩條路兩條路AF，BE，要BE⊥AF，垂足為O，這兩條路等長嗎？理由是什么？

同樣利用正方形的性質(zhì)和垂直的條件證明一對全等的直角三角形。

（2）如圖2，現(xiàn)從E門引出的路為EH，此時F門所引的路FG⊥EH，垂足為O，請畫出FG，并猜想路EH與FG的長度關(guān)系，說出你的理由。

兩種輔助線，一是過E、F分別作垂線，其實(shí)可以看成把正方形的邊往內(nèi)部平移來構(gòu)造全等的直角三角形。二是過A、B分別作GF、EH的平行線，構(gòu)造出與圖1一致的圖形，在利用原來的證明方法證明。從中體現(xiàn)了化歸的思想方法。

小結(jié)：在正方形中，兩組對邊所截得的互相垂直的線段相等。

探究2：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)F在邊CD上，F(xiàn)O⊥HO，若垂足O恰好落在對角線AC上時，請猜想OH和OF的關(guān)系。

同樣通過構(gòu)造了一對全等的直角三角形來解決問題。

二、拓展例題，融會貫通

拓展1

已知矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD的邊AD，DC，AB，BC上，EH⊥GF，垂足為O，EH=4。

（1）如圖4，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求GF的長。

（2）如圖5，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GF的長（用n的代數(shù)式表示）。

拓展2

已知點(diǎn)F在矩形ABCD的邊CD上，BO⊥FO，若垂足O恰好落在對角線AC上時，AB=4。

（1）如圖5，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求■的值。

通過構(gòu)造一對相似三角形來解決問題，與前面的解題思路相似。

（2） 如圖6 ，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求■的值。

小結(jié)：通過對教材習(xí)題的多次拓展探究，從特殊到一般，從部分到整體，從中我們發(fā)現(xiàn)根本問題的解決來源于教材習(xí)題，所以在復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)立足教材，重視教材中典型的例題和習(xí)題，加強(qiáng)變式練習(xí)，從而提高自身能力。

三、反思例題，用變題激發(fā)潛能

在整個拓展探究中，還有很多值得商榷的地方，比如在探究1中，若點(diǎn)繼續(xù)在邊上移動著，能否移到邊所在的直線外呢？當(dāng)這些點(diǎn)分別在它們所在的直線上運(yùn)動，保持GF與EH垂直，GF與EH相等嗎？（如圖）這里是通過適當(dāng)刪減條件，可把題目從特殊（上接第117頁）轉(zhuǎn)化為一般。

垂足落在正方形的邊上，又會引發(fā)出哪些結(jié)論呢？

如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F，取邊AB的中點(diǎn)G，連接EG。這時，EG=CF嗎？

又如垂足在對角線上移動時，若垂足O剛好是正方形的中心，又會引發(fā)出哪些結(jié)論呢？

這里通過探究增加條件的變題，獲取更多有用的結(jié)論。

最后，如果探究變換圖形的變題如圖，若將原題中的條件“正方形”改為“正三角形”， “AF⊥BE”改為“∠COF=60°”，其他條件不變，則原題的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出下面證明：如果不成立，請給出反例。

進(jìn)一步如果將題中的條件“正三角形”改為“正五邊形”，在AB上取一點(diǎn)G，連結(jié)EG，過點(diǎn)A作AF，且使得∠EOF=108°，那么此時EG與AF相等嗎？是否還有其他的延伸呢？

圖形雖然在變，但萬變不離其宗，解題的方法沒變，正方形是特殊的正多邊形，從正方形具有的一般性結(jié)論自然地類比到了其他的正多邊形，再進(jìn)行相似探索、思考、研究相應(yīng)的結(jié)論。

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師要鼓勵學(xué)生質(zhì)疑、探究，在思考的過程中感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展的過程。數(shù)學(xué)問題的探究往往是無窮盡的。通過變題，既能使學(xué)生高瞻遠(yuǎn)曙，又能有效地學(xué)習(xí)，從而提高學(xué)習(xí)效率。若教師在課前充分挖掘教材資源，在課堂中利用變題引導(dǎo)學(xué)生探索，則能激發(fā)他們的興趣，甚至讓學(xué)生學(xué)會變題。這樣，不僅能鞏固知識，挖掘不同知識點(diǎn)間的聯(lián)系，而且能開拓學(xué)生的思維和視野，有事半功倍之效。

總之，在例習(xí)題教學(xué)中，教學(xué)資源無處不在、無時不在、取之不盡、用之不竭。教師要不斷地探索、實(shí)踐、反思，探究教學(xué)資源，妙用課堂資源。要貫徹新課程的教學(xué)理念，發(fā)揮例習(xí)題應(yīng)有的教學(xué)價值，實(shí)施例習(xí)題教學(xué)的有效性，深入探究例習(xí)題蘊(yùn)涵的寶藏，彰顯數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力。

（作者單位：廣西南寧市新民中學(xué) 530000）