基于學(xué)生差異與發(fā)展需要整體構(gòu)建“意義”

林良富

【設(shè)計(jì)理念】

1.基于教材、學(xué)情與研究現(xiàn)狀，提出自己的思考。

“分?jǐn)?shù)的意義”是數(shù)意義的一次拓展，雖然各種版本的教材都采取了分段編排的原則，但真正實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)意義的深度理解需要一個(gè)漫長(zhǎng)的過程。人教版五年級(jí)《分?jǐn)?shù)的意義》一課，先呈現(xiàn)了5幅表示 的直觀圖示，意在讓學(xué)生通過直觀表征與語(yǔ)言表達(dá)，從“過程分?jǐn)?shù)”的視角建立分?jǐn)?shù)的概念；然后通過“分糖果”的活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)的分子、分母的含義，進(jìn)一步從抽象的角度理解分?jǐn)?shù)的概念。由于分?jǐn)?shù)的意義內(nèi)涵豐富，常常被很多名師從不同的視角展開經(jīng)典的演繹。我想：學(xué)生心目中的“分?jǐn)?shù)”經(jīng)過兩年的自然生長(zhǎng)能達(dá)到怎樣一個(gè)層次呢？學(xué)生整體理解分?jǐn)?shù)的意義需要經(jīng)歷怎樣的數(shù)學(xué)化過程、積累哪些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？分?jǐn)?shù)的意義是否可以從整體建構(gòu)的視角讓學(xué)生展開學(xué)習(xí)？通過前測(cè)和相關(guān)教學(xué)實(shí)踐研究，我找準(zhǔn)了學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，把握了學(xué)生的差異與知識(shí)自然增長(zhǎng)的規(guī)律，在教學(xué)設(shè)計(jì)上大膽前置了學(xué)生的表征活動(dòng)；基于學(xué)生發(fā)展的需要，從單元整體出發(fā)，鋪設(shè)了更多元的概念生長(zhǎng)點(diǎn)，讓學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)更豐滿、更全面。

2.基于“過程分?jǐn)?shù)”的理解，設(shè)計(jì)豐富的活動(dòng)。

理解分?jǐn)?shù)的意義，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，第一個(gè)層次就是對(duì)過程的理解，教師應(yīng)該通過“圈、均分、涂色、表達(dá)”這樣一系列的活動(dòng)體現(xiàn)作為過程的分?jǐn)?shù)，以利于學(xué)生去構(gòu)建他們心中的“過程分?jǐn)?shù)”。為了體現(xiàn)這一原則，本節(jié)課設(shè)計(jì)了四次活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中理解、感悟、優(yōu)化、積累經(jīng)驗(yàn)……真正體現(xiàn)“做數(shù)學(xué)”的過程。

3.基于學(xué)生理解水平的提升，精心設(shè)計(jì)大問題。

活動(dòng)是一個(gè)載體，活動(dòng)后的感知是一種表象或具象，如果概念學(xué)習(xí)僅僅停留在這一水平，對(duì)概念的理解只能處于表層。學(xué)生活動(dòng)以后需要教師的大問題引領(lǐng)他們?nèi)ニ伎季唧w表象后面的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將概念不斷抽象化、符號(hào)化。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.借助學(xué)生的差異資源，在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，理解分?jǐn)?shù)的意義。

2.理解單位“1”，理解分?jǐn)?shù)單位。

3.溝通分?jǐn)?shù)、單位“1”、整數(shù)之間的關(guān)系，能在數(shù)直線上表示分?jǐn)?shù)，為后續(xù)學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)。

【教學(xué)過程與意圖】

一、基于學(xué)生差異，初步理解分?jǐn)?shù)的意義

（一）基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，自主表征

1.關(guān)于分?jǐn)?shù)，你已經(jīng)知道了什么？請(qǐng)同學(xué)們靜靜想一想。

2.請(qǐng)同學(xué)們嘗試用不同的方法表示出心中的 ，可以畫圖或用語(yǔ)言描述，鼓勵(lì)與眾不同的表示方法。

3.學(xué)生嘗試表征，教師巡視指導(dǎo)并指派學(xué)生板演。

4.同桌相互交流：我是這樣表示出 的。

【本環(huán)節(jié)主要是通過一個(gè)問題和一次獨(dú)立表征 的嘗試活動(dòng)，喚醒每一個(gè)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義個(gè)性理解的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)和認(rèn)知基礎(chǔ)，讓學(xué)生把經(jīng)驗(yàn)通過靜思默想、語(yǔ)言或圖畫展現(xiàn)出來(lái)，為課堂提供多元、豐富的學(xué)習(xí)資源。這樣開放的設(shè)計(jì)，是基于對(duì)學(xué)生前測(cè)數(shù)據(jù)的分析，是基于學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的自然生長(zhǎng)，是基于學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)畫圖表征的超前現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。在前測(cè)中，有96.5%的學(xué)生能用一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位作單位“1”來(lái)準(zhǔn)確地表示出自己喜歡的分?jǐn)?shù)；有15%左右的學(xué)生能用幾個(gè)中的一個(gè)來(lái)表示幾分之一；還有5.5%的學(xué)生能用一些物體作單位“1”表示其中幾個(gè)物體占這個(gè)整體的幾分之一；只有3.5%左右的學(xué)生在獨(dú)立畫圖表征分?jǐn)?shù)的過程中有一點(diǎn)瑕疵?；趯W(xué)生這樣的認(rèn)知基礎(chǔ)，我認(rèn)為：分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生可以安排在三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)時(shí)學(xué)習(xí)，而對(duì)分?jǐn)?shù)的意義的學(xué)習(xí)則可以直奔主題，從學(xué)生的自主表征開始。從多次教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，這樣的導(dǎo)入設(shè)計(jì)是真正從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，學(xué)生的現(xiàn)實(shí)創(chuàng)新能力要高于教材，高于教師的經(jīng)驗(yàn)預(yù)期?！?/p>

（二）喚醒學(xué)生的已有認(rèn)知，理解一個(gè)物體的

1.整體展示下面幾種學(xué)生作品：

一個(gè)蘋果的 一個(gè)圖形的

一條線段的 4個(gè)物體的

師：指著前3幅圖，請(qǐng)你來(lái)說(shuō)一說(shuō)你是怎么表示出 的。

生（結(jié)合自己的圖示表達(dá)）：把**平均分成4份，其中的1份就是它的 。

2.教師小結(jié)：一個(gè)蘋果、一個(gè)圖形、一條線段等我們都可以稱為一個(gè)物體。（板書：一個(gè)物體）

3.師：剛才幾位同學(xué)都正確地表示出了一個(gè)物體的 ，它們有沒有相同的地方？（根據(jù)學(xué)生的回答板書：平均分成4份，表示這樣的1份）

（三）基于生活經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)的自然增長(zhǎng)，理解4個(gè)物體的

1.學(xué)生自主表達(dá)自己理解的 。

師：涂色的明明是一個(gè)圓，應(yīng)該用1來(lái)表示，怎么可以用 來(lái)表示呢？

生1：4個(gè)圓中的1個(gè)，就是 。

生2：把4個(gè)圓平均分成4份，1份就是 。

生3：把4個(gè)圓看成一個(gè)整體，平均分成4份，其中的1份就是這個(gè)整體的 。

2.教師根據(jù)學(xué)生的回答不斷補(bǔ)充板書，引導(dǎo)所有的學(xué)生規(guī)范表達(dá)，并形成如下板書：

把這個(gè)整體平均分成4份，其中的1份就是這個(gè)整體的 。

師：這里把4個(gè)圓看成了一個(gè)整體，（板書：一個(gè)整體）用橢圓來(lái)表示，用虛線表示平均分成的份數(shù)。這樣的表示與前面的表示相比，最大的不同是什么？

【前測(cè)后的交流中，大部分學(xué)生認(rèn)可幾個(gè)中的一個(gè)就是幾分之一，但學(xué)生是憑直覺和生活經(jīng)驗(yàn)去理解的，并沒有和規(guī)范的分?jǐn)?shù)意義理解掛鉤。在學(xué)生展示原有個(gè)性理解的基礎(chǔ)上，如何把學(xué)生從直觀的理解引向?qū)Ω拍畋举|(zhì)的理解？這需要教師的點(diǎn)撥與適時(shí)的追問、質(zhì)疑，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)一步從直覺、直觀走向作為“過程分?jǐn)?shù)”的動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)——把誰(shuí)看成一個(gè)整體？怎樣均分、涂色？如何用語(yǔ)言完整表達(dá)？本環(huán)節(jié)基于學(xué)生的差異資源，用一個(gè)好的問題指引學(xué)生去思考、去重構(gòu)知識(shí)。通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)從直觀、初步理性兩個(gè)維度擴(kuò)展了分?jǐn)?shù)的意義，但還只是停留在具體的個(gè)例學(xué)習(xí)階段，還屬于紙上談兵?！?/p>

二、經(jīng)歷二次表征，在思辨中深度理解“ ”與單位“1”

（一）在思辨中深度理解“ ”

1.自主表征一個(gè)整體的 。

請(qǐng)根據(jù)自己對(duì) 的理解，表示出下面各圖的 。

學(xué)生涂色表示出8個(gè)五角星的 和12個(gè)圓的 ，同時(shí)請(qǐng)兩位學(xué)生板演。

師：你是怎么表示出 的？這里明明是兩個(gè)圓，應(yīng)該用2來(lái)表示，怎么可以用 來(lái)表示呢？

2.在思辨中深度理解“ ”。

（1）你是怎樣表示 的？?jī)煞鶊D有什么共同點(diǎn)？

小結(jié)：把一些東西看成一個(gè)整體，再把它平均分成4份，其中的1份就表示這個(gè)整體的 。

（2）老師糊涂了， 一會(huì)兒表示1個(gè)物體，一會(huì)兒表示2個(gè)物體，一會(huì)兒又表示3個(gè)物體，這是怎么回事？

生1：它們的個(gè)數(shù)不同。

生2：第一幅圖的整體是4個(gè)物體，第二幅圖的整體是8個(gè)物體，第三幅圖的整體是12個(gè)物體，所以，三個(gè) 表示的物體的個(gè)數(shù)就不一樣。

小結(jié)：一個(gè)整體表示的數(shù)量不同，它的 表示的物體的個(gè)數(shù)就不一樣。

（二）理解單位“1”

1.我們用橢圓表示了一個(gè)整體，大家想想：橢圓里除了可以放1個(gè)物體、4個(gè)物體、8個(gè)物體、12個(gè)物體外，還可以表示哪些數(shù)量的物體？

生1：還可以表示20個(gè)物體。

生2：只要是4的倍數(shù)都可以。

生3：雙數(shù)個(gè)物體就可以。

2.這個(gè)整體還可以表示更少或更小的數(shù)量嗎？

生1：一個(gè)物體。

生2：半個(gè)物體也可以，只要平均分成4份，1份就是半個(gè)的 。（教師適當(dāng)補(bǔ)充：半個(gè)物體平均分成4份，每份是這半個(gè)的 。）

追問：0.1米的 可以表示嗎？

3.小結(jié)：這個(gè)神奇的整體，數(shù)學(xué)上還有一個(gè)更專業(yè)的名稱——單位“1”。（板書：?jiǎn)挝弧?”）為什么加了個(gè)引號(hào)？從單位“1”的角度說(shuō)說(shuō)什么是 。

4.舉例說(shuō)說(shuō)還可以把什么看成單位“1”。

【本環(huán)節(jié)是基于“關(guān)注每一個(gè)孩子，讓每一個(gè)孩子自主參與、親身經(jīng)歷學(xué)習(xí)的全過程”這一教學(xué)理念，在前一環(huán)節(jié)紙上談兵的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)人人動(dòng)手、動(dòng)腦的第二次嘗試，在嘗試展示后從兩個(gè)維度讓學(xué)生明理：一是求同，讓學(xué)生順理成章地抽象出 的含義；二是求異，對(duì)一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)進(jìn)行拓展，通過幾個(gè)問題的追問，學(xué)生對(duì) 的認(rèn)識(shí)與對(duì)單位“1”的認(rèn)識(shí)越來(lái)越深刻、越來(lái)越接近概念的本質(zhì)。這一環(huán)節(jié)中，既關(guān)注了單位“1”的不斷變大，又兼顧了單位“1”的不斷變小，還把單位“1”的變化與整體的 一一對(duì)應(yīng)了起來(lái)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的意義積累了經(jīng)驗(yàn)?！?/p>

三、在分一分、寫一寫的過程中，認(rèn)識(shí)“分?jǐn)?shù)單位”，理解分子、分母的含義

1.認(rèn)識(shí)幾分之幾，揭示分?jǐn)?shù)單位。

剛才的作品中，涂色部分我們用 來(lái)表示，空白部分又可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)表示呢？怎么想的？

師： 與 有怎樣的關(guān)系？（生： 里面有3個(gè) ）

師：表示其中1份的 就是 的分?jǐn)?shù)單位。

2.填上合適的分?jǐn)?shù)。說(shuō)說(shuō)你是怎么想的，有幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位？

每塊月餅是這盒月餅的

5塊月餅是這盒月餅的

有同學(xué)用 表示，可以嗎？

3.請(qǐng)你分一分，并寫出幾個(gè)不同的分?jǐn)?shù)。

追問與質(zhì)疑：都是把12個(gè)笑臉看成單位“1”，陰影部分都是4個(gè)笑臉，為什么可以用三個(gè)不同的分?jǐn)?shù)（ 、 、 ）來(lái)表示？

在分?jǐn)?shù)中，分母由誰(shuí)來(lái)決定？分子又由誰(shuí)來(lái)決定？

（板書：?jiǎn)挝弧?” ）

師：要準(zhǔn)確表示一個(gè)分?jǐn)?shù)，我們既要關(guān)注單位“1”是什么，還要關(guān)注平均分成了幾份，表示了這樣的幾份。

4.說(shuō)一說(shuō)分?jǐn)?shù)的意義。

（1）有一個(gè)分?jǐn)?shù)，把單位“1”平均分成了100份，表示這樣的99份，這個(gè)分?jǐn)?shù)是（ ），它的分?jǐn)?shù)單位是（ ），有（ ）個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。

（2） ，它表示什么意義？它的分?jǐn)?shù)單位是（ ），有（ ）個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。你認(rèn)為a可能是哪些數(shù)？

【從幾分之一拓展到幾分之幾，是對(duì)原有學(xué)生素材的再一次利用，通過兩個(gè)簡(jiǎn)單的問題，讓學(xué)生從分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的累加組成分?jǐn)?shù)的視角，進(jìn)一步體驗(yàn)作為單位累加的動(dòng)態(tài)分?jǐn)?shù)。再通過分一分、填一填的活動(dòng)，積累分子、分母的直觀表象，在追問與質(zhì)疑中，讓學(xué)生明晰分子與分母的含義，并順勢(shì)進(jìn)一步提升了分?jǐn)?shù)意義的符號(hào)化與學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)的水平?！?/p>

四、基于學(xué)生的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義的整體理解

1.溝通單位“1”與整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系。

（1）在（ ）里填上合適的數(shù)，并把它標(biāo)在數(shù)直線上。

（2）反饋學(xué)生的成果。

（3）2個(gè)、3個(gè)長(zhǎng)方形可以看成幾個(gè)這樣的單位“1”？在這條數(shù)直線上怎樣表示出來(lái)？（課件演示數(shù)直線的疊加）

2.初步感知分?jǐn)?shù)的多種表示形式。

課件出示下圖，這個(gè)陰影部分可用什么分?jǐn)?shù)來(lái)表示？怎么想的？在數(shù)直線上可以怎樣來(lái)表示？

生1： 。

生2： 。

生3：1 。

師： 是什么意思？

生1：把兩個(gè)長(zhǎng)方形看成“1”，平均分成10份，表示這樣的7份。

生2：我不同意，因?yàn)轭}目已經(jīng)規(guī)定把一個(gè)長(zhǎng)方形看做單位“1”了，所以不是 ，應(yīng)該比“1”大。

生3：這幅圖有7個(gè) ，所以是 。

生4：這幅圖，除了1個(gè)單位“1”，還在第2個(gè)單位“1”中表示了 ，所以是1 。

師： 在數(shù)直線上怎么表示？

3.小結(jié)與延伸。

學(xué)了這節(jié)課，你對(duì)分?jǐn)?shù)又有了哪些新的認(rèn)識(shí)？還有什么疑問嗎？

延伸：同學(xué)們能否表示出5個(gè)小圓片的 ？

【作為分?jǐn)?shù)意義的第一次深度建構(gòu)，給予學(xué)生整體、全面、豐富的認(rèn)識(shí)是非常有價(jià)值的。從分?jǐn)?shù)單位的累加、單位“1”的累加兩個(gè)維度拓展了學(xué)生的視野，讓學(xué)生的原有認(rèn)知得以打破與重建；基于分?jǐn)?shù)意義的另一個(gè)視角（量的表示、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系），最后將“表示出5個(gè)圓片的 ”作為課的延伸，讓學(xué)生帶著問題離開課堂，激發(fā)他們探究的欲望。

整節(jié)課，基于學(xué)生的差異與現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，為學(xué)生搭建了一個(gè)開放的、自主的、以生為本的、凸顯數(shù)學(xué)思辨的學(xué)習(xí)平臺(tái)，讓學(xué)生在個(gè)性表征、合作交流、多元碰撞、理性思辨、抽象概括、解釋運(yùn)用中，積累豐滿的直觀表象，形成概念的深度構(gòu)建；基于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展需要，我從作為過程的分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位累加的分?jǐn)?shù)、作為量的分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)與整數(shù)的溝通及其在數(shù)直線上的表示等視角，設(shè)計(jì)活動(dòng)與思辨，讓學(xué)生整體建構(gòu)意義，提高其學(xué)習(xí)與思辨的能力，同時(shí)為他們后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)等預(yù)留了眾多的生長(zhǎng)點(diǎn)?！?/p>

（作者單位：浙江省寧波萬(wàn)里國(guó)際學(xué)校）

（一）在思辨中深度理解“ ”

1.自主表征一個(gè)整體的 。

請(qǐng)根據(jù)自己對(duì) 的理解，表示出下面各圖的 。

學(xué)生涂色表示出8個(gè)五角星的 和12個(gè)圓的 ，同時(shí)請(qǐng)兩位學(xué)生板演。

師：你是怎么表示出 的？這里明明是兩個(gè)圓，應(yīng)該用2來(lái)表示，怎么可以用 來(lái)表示呢？

2.在思辨中深度理解“ ”。

（1）你是怎樣表示 的？?jī)煞鶊D有什么共同點(diǎn)？

小結(jié)：把一些東西看成一個(gè)整體，再把它平均分成4份，其中的1份就表示這個(gè)整體的 。

（2）老師糊涂了， 一會(huì)兒表示1個(gè)物體，一會(huì)兒表示2個(gè)物體，一會(huì)兒又表示3個(gè)物體，這是怎么回事？

生1：它們的個(gè)數(shù)不同。

生2：第一幅圖的整體是4個(gè)物體，第二幅圖的整體是8個(gè)物體，第三幅圖的整體是12個(gè)物體，所以，三個(gè) 表示的物體的個(gè)數(shù)就不一樣。

小結(jié)：一個(gè)整體表示的數(shù)量不同，它的 表示的物體的個(gè)數(shù)就不一樣。

（二）理解單位“1”

1.我們用橢圓表示了一個(gè)整體，大家想想：橢圓里除了可以放1個(gè)物體、4個(gè)物體、8個(gè)物體、12個(gè)物體外，還可以表示哪些數(shù)量的物體？

生1：還可以表示20個(gè)物體。

生2：只要是4的倍數(shù)都可以。

生3：雙數(shù)個(gè)物體就可以。

2.這個(gè)整體還可以表示更少或更小的數(shù)量嗎？

生1：一個(gè)物體。

生2：半個(gè)物體也可以，只要平均分成4份，1份就是半個(gè)的 。（教師適當(dāng)補(bǔ)充：半個(gè)物體平均分成4份，每份是這半個(gè)的 。）

追問：0.1米的 可以表示嗎？

3.小結(jié)：這個(gè)神奇的整體，數(shù)學(xué)上還有一個(gè)更專業(yè)的名稱——單位“1”。（板書：?jiǎn)挝弧?”）為什么加了個(gè)引號(hào)？從單位“1”的角度說(shuō)說(shuō)什么是 。

4.舉例說(shuō)說(shuō)還可以把什么看成單位“1”。

【本環(huán)節(jié)是基于“關(guān)注每一個(gè)孩子，讓每一個(gè)孩子自主參與、親身經(jīng)歷學(xué)習(xí)的全過程”這一教學(xué)理念，在前一環(huán)節(jié)紙上談兵的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)人人動(dòng)手、動(dòng)腦的第二次嘗試，在嘗試展示后從兩個(gè)維度讓學(xué)生明理：一是求同，讓學(xué)生順理成章地抽象出 的含義；二是求異，對(duì)一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)進(jìn)行拓展，通過幾個(gè)問題的追問，學(xué)生對(duì) 的認(rèn)識(shí)與對(duì)單位“1”的認(rèn)識(shí)越來(lái)越深刻、越來(lái)越接近概念的本質(zhì)。這一環(huán)節(jié)中，既關(guān)注了單位“1”的不斷變大，又兼顧了單位“1”的不斷變小，還把單位“1”的變化與整體的 一一對(duì)應(yīng)了起來(lái)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的意義積累了經(jīng)驗(yàn)?！?/p>

三、在分一分、寫一寫的過程中，認(rèn)識(shí)“分?jǐn)?shù)單位”，理解分子、分母的含義

1.認(rèn)識(shí)幾分之幾，揭示分?jǐn)?shù)單位。

剛才的作品中，涂色部分我們用 來(lái)表示，空白部分又可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)表示呢？怎么想的？

師： 與 有怎樣的關(guān)系？（生： 里面有3個(gè) ）

師：表示其中1份的 就是 的分?jǐn)?shù)單位。

2.填上合適的分?jǐn)?shù)。說(shuō)說(shuō)你是怎么想的，有幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位？

每塊月餅是這盒月餅的

5塊月餅是這盒月餅的

有同學(xué)用 表示，可以嗎？

3.請(qǐng)你分一分，并寫出幾個(gè)不同的分?jǐn)?shù)。

追問與質(zhì)疑：都是把12個(gè)笑臉看成單位“1”，陰影部分都是4個(gè)笑臉，為什么可以用三個(gè)不同的分?jǐn)?shù)（ 、 、 ）來(lái)表示？

在分?jǐn)?shù)中，分母由誰(shuí)來(lái)決定？分子又由誰(shuí)來(lái)決定？

（板書：?jiǎn)挝弧?” ）

師：要準(zhǔn)確表示一個(gè)分?jǐn)?shù)，我們既要關(guān)注單位“1”是什么，還要關(guān)注平均分成了幾份，表示了這樣的幾份。

4.說(shuō)一說(shuō)分?jǐn)?shù)的意義。

（1）有一個(gè)分?jǐn)?shù)，把單位“1”平均分成了100份，表示這樣的99份，這個(gè)分?jǐn)?shù)是（ ），它的分?jǐn)?shù)單位是（ ），有（ ）個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。

（2） ，它表示什么意義？它的分?jǐn)?shù)單位是（ ），有（ ）個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。你認(rèn)為a可能是哪些數(shù)？

【從幾分之一拓展到幾分之幾，是對(duì)原有學(xué)生素材的再一次利用，通過兩個(gè)簡(jiǎn)單的問題，讓學(xué)生從分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的累加組成分?jǐn)?shù)的視角，進(jìn)一步體驗(yàn)作為單位累加的動(dòng)態(tài)分?jǐn)?shù)。再通過分一分、填一填的活動(dòng)，積累分子、分母的直觀表象，在追問與質(zhì)疑中，讓學(xué)生明晰分子與分母的含義，并順勢(shì)進(jìn)一步提升了分?jǐn)?shù)意義的符號(hào)化與學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)的水平。】

四、基于學(xué)生的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義的整體理解

1.溝通單位“1”與整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系。

（1）在（ ）里填上合適的數(shù)，并把它標(biāo)在數(shù)直線上。

（2）反饋學(xué)生的成果。

（3）2個(gè)、3個(gè)長(zhǎng)方形可以看成幾個(gè)這樣的單位“1”？在這條數(shù)直線上怎樣表示出來(lái)？（課件演示數(shù)直線的疊加）

2.初步感知分?jǐn)?shù)的多種表示形式。

課件出示下圖，這個(gè)陰影部分可用什么分?jǐn)?shù)來(lái)表示？怎么想的？在數(shù)直線上可以怎樣來(lái)表示？

生1： 。

生2： 。

生3：1 。

師： 是什么意思？

生1：把兩個(gè)長(zhǎng)方形看成“1”，平均分成10份，表示這樣的7份。

生2：我不同意，因?yàn)轭}目已經(jīng)規(guī)定把一個(gè)長(zhǎng)方形看做單位“1”了，所以不是 ，應(yīng)該比“1”大。

生3：這幅圖有7個(gè) ，所以是 。

生4：這幅圖，除了1個(gè)單位“1”，還在第2個(gè)單位“1”中表示了 ，所以是1 。

師： 在數(shù)直線上怎么表示？

3.小結(jié)與延伸。

學(xué)了這節(jié)課，你對(duì)分?jǐn)?shù)又有了哪些新的認(rèn)識(shí)？還有什么疑問嗎？

延伸：同學(xué)們能否表示出5個(gè)小圓片的 ？

【作為分?jǐn)?shù)意義的第一次深度建構(gòu)，給予學(xué)生整體、全面、豐富的認(rèn)識(shí)是非常有價(jià)值的。從分?jǐn)?shù)單位的累加、單位“1”的累加兩個(gè)維度拓展了學(xué)生的視野，讓學(xué)生的原有認(rèn)知得以打破與重建；基于分?jǐn)?shù)意義的另一個(gè)視角（量的表示、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系），最后將“表示出5個(gè)圓片的 ”作為課的延伸，讓學(xué)生帶著問題離開課堂，激發(fā)他們探究的欲望。

整節(jié)課，基于學(xué)生的差異與現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，為學(xué)生搭建了一個(gè)開放的、自主的、以生為本的、凸顯數(shù)學(xué)思辨的學(xué)習(xí)平臺(tái)，讓學(xué)生在個(gè)性表征、合作交流、多元碰撞、理性思辨、抽象概括、解釋運(yùn)用中，積累豐滿的直觀表象，形成概念的深度構(gòu)建；基于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展需要，我從作為過程的分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位累加的分?jǐn)?shù)、作為量的分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)與整數(shù)的溝通及其在數(shù)直線上的表示等視角，設(shè)計(jì)活動(dòng)與思辨，讓學(xué)生整體建構(gòu)意義，提高其學(xué)習(xí)與思辨的能力，同時(shí)為他們后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)等預(yù)留了眾多的生長(zhǎng)點(diǎn)。】

（作者單位：浙江省寧波萬(wàn)里國(guó)際學(xué)校）

（一）在思辨中深度理解“ ”

1.自主表征一個(gè)整體的 。

請(qǐng)根據(jù)自己對(duì) 的理解，表示出下面各圖的 。

學(xué)生涂色表示出8個(gè)五角星的 和12個(gè)圓的 ，同時(shí)請(qǐng)兩位學(xué)生板演。

師：你是怎么表示出 的？這里明明是兩個(gè)圓，應(yīng)該用2來(lái)表示，怎么可以用 來(lái)表示呢？

2.在思辨中深度理解“ ”。

（1）你是怎樣表示 的？?jī)煞鶊D有什么共同點(diǎn)？

小結(jié)：把一些東西看成一個(gè)整體，再把它平均分成4份，其中的1份就表示這個(gè)整體的 。

（2）老師糊涂了， 一會(huì)兒表示1個(gè)物體，一會(huì)兒表示2個(gè)物體，一會(huì)兒又表示3個(gè)物體，這是怎么回事？

生1：它們的個(gè)數(shù)不同。

生2：第一幅圖的整體是4個(gè)物體，第二幅圖的整體是8個(gè)物體，第三幅圖的整體是12個(gè)物體，所以，三個(gè) 表示的物體的個(gè)數(shù)就不一樣。

小結(jié)：一個(gè)整體表示的數(shù)量不同，它的 表示的物體的個(gè)數(shù)就不一樣。

（二）理解單位“1”

1.我們用橢圓表示了一個(gè)整體，大家想想：橢圓里除了可以放1個(gè)物體、4個(gè)物體、8個(gè)物體、12個(gè)物體外，還可以表示哪些數(shù)量的物體？

生1：還可以表示20個(gè)物體。

生2：只要是4的倍數(shù)都可以。

生3：雙數(shù)個(gè)物體就可以。

2.這個(gè)整體還可以表示更少或更小的數(shù)量嗎？

生1：一個(gè)物體。

生2：半個(gè)物體也可以，只要平均分成4份，1份就是半個(gè)的 。（教師適當(dāng)補(bǔ)充：半個(gè)物體平均分成4份，每份是這半個(gè)的 。）

追問：0.1米的 可以表示嗎？

3.小結(jié)：這個(gè)神奇的整體，數(shù)學(xué)上還有一個(gè)更專業(yè)的名稱——單位“1”。（板書：?jiǎn)挝弧?”）為什么加了個(gè)引號(hào)？從單位“1”的角度說(shuō)說(shuō)什么是 。

4.舉例說(shuō)說(shuō)還可以把什么看成單位“1”。

【本環(huán)節(jié)是基于“關(guān)注每一個(gè)孩子，讓每一個(gè)孩子自主參與、親身經(jīng)歷學(xué)習(xí)的全過程”這一教學(xué)理念，在前一環(huán)節(jié)紙上談兵的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)人人動(dòng)手、動(dòng)腦的第二次嘗試，在嘗試展示后從兩個(gè)維度讓學(xué)生明理：一是求同，讓學(xué)生順理成章地抽象出 的含義；二是求異，對(duì)一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)進(jìn)行拓展，通過幾個(gè)問題的追問，學(xué)生對(duì) 的認(rèn)識(shí)與對(duì)單位“1”的認(rèn)識(shí)越來(lái)越深刻、越來(lái)越接近概念的本質(zhì)。這一環(huán)節(jié)中，既關(guān)注了單位“1”的不斷變大，又兼顧了單位“1”的不斷變小，還把單位“1”的變化與整體的 一一對(duì)應(yīng)了起來(lái)，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的意義積累了經(jīng)驗(yàn)?！?/p>

三、在分一分、寫一寫的過程中，認(rèn)識(shí)“分?jǐn)?shù)單位”，理解分子、分母的含義

1.認(rèn)識(shí)幾分之幾，揭示分?jǐn)?shù)單位。

剛才的作品中，涂色部分我們用 來(lái)表示，空白部分又可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)表示呢？怎么想的？

師： 與 有怎樣的關(guān)系？（生： 里面有3個(gè) ）

師：表示其中1份的 就是 的分?jǐn)?shù)單位。

2.填上合適的分?jǐn)?shù)。說(shuō)說(shuō)你是怎么想的，有幾個(gè)分?jǐn)?shù)單位？

每塊月餅是這盒月餅的

5塊月餅是這盒月餅的

有同學(xué)用 表示，可以嗎？

3.請(qǐng)你分一分，并寫出幾個(gè)不同的分?jǐn)?shù)。

追問與質(zhì)疑：都是把12個(gè)笑臉看成單位“1”，陰影部分都是4個(gè)笑臉，為什么可以用三個(gè)不同的分?jǐn)?shù)（ 、 、 ）來(lái)表示？

在分?jǐn)?shù)中，分母由誰(shuí)來(lái)決定？分子又由誰(shuí)來(lái)決定？

（板書：?jiǎn)挝弧?” ）

師：要準(zhǔn)確表示一個(gè)分?jǐn)?shù)，我們既要關(guān)注單位“1”是什么，還要關(guān)注平均分成了幾份，表示了這樣的幾份。

4.說(shuō)一說(shuō)分?jǐn)?shù)的意義。

（1）有一個(gè)分?jǐn)?shù)，把單位“1”平均分成了100份，表示這樣的99份，這個(gè)分?jǐn)?shù)是（ ），它的分?jǐn)?shù)單位是（ ），有（ ）個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。

（2） ，它表示什么意義？它的分?jǐn)?shù)單位是（ ），有（ ）個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。你認(rèn)為a可能是哪些數(shù)？

【從幾分之一拓展到幾分之幾，是對(duì)原有學(xué)生素材的再一次利用，通過兩個(gè)簡(jiǎn)單的問題，讓學(xué)生從分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的累加組成分?jǐn)?shù)的視角，進(jìn)一步體驗(yàn)作為單位累加的動(dòng)態(tài)分?jǐn)?shù)。再通過分一分、填一填的活動(dòng)，積累分子、分母的直觀表象，在追問與質(zhì)疑中，讓學(xué)生明晰分子與分母的含義，并順勢(shì)進(jìn)一步提升了分?jǐn)?shù)意義的符號(hào)化與學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)的水平。】

四、基于學(xué)生的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)意義的整體理解

1.溝通單位“1”與整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系。

（1）在（ ）里填上合適的數(shù)，并把它標(biāo)在數(shù)直線上。

（2）反饋學(xué)生的成果。

（3）2個(gè)、3個(gè)長(zhǎng)方形可以看成幾個(gè)這樣的單位“1”？在這條數(shù)直線上怎樣表示出來(lái)？（課件演示數(shù)直線的疊加）

2.初步感知分?jǐn)?shù)的多種表示形式。

課件出示下圖，這個(gè)陰影部分可用什么分?jǐn)?shù)來(lái)表示？怎么想的？在數(shù)直線上可以怎樣來(lái)表示？

生1： 。

生2： 。

生3：1 。

師： 是什么意思？

生1：把兩個(gè)長(zhǎng)方形看成“1”，平均分成10份，表示這樣的7份。

生2：我不同意，因?yàn)轭}目已經(jīng)規(guī)定把一個(gè)長(zhǎng)方形看做單位“1”了，所以不是 ，應(yīng)該比“1”大。

生3：這幅圖有7個(gè) ，所以是 。

生4：這幅圖，除了1個(gè)單位“1”，還在第2個(gè)單位“1”中表示了 ，所以是1 。

師： 在數(shù)直線上怎么表示？

3.小結(jié)與延伸。

學(xué)了這節(jié)課，你對(duì)分?jǐn)?shù)又有了哪些新的認(rèn)識(shí)？還有什么疑問嗎？

延伸：同學(xué)們能否表示出5個(gè)小圓片的 ？

【作為分?jǐn)?shù)意義的第一次深度建構(gòu)，給予學(xué)生整體、全面、豐富的認(rèn)識(shí)是非常有價(jià)值的。從分?jǐn)?shù)單位的累加、單位“1”的累加兩個(gè)維度拓展了學(xué)生的視野，讓學(xué)生的原有認(rèn)知得以打破與重建；基于分?jǐn)?shù)意義的另一個(gè)視角（量的表示、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系），最后將“表示出5個(gè)圓片的 ”作為課的延伸，讓學(xué)生帶著問題離開課堂，激發(fā)他們探究的欲望。

整節(jié)課，基于學(xué)生的差異與現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)，為學(xué)生搭建了一個(gè)開放的、自主的、以生為本的、凸顯數(shù)學(xué)思辨的學(xué)習(xí)平臺(tái)，讓學(xué)生在個(gè)性表征、合作交流、多元碰撞、理性思辨、抽象概括、解釋運(yùn)用中，積累豐滿的直觀表象，形成概念的深度構(gòu)建；基于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展需要，我從作為過程的分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)單位累加的分?jǐn)?shù)、作為量的分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)與整數(shù)的溝通及其在數(shù)直線上的表示等視角，設(shè)計(jì)活動(dòng)與思辨，讓學(xué)生整體建構(gòu)意義，提高其學(xué)習(xí)與思辨的能力，同時(shí)為他們后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)等預(yù)留了眾多的生長(zhǎng)點(diǎn)?！?/p>

（作者單位：浙江省寧波萬(wàn)里國(guó)際學(xué)校）