對(duì)初中數(shù)學(xué)問題的直觀性實(shí)踐

林松杰

摘要：如何提高學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)，獲得良好的數(shù)學(xué)教育是每位初中教師都在思考的問題，尤其是在面對(duì)學(xué)生比較難接受、難消化的函數(shù)和幾何問題時(shí)，一種好的解題方法就顯得至關(guān)重要。本文針對(duì)這些問題，從直觀性角度出發(fā)，給學(xué)生提供一種別樣的解題思路。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；直觀性；符號(hào)；圖像

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2014）03-0102

符號(hào)、圖像、代數(shù)式、方程、解析式等都是數(shù)學(xué)語言的呈現(xiàn)形式，特別是圖像、符號(hào)都比較直觀地表現(xiàn)出數(shù)學(xué)中許多量之間的關(guān)系，在日常教學(xué)中，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用這些數(shù)學(xué)語言，直觀地去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并解決此類問題?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)于第三階段的教學(xué)目標(biāo)特別提到了“初步建立幾何直觀”，當(dāng)然直觀不是幾何所特有，在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域也同樣需要直觀，這是對(duì)于“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的呈現(xiàn)形式之一。筆者根據(jù)教學(xué)素材有針對(duì)性的大膽嘗試，在此以浙教版初中數(shù)學(xué)為內(nèi)容，進(jìn)行一些思考和嘗試。

一、符號(hào)的直觀性

學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)中常用的符號(hào)要認(rèn)識(shí)清楚，一些細(xì)小的變化就代表了不同的含義，特別是七年級(jí)新生對(duì)于絕對(duì)值、相反數(shù)、平方根、算術(shù)平方根的含義容易出現(xiàn)混淆，我們引入符號(hào)后就容易理解相互的區(qū)別和聯(lián)系。

例. 七年級(jí)上冊(cè)《3.1平方根》教學(xué)中，對(duì)于文字表述轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言表述強(qiáng)調(diào)就容易讓學(xué)生理解，如“9的平方根是多少？4的算術(shù)平方根是多少？”可以嘗試用再寫一遍“±■=（ ），■=（ ）”這樣就強(qiáng)調(diào)了平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系。

數(shù)學(xué)符號(hào)在“圖形與幾何”領(lǐng)域也存在很多，如垂直（⊥），平行（∥），直角（Rt∠），為了簡(jiǎn)潔點(diǎn)我們自己也可以創(chuàng)造一些符號(hào)，如角平分線（ ），等腰三角形（ ），從而把題目中的文字大大省略了。八年級(jí)上冊(cè)等腰三角形復(fù)習(xí)時(shí)，常常對(duì)于“三線合一”的性質(zhì)進(jìn)行拓展，把這個(gè)命題的條件、結(jié)論進(jìn)行變動(dòng)，出現(xiàn)多個(gè)命題的證明，但是對(duì)于命題的真正運(yùn)用不會(huì)強(qiáng)調(diào)，如果我們對(duì)于有些命題進(jìn)行直觀的符號(hào)表示，那對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的意義就不一樣了。如

+⊥ 表示“一個(gè)三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與對(duì)邊的高重合，那么三角形為等腰三角形”，這一符號(hào)表達(dá)式就讓學(xué)生對(duì)于兩線重合圖形一出現(xiàn)就能直觀地找到等腰三角形，大大提高了對(duì)于圖像的把握。

例. 在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，E為BC中點(diǎn)，求DE的長。

分析：AD是∠BAC的平分線，又是BD的高，如果延長BD交AC于F，則△ABF是等腰三角形，則D是BF的中點(diǎn)，DE是△CBF的中位線，即DE=1/2CF=1/2（AC-AB）。

我們可以在日常教學(xué)中嘗試著試用符號(hào)法，讓學(xué)生積累活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

1. 關(guān)系式的直觀性

在初中數(shù)學(xué)的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)占了很大的比重，學(xué)生往往在解決問題方面有一定的難度，特別是要找出兩個(gè)變量的變化規(guī)則，這時(shí)用圖解法就能比較直觀地分析出數(shù)量關(guān)系。因此對(duì)于數(shù)量關(guān)系的建立非常重要。

在初中數(shù)學(xué)一次函數(shù)應(yīng)用中，學(xué)生經(jīng)常會(huì)遇到分段函數(shù)的問題，那么該如何讓學(xué)生體會(huì)到解析式與自變量的取值關(guān)系，自覺嘗試用數(shù)軸來解決問題呢？特別是一些稅收、醫(yī)療費(fèi)、電費(fèi)、水費(fèi)等令學(xué)生望而生畏的問題，請(qǐng)數(shù)軸來幫忙可能會(huì)降低不少難度。

例. 公司員工的收入按規(guī)定要交所得稅，標(biāo)準(zhǔn)如下：收入1000元以內(nèi)不交稅；收入超過1000元，而不超過1500元部分的稅率是5%；收入超過1500元，不超過3000元部分的稅率是10%?，F(xiàn)在知道小李的月收入是1850元，小張的月收入是2750元，問小李和小張各應(yīng)繳納多少所得稅。

分析：通過在數(shù)軸上展示工資與交納的稅率之間的關(guān)系，可以讓學(xué)生一目了然。

上交稅費(fèi) 0元 0-25元 25-175元

解：小李：（1850-1500）×10%+25=60元

小張：（2750-1500）×10%+25=150元

答：小李上交60元，小張上交150元稅費(fèi)。

在題解的過程中用25元去代替工資中的1500元，從中讓學(xué)生體會(huì)到分段函數(shù)的解析式與自變量范圍的關(guān)系，從而找出這類問題的實(shí)質(zhì)及解題方法。反之，已知某人上交稅費(fèi)數(shù)量去計(jì)算此人的工資，我們也可以通過上交稅費(fèi)的范圍得出工資的范圍。通過數(shù)軸的幫助形象直觀地展示了工資與稅費(fèi)之間的關(guān)系。

例. 八年級(jí)下冊(cè)《2.3一元二次方程的應(yīng)用》教學(xué)過程中，對(duì)于例1的分析筆者作了圖示法。

某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系。每盆植入3株時(shí)，平均單株盈利3元；以同樣的栽培條件，若每盆增加1株，平均單株盈利就減少0.5元。要使每盆的盈利達(dá)到10元，每盆應(yīng)該植多少株？

分析： 每盆株數(shù) 單株利潤

基準(zhǔn) 3 3

新的水平 （3+x）株/盆 y=（-0.5x+3）元/株

每盆盈利=（-0.5x+3）×（3+x）=10

圖示法比較直觀的分析出題意中所涉及的數(shù)量關(guān)系，同時(shí)也能直觀地看出變量之間的關(guān)系，這一種方法同樣在解決二次函數(shù)問題中非常有用，可以大大提高學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的理解，同時(shí)也可以根據(jù)圖示中的信息對(duì)新的問題進(jìn)行思考與拓展，發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)問題。

2. 圖像的直觀性

函數(shù)圖像能比較直觀地反應(yīng)兩個(gè)變量之間關(guān)系，我們?cè)诤瘮?shù)教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)圖像的作用，讓學(xué)生從圖像中去發(fā)現(xiàn)求二元一次方程組的解、一元一次不等式（組）的解、一元二次方程的解等問題與函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系。

例. 九年級(jí)上冊(cè)《1.3反比例函數(shù)的應(yīng)用》教學(xué)中安排了用純圖像解決問題的例題。

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=■的圖像相交于A、B兩點(diǎn)，

（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式

（2）根據(jù)圖像寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的的取值范圍；

分析：函數(shù)圖像上的點(diǎn)坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式，因此容易得到m=-2，則n=-2，由此得到A（-2，1），B（1，-2），再得到一次函數(shù)解析式。問題（2）的解決用圖像就能直觀地寫出，-2

圖像的直觀性對(duì)于求比較復(fù)雜的方程解的個(gè)數(shù)或符號(hào)問題幫助更大，利用等式的性質(zhì)對(duì)一些方程進(jìn)行變式，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)問題。

例. 九年級(jí)上冊(cè)《2.4二次函數(shù)應(yīng)用3》教學(xué)內(nèi)容

利用二次函數(shù)的圖象求方程x2+x-1=0的近似解。

分析：（方案一）設(shè)y=x2+x-1，則方程的解就是該函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。可以畫出草圖，求出近似解。

我們還可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，轉(zhuǎn)化成更基本的函數(shù)模型，提出方案二，移項(xiàng)得x2=-x+1到設(shè)y1=x2，y2=-x+1，兩個(gè)基本函數(shù)在同一坐標(biāo)系中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的近似值就是原方程的近似解。自然還會(huì)產(chǎn)生方案三、方案四，我們可以讓學(xué)生比較方案的最優(yōu)化問題。

本題的講解過程中，我們可以用幾何畫板軟件進(jìn)行輔助教學(xué)，直接在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行操作，學(xué)生就可以直觀地看到交點(diǎn)及方程解。

初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一種對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的理解，有許多問題都是從表象中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題及數(shù)學(xué)本質(zhì)。我們應(yīng)該大膽嘗試，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀的猜測(cè)和嚴(yán)密地推理，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的認(rèn)識(shí)，獲得良好的數(shù)學(xué)教育。

參考文獻(xiàn)：

[1] 姚愛斐.數(shù)軸讓解題更直觀[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2009（11）.

（作者單位：浙江省慈溪市勝山初級(jí)中學(xué) 315300）