隱式GPC算法在重介分選過(guò)程控制中的研究

曹珍貫 ，匡亞莉

CAO Zhenguan1，2,KUANG Yali1

1.中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 信電學(xué)院，江蘇 徐州 221116

2.安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001

1.School of Information and Electrical Engineering,China University of Mining and Technology,Xuzhou,Jiangsu 221116,China

2.School of Electrical and Information Engineering,Anhui University of Science and Technology,Huainan,Anhui 232001,China

1 引言

重介分選過(guò)程中，為保證分選產(chǎn)品的質(zhì)量及穩(wěn)定性，對(duì)分選過(guò)程的工藝參數(shù)實(shí)時(shí)檢測(cè)與精確控制是十分必要的。重介分選的工藝參數(shù)有重介質(zhì)懸浮液的密度、合介桶的液位、煤泥含量、入料壓力等，而重介質(zhì)懸浮液的密度是影響重介分選效果的關(guān)鍵參數(shù)，其控制精確穩(wěn)定與否，直接決定重介分選的產(chǎn)品質(zhì)量，因此重介分選的過(guò)程控制主要是對(duì)重介質(zhì)懸浮液的密度控制[1]。近年來(lái)對(duì)重介質(zhì)密度控制的研究很多，既有單變量控制又有多變量控制，即控制重介質(zhì)懸浮液的密度或?qū)⒚芏扰c液位聯(lián)合控制，現(xiàn)有的控制方法有PID控制和模糊控制[2]。文獻(xiàn)[3]認(rèn)為單純用Fuzzy或PID控制效果都不理想，因而研究了Fuzzy-PID控制器，通過(guò)實(shí)際密度控制的數(shù)據(jù)對(duì)比，F(xiàn)uzzy-PID控制的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間都比普通PID控制明顯降低，動(dòng)態(tài)特性改善，抗干擾能力強(qiáng)[3]。文獻(xiàn)[4]中研究了重介選煤工藝介質(zhì)密度和液位系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，采用2個(gè)獨(dú)立的模糊控制器，分別控制液位和密度，同時(shí)調(diào)節(jié)分流器和清水閥門，實(shí)現(xiàn)液位和密度控制，除此之外還有較多對(duì)重介分選過(guò)程控制的研究[4]。由于重介分選過(guò)程的工藝復(fù)雜性，密度與液位聯(lián)調(diào)更能使密度輸出穩(wěn)定，但其控制對(duì)象的模型很難建立，且模型參數(shù)可能會(huì)隨著生產(chǎn)過(guò)程發(fā)生變化，而上述控制方法未研究重介質(zhì)過(guò)程模型失配情況下的控制效果。為解決控制過(guò)程中的模型失配問(wèn)題，本文提出了利用隱式GPC算法，通過(guò)對(duì)重介分選系統(tǒng)的輸入輸出歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘辨識(shí)，實(shí)現(xiàn)求解系統(tǒng)模型參數(shù)，完成對(duì)重介質(zhì)懸浮液的密度與液位多變量自校正解耦控制。

圖1 介質(zhì)控制示意圖

2 選煤控制過(guò)程分析

選煤廠利用重介旋流器進(jìn)行原煤分選，其介質(zhì)流程示意圖如圖1所示，圖中煤泥混合桶是將原煤與合格介質(zhì)混合，通過(guò)入料泵把混料從煤泥混合桶打到重介質(zhì)旋流器中進(jìn)行分選，重介質(zhì)旋流器的溢流進(jìn)入脫介篩進(jìn)行脫介，其介質(zhì)通過(guò)分流箱一部分進(jìn)入混料桶，一部分進(jìn)入稀介質(zhì)桶，稀介質(zhì)桶的介質(zhì)再經(jīng)磁選機(jī)磁選后，送入合格介質(zhì)桶，進(jìn)行介質(zhì)循環(huán)。在重介洗選過(guò)程中，控制參數(shù)主要有入料壓力，重介質(zhì)懸浮液的密度，煤泥含量等，其中合介桶中懸浮液的密度是控制分選產(chǎn)品質(zhì)量的關(guān)鍵參數(shù)，因此必須保證合介桶中重介質(zhì)懸浮液的密度穩(wěn)定、控制準(zhǔn)確[5]。重介質(zhì)懸浮液的密度控制方法根據(jù)工藝不同而不同，本文利用加水及加介閥門來(lái)控制重介質(zhì)懸浮液的密度與液位，分流箱用于控制合介桶中的煤泥含量。如圖所示，合介桶中的輸入量有：加水量、加介量、分流介質(zhì)量及磁選機(jī)回流量，輸出量為合介泵流量，其中分流介質(zhì)量、磁選機(jī)回流量及介質(zhì)泵流量在本系統(tǒng)中由于變化幅度較小，作為干擾量處理，因此加水閥門開(kāi)度和加介閥門開(kāi)度作為系統(tǒng)的控制量，合介桶中懸浮液的密度與液位作為被控量，假設(shè)加水閥門開(kāi)度為U1，加介閥門開(kāi)度為U2，合介桶液位為H，密度為ρ，則密度與液位控制系統(tǒng)的傳遞矩陣可表示為：

通過(guò)上式可見(jiàn)，合介桶中重介質(zhì)懸浮液的密度與液位是一個(gè)兩輸入兩輸出耦合系統(tǒng)，必須實(shí)現(xiàn)解耦控制，本文利用多變量隱式GPC算法，實(shí)現(xiàn)重介質(zhì)懸浮液的密度與液位的解耦控制。

3 隱式GPC控制算法

3.1 GPC算法原理

重介質(zhì)密度控制系統(tǒng)的過(guò)程模型如式（1）所示，將該系統(tǒng)離散化，用CARIMA模型表示為兩個(gè)獨(dú)立的子系統(tǒng)[6]：

子系統(tǒng)1：

為求解最優(yōu)控制增量序列，使系統(tǒng)的輸出值能更逼近模型預(yù)測(cè)值，同時(shí)使系統(tǒng)輸出緊密跟蹤系統(tǒng)的設(shè)定值，其最優(yōu)控制目標(biāo)函數(shù)采用式（4）。

其中

式中Δu為控制增量，W 為參考軌跡，Y為系統(tǒng)的實(shí)際輸出，n、m分別為預(yù)測(cè)長(zhǎng)度和控制長(zhǎng)度，λ為控制加權(quán)系數(shù)，其中，w1、w2表達(dá)式為：

a表示柔化系數(shù)，yr表示系統(tǒng)的給定值。通過(guò)引入丟番方程圖，可以求得兩個(gè)子系統(tǒng)的最優(yōu)控制律為[7-8]：

子系統(tǒng)1：

子系統(tǒng)2：

其中

從最優(yōu)控制律的兩個(gè)關(guān)系式來(lái)看，不難發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)雖然分解成兩個(gè)子系統(tǒng)，但子系統(tǒng)1的控制增量和子系統(tǒng)2的控制增量分別對(duì)兩個(gè)子系統(tǒng)的輸出及目標(biāo)函數(shù)是相互影響的，要使兩個(gè)子系統(tǒng)成為真正的獨(dú)立子系統(tǒng)，拋除子系統(tǒng)增量的耦合影響，必須對(duì)目標(biāo)函數(shù)中的控制增量進(jìn)行相應(yīng)的處理。為了排除控制增量對(duì)輸出預(yù)測(cè)的影響，本文用上一時(shí)刻的ΔU1值代替k時(shí)刻的ΔU1值，用上一時(shí)刻的ΔU2值代替k時(shí)刻的ΔU2值，使最優(yōu)控制率中的 G12ΔU2、G21ΔU1變成已知量[9]。令=G12ΔU2+f1，=G21ΔU1+f2，則兩個(gè)子系統(tǒng)的最優(yōu)控制律可以表示為：

根據(jù)式（9）、式（10），只要計(jì)算出 G11、G12、G21、G22、f1、f2控制參數(shù)的值，則可以得到控制量U1和U2，在顯式GPC算法中，上述參數(shù)是通過(guò)已知的系統(tǒng)模型參數(shù)進(jìn)行計(jì)算的，當(dāng)模型失配時(shí)，必須及時(shí)調(diào)整控制參數(shù)，使控制效果最佳，因此本文通過(guò)最小二乘法實(shí)現(xiàn)控制參數(shù)的在線辨識(shí)。

3.2 控制參數(shù)的自校正辨識(shí)

根據(jù)最優(yōu)控制律的目標(biāo)函數(shù)，求解出最優(yōu)控制增量解，對(duì)于子系統(tǒng)1而言，其控制增量方程為式（9）：從上式可知，要求ΔU1必須知道矩陣G11、G12和開(kāi)環(huán)向量 f1的值，其中控制增量的加權(quán)因子λ和經(jīng)柔化器處理后的設(shè)定值向量w1是已知量，控制參數(shù)自校正方法就是利用系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，根據(jù)預(yù)測(cè)方程直接辨識(shí)求解G11、G12和開(kāi)環(huán)向量 f1。

以子系統(tǒng)1為例，根據(jù)子系統(tǒng)1的預(yù)測(cè)輸出方程式可得到n個(gè)并列預(yù)測(cè)器為[10]：

分析上式可知，矩陣G11、G12中所有元素都在最后一個(gè)方程式中出現(xiàn)，因此，只需對(duì)最后一個(gè)方程進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，便可求解矩陣G11、G12。

由式（11）最后一個(gè)方程用向量形式表示：

其中

因此輸出預(yù)測(cè)值可表示為：

在k時(shí)刻，若 X1(k-n)的元素值已知，Enξ1(k+n)為白噪聲，參數(shù)向量θ1(k)則能用最小二乘法進(jìn)行估算，然而通常Enξ1(k+n)不是白噪聲，因此本文將采用控制策略與參數(shù)估算相結(jié)合的方法，即用忽略噪聲的輸出預(yù)測(cè)值 y^1(k|k-n)來(lái)代替輸出預(yù)測(cè)值 y1(k|k-n)，并認(rèn)為y^1(k|k-n)和實(shí)際的輸出值 y1(k)的差值為白噪聲ε1(k)[11]。由此得出：

θ1(k)通過(guò)最小二乘遞推法進(jìn)行求解：

上式中，λ1為遺忘因子，0＜λ1＜1。通過(guò)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)利用上述遞推公式進(jìn)行求解，可得到θ1(k)的估計(jì)值，即可得到矩陣G11、G12的參數(shù)，同理可得到G21、G22的參數(shù)。

在得到矩陣G的參數(shù)后，還需要求解預(yù)測(cè)向量 f的值，通過(guò)參考文獻(xiàn)[3]中關(guān)于GPC與DMC控制規(guī)律的等價(jià)性，可知GPC中的 f1向量與DMC中的Y10向量等價(jià)，因此可得到下一時(shí)刻的Y10向量為：

式中 p 為模型時(shí)域長(zhǎng)度(p≥n)，h12，h13，…，h1p為誤差校正系數(shù)。e1(k+1)=y1(k+1)-y1(k+1/k)為預(yù)測(cè)誤差，在這里取h12=h13=…=h1p=1。由于 f1與Y10的等價(jià)性，可得到下一時(shí)刻的預(yù)測(cè)向量 f1為：

通過(guò)上述求解，便可計(jì)算G11、G12和 f1的值，再利用式（9）則能計(jì)算子系統(tǒng)1的控制增量；同理，利用同樣的方法，可計(jì)算 G21、G22和 f2的值，再利用式（10）則能計(jì)算子系統(tǒng)2的控制增量，因此通過(guò)上述方法能夠?qū)崿F(xiàn)GPC控制參數(shù)的在線校正。

4 仿真測(cè)試

根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)，重介質(zhì)懸浮液密度與液位過(guò)程數(shù)學(xué)模型如式（18）所示。

計(jì)算該過(guò)程模型的相對(duì)增益為：

根據(jù)式（18）、式（19）可以看出，重介質(zhì)懸浮液密度與液位是一個(gè)大滯后的強(qiáng)耦合控制系統(tǒng)[12-13]，取采樣周期T為5 s，采用雙線性變換法將式（18）離散化，得到離散化后的表達(dá)式為：

假設(shè)合介桶中重介質(zhì)懸浮液的液位初值為2 m，密度初始值為1 kg/L，要求將液位控制在3.5 m，密度控制在1.45 kg/L，利用隱式GPC算法進(jìn)行仿真。在仿真過(guò)程中設(shè)時(shí)域長(zhǎng)度為9，預(yù)測(cè)長(zhǎng)度為9，控制長(zhǎng)度為3，加權(quán)控制系統(tǒng)為0.8，柔化系統(tǒng)數(shù)為0.1。為檢驗(yàn)隱式GPC算法控制效果，整個(gè)仿真過(guò)程將與模糊PID算法控制結(jié)果進(jìn)行比較，以下仿真效果圖中綠色點(diǎn)線表示模糊PID控制曲線，紅色實(shí)線表示隱式GPC控制曲線。在不增加干擾、模型參數(shù)不變的情況下，其仿真運(yùn)行如圖2所示。

圖2 重介質(zhì)懸浮液隱式GPC控制效果圖

圖2中所示兩種算法均能使液位和密度在經(jīng)歷振蕩與超調(diào)后趨于系統(tǒng)的給定值并保持穩(wěn)定，其中模糊PID對(duì)液位的控制效果較好，超調(diào)小，響應(yīng)快，而隱式GPC對(duì)密度控制效果較好。為檢驗(yàn)兩種算法的抗干擾能力，在系統(tǒng)運(yùn)行中，對(duì)液位輸出加入0.1的隨機(jī)干擾，對(duì)密度輸出加入0.01的隨機(jī)干擾，其仿真運(yùn)行效果分別如圖3、圖4所示。

圖3 液位輸出干擾下系統(tǒng)控制仿真效果圖

對(duì)比上述控制效果圖可以看出，液位干擾影響大于密度干擾，加入干擾后，延遲了系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間，同時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)也增大，但最終液位與密度都很快趨于穩(wěn)定。相比隱式GPC算法而言，無(wú)論液位干擾，還是密度干擾，模糊PID的輸出振幅要大于隱式GPC算法，后者的輸出曲線較為光滑，因此隱式GPC控制算法對(duì)系統(tǒng)的抗干擾能力強(qiáng)，控制效果較好。為檢驗(yàn)兩種算法對(duì)模型的精確度要求，在系統(tǒng)運(yùn)行中，對(duì)系統(tǒng)的模型參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，分別修改重介質(zhì)懸浮液控制過(guò)程模型中G11、G21的增益系數(shù)，其運(yùn)行仿真分別如圖5、圖6所示。

圖4 密度輸出干擾下系統(tǒng)控制仿真效果圖

圖5 調(diào)整G11增益系統(tǒng)控制效果仿真圖

圖6 調(diào)整G21增益系統(tǒng)控制效果仿真圖

通過(guò)上述兩圖可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論對(duì)G11還是G21的增益參數(shù)調(diào)整，重介質(zhì)懸浮液的液位與密度都能在振蕩后趨于穩(wěn)定，并緊跟參考值。但模糊PID算法在模型失配的情況下，系統(tǒng)的振蕩加強(qiáng)，使輸出穩(wěn)定時(shí)間延長(zhǎng)，而隱式GPC算法的輸出相對(duì)平滑、超調(diào)小，且響應(yīng)速度較快，不存在系統(tǒng)不能穩(wěn)定或振蕩輸出的情況，這是得益于被控對(duì)象的模型參數(shù)是通過(guò)系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)利用最小二乘法進(jìn)行計(jì)算的，其模型是根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算產(chǎn)生，并實(shí)時(shí)更新的，另外控制量的輸出經(jīng)過(guò)加權(quán)約束處理，因此基于隱式GPC算法對(duì)重介質(zhì)懸浮液液位與密度解耦系統(tǒng)的控制效果較好。

5 結(jié)論

綜上所述，可以發(fā)現(xiàn)隱式GPC重介質(zhì)密度解耦控制算法，在密度與液位的響應(yīng)存在大滯后、強(qiáng)耦合的情況下，抗干擾能力強(qiáng)，能根據(jù)輸入輸出進(jìn)行控制參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整，保證重介質(zhì)懸浮液的密度與液位輸出能夠?qū)崟r(shí)追蹤系統(tǒng)給定值；特別在模型失配的情況下，響應(yīng)速度快，超調(diào)小，輸出平滑，控制性能好于模糊PID算法，因此隱式GPC算法對(duì)重介質(zhì)懸浮液的密度與液位有著良好的解耦控制效果。

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