分類思想在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的應(yīng)用

黃偉星

【摘 要】分類思想作為基本數(shù)學(xué)思想方法之一，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的應(yīng)用極其廣泛，教師在理解教材編排特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，在教學(xué)中應(yīng)明晰分類概念，遵循分類標(biāo)準(zhǔn)，在概念形成、規(guī)則理解、問(wèn)題解決和整理與復(fù)習(xí)中，巧妙滲透分類思想，幫助學(xué)生初步形成分類思想。

【關(guān)鍵詞】分類思想 應(yīng)用

如何在小學(xué)數(shù)學(xué)中進(jìn)行分類思想的教學(xué)，幫助學(xué)生積累初步的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？依?jù)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫體例，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，談些思考。

一、理解分類的概念及其要素

數(shù)學(xué)中的分類是指按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的一種思想方法。分類以比較為基礎(chǔ)，通過(guò)比較識(shí)別出數(shù)學(xué)對(duì)象之間的異同點(diǎn)，然后根據(jù)相同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象歸并為較大的類，根據(jù)差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為較小的類，從而將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為具有一定從屬關(guān)系的等級(jí)關(guān)系。分類要具有三個(gè)要素：⑴母項(xiàng)，即被劃分的對(duì)象；⑵子項(xiàng)，即劃分后所得的類概念；⑶根據(jù)，即劃分的標(biāo)準(zhǔn)。

二、遵循分類的標(biāo)準(zhǔn)和原則

分類的關(guān)鍵在于正確地選擇分類標(biāo)準(zhǔn)。一個(gè)科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)，必須能夠?qū)⑿枰诸惖臄?shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行不重復(fù)、無(wú)遺漏的劃分。

1.不重復(fù)。對(duì)母項(xiàng)進(jìn)行分類后得到的所有子項(xiàng)必須互相排斥，各個(gè)子項(xiàng)概念的外延之間是不相容的關(guān)系。從集合的角度看，被分成的任何兩類之間不相交，即無(wú)共同元素。不重復(fù)，即要求分類應(yīng)是純粹的。

2.無(wú)遺漏。經(jīng)分類所得的各子項(xiàng)之和必須與被分類的母項(xiàng)正好相等。從集合的角度看，分類后所得各概念（子項(xiàng)）的并集應(yīng)等于被分概念（母項(xiàng)）外延的全集。否則會(huì)出現(xiàn)過(guò)寬或過(guò)窄的邏輯錯(cuò)誤。無(wú)遺漏，即要求分類應(yīng)是完備的，從量的方面要求一個(gè)不能少。

3.同一標(biāo)準(zhǔn)。在一次分類中只能根據(jù)同一標(biāo)準(zhǔn)，否則就會(huì)出現(xiàn)劃分的結(jié)果重復(fù)或過(guò)寬的邏輯錯(cuò)誤，使劃分后的結(jié)果混淆不清。需要說(shuō)明的是，“對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類”，所指的是進(jìn)行了不止一次分類。當(dāng)有些數(shù)學(xué)對(duì)象比較復(fù)雜，僅僅進(jìn)行一次分類，不足以將問(wèn)題討論清楚時(shí)，需要進(jìn)一步對(duì)其中一類或幾類繼續(xù)分類，即進(jìn)行多級(jí)分類。在多級(jí)分類中，常常采用“二分法”，也就是按某一性質(zhì)的有無(wú)進(jìn)行分類。

4.按層次逐步劃分。分類應(yīng)取被分類概念最鄰近的概念按步驟進(jìn)行，不能越級(jí)，應(yīng)按層次逐步進(jìn)行。

三、分類思想在教材中的應(yīng)用

分類思想在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中應(yīng)用廣泛。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到分類問(wèn)題，如數(shù)的分類、形的分類等；在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中，常常需要通過(guò)分類討論解決問(wèn)題，分類的過(guò)程就是對(duì)事物共性的抽象過(guò)程。教學(xué)活動(dòng)中，要密切聯(lián)系上述教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生逐步體會(huì)為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，在分類的過(guò)程中如何認(rèn)識(shí)對(duì)象的性質(zhì)，如何區(qū)別不同對(duì)象的不同性質(zhì)。通過(guò)多次反復(fù)的思考和長(zhǎng)期的積累，使學(xué)生逐步感悟分類是一種重要的思想。學(xué)會(huì)分類，可以有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。具體教學(xué)建議如下：

1.分類討論明確概念。如：教學(xué)“認(rèn)識(shí)平行”時(shí)，可以先根據(jù)具體場(chǎng)景中一些物體的構(gòu)造，抽象出平面上不重合的兩條直線的兩種位置關(guān)系。再引導(dǎo)學(xué)生從兩條直線是否相交這一角度進(jìn)行分類，認(rèn)識(shí)同一平面內(nèi)兩條直線的兩種位置關(guān)系：相交或不相交。在此基礎(chǔ)上，描述兩條直線互相平行的概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)同一平面內(nèi)不相交的兩條直線互相平行。再如：教學(xué)“認(rèn)識(shí)方程”時(shí)，可以先結(jié)合具體情境，逐步抽象出一些等式和不等式，含未知數(shù)的等式和不含未知數(shù)的等式，再引導(dǎo)學(xué)生從是否是等式，是否含有未知數(shù)兩個(gè)維度進(jìn)行兩次分類，由此揭示方程的共同屬性：既要含有未知數(shù)，又要是等式，并描述方程的概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到含有未知數(shù)的等式是方程。得出概念后，可以讓學(xué)生通過(guò)討論“等式和方程的關(guān)系”，體會(huì)到方程也是等式，進(jìn)一步明晰方程的概念。

2.分類討論探索規(guī)律。如：教學(xué)“找規(guī)律”中的“試一試”時(shí)，可將“試一試”適當(dāng)改變，問(wèn)題如下：任意拿幾根小棒和幾個(gè)圓片，在桌上擺成一排，使小棒和圓片一一間隔排列。數(shù)數(shù)小棒的根數(shù)和圓片的個(gè)數(shù)，看看有什么關(guān)系。學(xué)生活動(dòng)結(jié)束后，教師可展示三種情況的多個(gè)例子：第一種是兩端都是小棒的情況，第二種是兩端都是圓片的情況，第三種是一端是小棒，另一端是圓片的情況。接著引導(dǎo)學(xué)生從兩端物體是否相同這個(gè)角度，對(duì)上述例子進(jìn)行分類，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩種物體一一間隔排列成一行，當(dāng)兩端物體相同時(shí)，位于兩端的這種物體的個(gè)數(shù)比另一種物體多1；當(dāng)兩端物體不同時(shí)，這兩種物體的個(gè)數(shù)相同。再應(yīng)用一一對(duì)應(yīng)的思想解釋所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。課末，可以繼續(xù)進(jìn)行擺小棒和圓片的活動(dòng)：任意拿幾根小棒和幾個(gè)圓片，在桌上擺成一圈，使小棒和圓片一一間隔排列。數(shù)數(shù)小棒的根數(shù)和圓片的個(gè)數(shù)，再次發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩種物體一一間隔排列成一圈，這兩種物體的個(gè)數(shù)相同。再將其展開，與兩種物體一一間隔排列成一排，兩端物體不同的情況進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)相同。最后，將所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律分類整理成下圖：

3.分類討論解決問(wèn)題。如：教學(xué)用“一一列舉”的策略解決雜志訂閱方法的問(wèn)題時(shí)，先要適當(dāng)幫助學(xué)生弄清題意，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類思考，將訂閱情況分成三類：只訂閱1本，訂閱2本，訂閱3本，最后按照分類情況一一列舉，其中訂閱2本的具體方法可以讓學(xué)生一一列舉并寫下來(lái)，也可以讓學(xué)生用符號(hào)或畫圖來(lái)表達(dá)自己的思考過(guò)程。通過(guò)這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，體會(huì)分類列舉的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生真正做到不重復(fù)、不遺漏。再如：教學(xué)用“假設(shè)和調(diào)整”的策略解決租船問(wèn)題時(shí)，可以分成兩種情況進(jìn)行思考：第一種情況是從特殊情況入手解決問(wèn)題，即假設(shè)所租的船都是大船或小船，第二種情況是從一般情況入手解決問(wèn)題，即假設(shè)所租的船有大船，也有小船。問(wèn)題解決后，先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法：假設(shè)——比較——調(diào)整——檢驗(yàn)，再引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)解決此類問(wèn)題時(shí)，從特殊情況入手比較簡(jiǎn)單。

4.分類形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。在總復(fù)習(xí)階段，通過(guò)分類可以使數(shù)學(xué)知識(shí)條理化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，有助于學(xué)生更好地掌握知識(shí)和形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。如：復(fù)習(xí)“正比例和反比例”時(shí)，可以分類整理成下表，通過(guò)比較，幫助學(xué)生進(jìn)一步明確正比例和反比例的概念。

幫助學(xué)生掌握分類思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)分類活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果。分類思想需要在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中積淀，需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中逐步形成的。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市教育科學(xué)研究院）

【摘 要】分類思想作為基本數(shù)學(xué)思想方法之一，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的應(yīng)用極其廣泛，教師在理解教材編排特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，在教學(xué)中應(yīng)明晰分類概念，遵循分類標(biāo)準(zhǔn)，在概念形成、規(guī)則理解、問(wèn)題解決和整理與復(fù)習(xí)中，巧妙滲透分類思想，幫助學(xué)生初步形成分類思想。

【關(guān)鍵詞】分類思想 應(yīng)用

如何在小學(xué)數(shù)學(xué)中進(jìn)行分類思想的教學(xué)，幫助學(xué)生積累初步的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？依?jù)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫體例，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，談些思考。

一、理解分類的概念及其要素

數(shù)學(xué)中的分類是指按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的一種思想方法。分類以比較為基礎(chǔ)，通過(guò)比較識(shí)別出數(shù)學(xué)對(duì)象之間的異同點(diǎn)，然后根據(jù)相同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象歸并為較大的類，根據(jù)差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為較小的類，從而將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為具有一定從屬關(guān)系的等級(jí)關(guān)系。分類要具有三個(gè)要素：⑴母項(xiàng)，即被劃分的對(duì)象；⑵子項(xiàng)，即劃分后所得的類概念；⑶根據(jù)，即劃分的標(biāo)準(zhǔn)。

二、遵循分類的標(biāo)準(zhǔn)和原則

分類的關(guān)鍵在于正確地選擇分類標(biāo)準(zhǔn)。一個(gè)科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)，必須能夠?qū)⑿枰诸惖臄?shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行不重復(fù)、無(wú)遺漏的劃分。

1.不重復(fù)。對(duì)母項(xiàng)進(jìn)行分類后得到的所有子項(xiàng)必須互相排斥，各個(gè)子項(xiàng)概念的外延之間是不相容的關(guān)系。從集合的角度看，被分成的任何兩類之間不相交，即無(wú)共同元素。不重復(fù)，即要求分類應(yīng)是純粹的。

2.無(wú)遺漏。經(jīng)分類所得的各子項(xiàng)之和必須與被分類的母項(xiàng)正好相等。從集合的角度看，分類后所得各概念（子項(xiàng)）的并集應(yīng)等于被分概念（母項(xiàng)）外延的全集。否則會(huì)出現(xiàn)過(guò)寬或過(guò)窄的邏輯錯(cuò)誤。無(wú)遺漏，即要求分類應(yīng)是完備的，從量的方面要求一個(gè)不能少。

3.同一標(biāo)準(zhǔn)。在一次分類中只能根據(jù)同一標(biāo)準(zhǔn)，否則就會(huì)出現(xiàn)劃分的結(jié)果重復(fù)或過(guò)寬的邏輯錯(cuò)誤，使劃分后的結(jié)果混淆不清。需要說(shuō)明的是，“對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類”，所指的是進(jìn)行了不止一次分類。當(dāng)有些數(shù)學(xué)對(duì)象比較復(fù)雜，僅僅進(jìn)行一次分類，不足以將問(wèn)題討論清楚時(shí)，需要進(jìn)一步對(duì)其中一類或幾類繼續(xù)分類，即進(jìn)行多級(jí)分類。在多級(jí)分類中，常常采用“二分法”，也就是按某一性質(zhì)的有無(wú)進(jìn)行分類。

4.按層次逐步劃分。分類應(yīng)取被分類概念最鄰近的概念按步驟進(jìn)行，不能越級(jí)，應(yīng)按層次逐步進(jìn)行。

三、分類思想在教材中的應(yīng)用

分類思想在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中應(yīng)用廣泛。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到分類問(wèn)題，如數(shù)的分類、形的分類等；在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中，常常需要通過(guò)分類討論解決問(wèn)題，分類的過(guò)程就是對(duì)事物共性的抽象過(guò)程。教學(xué)活動(dòng)中，要密切聯(lián)系上述教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生逐步體會(huì)為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，在分類的過(guò)程中如何認(rèn)識(shí)對(duì)象的性質(zhì)，如何區(qū)別不同對(duì)象的不同性質(zhì)。通過(guò)多次反復(fù)的思考和長(zhǎng)期的積累，使學(xué)生逐步感悟分類是一種重要的思想。學(xué)會(huì)分類，可以有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。具體教學(xué)建議如下：

1.分類討論明確概念。如：教學(xué)“認(rèn)識(shí)平行”時(shí)，可以先根據(jù)具體場(chǎng)景中一些物體的構(gòu)造，抽象出平面上不重合的兩條直線的兩種位置關(guān)系。再引導(dǎo)學(xué)生從兩條直線是否相交這一角度進(jìn)行分類，認(rèn)識(shí)同一平面內(nèi)兩條直線的兩種位置關(guān)系：相交或不相交。在此基礎(chǔ)上，描述兩條直線互相平行的概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)同一平面內(nèi)不相交的兩條直線互相平行。再如：教學(xué)“認(rèn)識(shí)方程”時(shí)，可以先結(jié)合具體情境，逐步抽象出一些等式和不等式，含未知數(shù)的等式和不含未知數(shù)的等式，再引導(dǎo)學(xué)生從是否是等式，是否含有未知數(shù)兩個(gè)維度進(jìn)行兩次分類，由此揭示方程的共同屬性：既要含有未知數(shù)，又要是等式，并描述方程的概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到含有未知數(shù)的等式是方程。得出概念后，可以讓學(xué)生通過(guò)討論“等式和方程的關(guān)系”，體會(huì)到方程也是等式，進(jìn)一步明晰方程的概念。

2.分類討論探索規(guī)律。如：教學(xué)“找規(guī)律”中的“試一試”時(shí)，可將“試一試”適當(dāng)改變，問(wèn)題如下：任意拿幾根小棒和幾個(gè)圓片，在桌上擺成一排，使小棒和圓片一一間隔排列。數(shù)數(shù)小棒的根數(shù)和圓片的個(gè)數(shù)，看看有什么關(guān)系。學(xué)生活動(dòng)結(jié)束后，教師可展示三種情況的多個(gè)例子：第一種是兩端都是小棒的情況，第二種是兩端都是圓片的情況，第三種是一端是小棒，另一端是圓片的情況。接著引導(dǎo)學(xué)生從兩端物體是否相同這個(gè)角度，對(duì)上述例子進(jìn)行分類，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩種物體一一間隔排列成一行，當(dāng)兩端物體相同時(shí)，位于兩端的這種物體的個(gè)數(shù)比另一種物體多1；當(dāng)兩端物體不同時(shí)，這兩種物體的個(gè)數(shù)相同。再應(yīng)用一一對(duì)應(yīng)的思想解釋所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。課末，可以繼續(xù)進(jìn)行擺小棒和圓片的活動(dòng)：任意拿幾根小棒和幾個(gè)圓片，在桌上擺成一圈，使小棒和圓片一一間隔排列。數(shù)數(shù)小棒的根數(shù)和圓片的個(gè)數(shù)，再次發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩種物體一一間隔排列成一圈，這兩種物體的個(gè)數(shù)相同。再將其展開，與兩種物體一一間隔排列成一排，兩端物體不同的情況進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)相同。最后，將所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律分類整理成下圖：

3.分類討論解決問(wèn)題。如：教學(xué)用“一一列舉”的策略解決雜志訂閱方法的問(wèn)題時(shí)，先要適當(dāng)幫助學(xué)生弄清題意，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類思考，將訂閱情況分成三類：只訂閱1本，訂閱2本，訂閱3本，最后按照分類情況一一列舉，其中訂閱2本的具體方法可以讓學(xué)生一一列舉并寫下來(lái)，也可以讓學(xué)生用符號(hào)或畫圖來(lái)表達(dá)自己的思考過(guò)程。通過(guò)這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，體會(huì)分類列舉的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生真正做到不重復(fù)、不遺漏。再如：教學(xué)用“假設(shè)和調(diào)整”的策略解決租船問(wèn)題時(shí)，可以分成兩種情況進(jìn)行思考：第一種情況是從特殊情況入手解決問(wèn)題，即假設(shè)所租的船都是大船或小船，第二種情況是從一般情況入手解決問(wèn)題，即假設(shè)所租的船有大船，也有小船。問(wèn)題解決后，先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法：假設(shè)——比較——調(diào)整——檢驗(yàn)，再引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)解決此類問(wèn)題時(shí)，從特殊情況入手比較簡(jiǎn)單。

4.分類形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。在總復(fù)習(xí)階段，通過(guò)分類可以使數(shù)學(xué)知識(shí)條理化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，有助于學(xué)生更好地掌握知識(shí)和形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。如：復(fù)習(xí)“正比例和反比例”時(shí)，可以分類整理成下表，通過(guò)比較，幫助學(xué)生進(jìn)一步明確正比例和反比例的概念。

幫助學(xué)生掌握分類思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)分類活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果。分類思想需要在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中積淀，需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中逐步形成的。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市教育科學(xué)研究院）

【摘 要】分類思想作為基本數(shù)學(xué)思想方法之一，在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的應(yīng)用極其廣泛，教師在理解教材編排特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，在教學(xué)中應(yīng)明晰分類概念，遵循分類標(biāo)準(zhǔn)，在概念形成、規(guī)則理解、問(wèn)題解決和整理與復(fù)習(xí)中，巧妙滲透分類思想，幫助學(xué)生初步形成分類思想。

【關(guān)鍵詞】分類思想 應(yīng)用

如何在小學(xué)數(shù)學(xué)中進(jìn)行分類思想的教學(xué)，幫助學(xué)生積累初步的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？依?jù)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編寫體例，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，談些思考。

一、理解分類的概念及其要素

數(shù)學(xué)中的分類是指按照數(shù)學(xué)對(duì)象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的一種思想方法。分類以比較為基礎(chǔ)，通過(guò)比較識(shí)別出數(shù)學(xué)對(duì)象之間的異同點(diǎn)，然后根據(jù)相同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象歸并為較大的類，根據(jù)差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為較小的類，從而將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為具有一定從屬關(guān)系的等級(jí)關(guān)系。分類要具有三個(gè)要素：⑴母項(xiàng)，即被劃分的對(duì)象；⑵子項(xiàng)，即劃分后所得的類概念；⑶根據(jù)，即劃分的標(biāo)準(zhǔn)。

二、遵循分類的標(biāo)準(zhǔn)和原則

分類的關(guān)鍵在于正確地選擇分類標(biāo)準(zhǔn)。一個(gè)科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)，必須能夠?qū)⑿枰诸惖臄?shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行不重復(fù)、無(wú)遺漏的劃分。

1.不重復(fù)。對(duì)母項(xiàng)進(jìn)行分類后得到的所有子項(xiàng)必須互相排斥，各個(gè)子項(xiàng)概念的外延之間是不相容的關(guān)系。從集合的角度看，被分成的任何兩類之間不相交，即無(wú)共同元素。不重復(fù)，即要求分類應(yīng)是純粹的。

2.無(wú)遺漏。經(jīng)分類所得的各子項(xiàng)之和必須與被分類的母項(xiàng)正好相等。從集合的角度看，分類后所得各概念（子項(xiàng)）的并集應(yīng)等于被分概念（母項(xiàng)）外延的全集。否則會(huì)出現(xiàn)過(guò)寬或過(guò)窄的邏輯錯(cuò)誤。無(wú)遺漏，即要求分類應(yīng)是完備的，從量的方面要求一個(gè)不能少。

3.同一標(biāo)準(zhǔn)。在一次分類中只能根據(jù)同一標(biāo)準(zhǔn)，否則就會(huì)出現(xiàn)劃分的結(jié)果重復(fù)或過(guò)寬的邏輯錯(cuò)誤，使劃分后的結(jié)果混淆不清。需要說(shuō)明的是，“對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以得到不同的分類”，所指的是進(jìn)行了不止一次分類。當(dāng)有些數(shù)學(xué)對(duì)象比較復(fù)雜，僅僅進(jìn)行一次分類，不足以將問(wèn)題討論清楚時(shí)，需要進(jìn)一步對(duì)其中一類或幾類繼續(xù)分類，即進(jìn)行多級(jí)分類。在多級(jí)分類中，常常采用“二分法”，也就是按某一性質(zhì)的有無(wú)進(jìn)行分類。

4.按層次逐步劃分。分類應(yīng)取被分類概念最鄰近的概念按步驟進(jìn)行，不能越級(jí)，應(yīng)按層次逐步進(jìn)行。

三、分類思想在教材中的應(yīng)用

分類思想在蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中應(yīng)用廣泛。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到分類問(wèn)題，如數(shù)的分類、形的分類等；在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中，常常需要通過(guò)分類討論解決問(wèn)題，分類的過(guò)程就是對(duì)事物共性的抽象過(guò)程。教學(xué)活動(dòng)中，要密切聯(lián)系上述教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生逐步體會(huì)為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，在分類的過(guò)程中如何認(rèn)識(shí)對(duì)象的性質(zhì)，如何區(qū)別不同對(duì)象的不同性質(zhì)。通過(guò)多次反復(fù)的思考和長(zhǎng)期的積累，使學(xué)生逐步感悟分類是一種重要的思想。學(xué)會(huì)分類，可以有助于學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，有助于分析和解決新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。具體教學(xué)建議如下：

1.分類討論明確概念。如：教學(xué)“認(rèn)識(shí)平行”時(shí)，可以先根據(jù)具體場(chǎng)景中一些物體的構(gòu)造，抽象出平面上不重合的兩條直線的兩種位置關(guān)系。再引導(dǎo)學(xué)生從兩條直線是否相交這一角度進(jìn)行分類，認(rèn)識(shí)同一平面內(nèi)兩條直線的兩種位置關(guān)系：相交或不相交。在此基礎(chǔ)上，描述兩條直線互相平行的概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)同一平面內(nèi)不相交的兩條直線互相平行。再如：教學(xué)“認(rèn)識(shí)方程”時(shí)，可以先結(jié)合具體情境，逐步抽象出一些等式和不等式，含未知數(shù)的等式和不含未知數(shù)的等式，再引導(dǎo)學(xué)生從是否是等式，是否含有未知數(shù)兩個(gè)維度進(jìn)行兩次分類，由此揭示方程的共同屬性：既要含有未知數(shù)，又要是等式，并描述方程的概念，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到含有未知數(shù)的等式是方程。得出概念后，可以讓學(xué)生通過(guò)討論“等式和方程的關(guān)系”，體會(huì)到方程也是等式，進(jìn)一步明晰方程的概念。

2.分類討論探索規(guī)律。如：教學(xué)“找規(guī)律”中的“試一試”時(shí)，可將“試一試”適當(dāng)改變，問(wèn)題如下：任意拿幾根小棒和幾個(gè)圓片，在桌上擺成一排，使小棒和圓片一一間隔排列。數(shù)數(shù)小棒的根數(shù)和圓片的個(gè)數(shù)，看看有什么關(guān)系。學(xué)生活動(dòng)結(jié)束后，教師可展示三種情況的多個(gè)例子：第一種是兩端都是小棒的情況，第二種是兩端都是圓片的情況，第三種是一端是小棒，另一端是圓片的情況。接著引導(dǎo)學(xué)生從兩端物體是否相同這個(gè)角度，對(duì)上述例子進(jìn)行分類，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩種物體一一間隔排列成一行，當(dāng)兩端物體相同時(shí)，位于兩端的這種物體的個(gè)數(shù)比另一種物體多1；當(dāng)兩端物體不同時(shí)，這兩種物體的個(gè)數(shù)相同。再應(yīng)用一一對(duì)應(yīng)的思想解釋所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。課末，可以繼續(xù)進(jìn)行擺小棒和圓片的活動(dòng)：任意拿幾根小棒和幾個(gè)圓片，在桌上擺成一圈，使小棒和圓片一一間隔排列。數(shù)數(shù)小棒的根數(shù)和圓片的個(gè)數(shù)，再次發(fā)現(xiàn)規(guī)律：兩種物體一一間隔排列成一圈，這兩種物體的個(gè)數(shù)相同。再將其展開，與兩種物體一一間隔排列成一排，兩端物體不同的情況進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)相同。最后，將所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律分類整理成下圖：

3.分類討論解決問(wèn)題。如：教學(xué)用“一一列舉”的策略解決雜志訂閱方法的問(wèn)題時(shí)，先要適當(dāng)幫助學(xué)生弄清題意，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類思考，將訂閱情況分成三類：只訂閱1本，訂閱2本，訂閱3本，最后按照分類情況一一列舉，其中訂閱2本的具體方法可以讓學(xué)生一一列舉并寫下來(lái)，也可以讓學(xué)生用符號(hào)或畫圖來(lái)表達(dá)自己的思考過(guò)程。通過(guò)這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，體會(huì)分類列舉的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生真正做到不重復(fù)、不遺漏。再如：教學(xué)用“假設(shè)和調(diào)整”的策略解決租船問(wèn)題時(shí)，可以分成兩種情況進(jìn)行思考：第一種情況是從特殊情況入手解決問(wèn)題，即假設(shè)所租的船都是大船或小船，第二種情況是從一般情況入手解決問(wèn)題，即假設(shè)所租的船有大船，也有小船。問(wèn)題解決后，先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法：假設(shè)——比較——調(diào)整——檢驗(yàn)，再引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)解決此類問(wèn)題時(shí)，從特殊情況入手比較簡(jiǎn)單。

4.分類形成知識(shí)結(jié)構(gòu)。在總復(fù)習(xí)階段，通過(guò)分類可以使數(shù)學(xué)知識(shí)條理化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，有助于學(xué)生更好地掌握知識(shí)和形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。如：復(fù)習(xí)“正比例和反比例”時(shí)，可以分類整理成下表，通過(guò)比較，幫助學(xué)生進(jìn)一步明確正比例和反比例的概念。

幫助學(xué)生掌握分類思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一，是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗(yàn)分類活動(dòng)過(guò)程的結(jié)果。分類思想需要在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中積淀，需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中逐步形成的。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市教育科學(xué)研究院）