阻力對(duì)慣性秤擺動(dòng)幅度和周期的影響

鄭雪梅，黃　瑛，彭　莉，楊建榮

(1.上饒師范學(xué)院，江西 上饒 334001；2.上饒縣第二中學(xué)，江西 上饒 334001)

引言

慣性秤實(shí)驗(yàn)對(duì)于提高大學(xué)生認(rèn)識(shí)慣性質(zhì)量，學(xué)會(huì)秤衡質(zhì)量的一種新方法，具有一定的意義。在現(xiàn)有的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教材中，是直接給出慣性秤擺動(dòng)周期與振動(dòng)體空載時(shí)的等效質(zhì)量、附加質(zhì)量塊的質(zhì)量、懸臂振動(dòng)體的勁度系數(shù)三者的關(guān)系。要求完成的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容有慣性秤的定標(biāo)、秤衡物體質(zhì)量和研究重力對(duì)周期的影響[1]。其中重力和懸線對(duì)擺動(dòng)周期的影響[2-6]、慣性秤的彈性鋼片的等效長(zhǎng)度[7]等問(wèn)題，已有老師進(jìn)行了分析討論。而目前使用的慣性秤實(shí)驗(yàn)裝置，都會(huì)出現(xiàn)擺動(dòng)幅度隨時(shí)間的增大而明顯減小的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，由這一實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象可知，秤臂和秤臺(tái)所具有的寬度，在擺動(dòng)過(guò)程中，受到了不可忽略的空氣阻力。本文將考慮阻力作用，研究慣性秤擺動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，以及阻力對(duì)周期和振幅的影響。

1　阻力作用下慣性秤擺動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程和解

圖1　慣性秤實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

(1)

考慮到s=Lθ，當(dāng)擺角θ<5°時(shí)，可取sinθ≈θ，代入(1)式，得

(2)

由此可解得

(3)

(4)

由(3)式知園頻率為

(5)

擺動(dòng)周期為

(6)

(4)和(6)式分別反映了慣性秤秤臺(tái)擺動(dòng)幅度和周期與空氣阻力、重力、秤臂等效擺長(zhǎng)和質(zhì)量所存在的關(guān)系，下面主要分析討論其中空氣阻力對(duì)擺動(dòng)幅度和周期的影響。

2　空氣阻力對(duì)擺動(dòng)幅度和周期的影響

根據(jù)(3)式的擺角與空氣阻力系數(shù)λ、擺體質(zhì)量(m0+mi)、秤臂的等效擺長(zhǎng)L、彈性系數(shù)K、夾角φ和擺動(dòng)時(shí)間t等物理量之間的關(guān)系，可知，由于空氣阻力的存在λ≠0，擺角隨時(shí)間的增長(zhǎng)，擺幅減少，如圖2所示。

圖2　由(3)式?jīng)Q定的擺角與時(shí)間的關(guān)系，圖3　由(4)式?jīng)Q定的擺角θmax與空氣空氣阻力系數(shù)λ=0.5阻力系數(shù)和時(shí)間的關(guān)系

作圖時(shí)考慮了慣性秤的實(shí)際裝置，取m0=0.4kg,mi=0.1kg,L=0.4m,K=120N/m,φ=6rad,g=9.8m/s2。由(4)式可進(jìn)一步知擺角的最大值θmax隨時(shí)間的增長(zhǎng)而呈指數(shù)衰減，如圖3所示。當(dāng)空氣阻力系數(shù)λ=0時(shí)，θmax不隨時(shí)間衰減，是一直線，如圖3中的(a)直線；λ≠0，θmax隨時(shí)間衰減，λ越大，θmax衰減越快，如圖3中的(b)、(c)和(d)曲線。另外，由(4)式可知質(zhì)量(m0+mi)越大，θmax衰減越慢。

圖4　由(6)式?jīng)Q定的空氣阻力系數(shù)與擺動(dòng)周期的關(guān)系

3　結(jié)論

根據(jù)慣性秤實(shí)驗(yàn)中所出現(xiàn)的擺角隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，推導(dǎo)了具有阻力作用的慣性秤動(dòng)力學(xué)方程，如(1)式。由此而解得擺動(dòng)幅度隨時(shí)間增長(zhǎng)而逐漸衰減的周期波解，如(3)式。(4)式表明空氣阻力系數(shù)λ越大，擺動(dòng)幅度衰減越快，而(6)式表明空氣阻力系數(shù)λ越大阻擺動(dòng)周期增大，說(shuō)明阻力的存在使慣性秤周期增大，忽略阻力的影響，使測(cè)量結(jié)果比實(shí)際待測(cè)物的慣性質(zhì)量要大。另外，文獻(xiàn)[1-6]的結(jié)果，是本文的一個(gè)特例。研究結(jié)果對(duì)引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，養(yǎng)成分析問(wèn)題的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)和提高應(yīng)用理論解決實(shí)際問(wèn)題的能力，具有一定的意義。如何根據(jù)(6)式測(cè)量慣性質(zhì)量和阻力系數(shù)，我們將另文討論。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊述武. 普通物理實(shí)驗(yàn): 力學(xué)及熱學(xué)部分[M] . 北京: 高等教育出版社, 2000.

[2] 張秀蓮,朱安麗,林長(zhǎng). 慣性秤特性的實(shí)驗(yàn)探討[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1996,32(2):104-106.

[3] 劉竹琴,劉艷峰,王玉清. 慣性秤振動(dòng)周期的討論[J].物理實(shí)驗(yàn),2003,23(7):42-43.

[4] 張淑萍. 重力對(duì)慣性秤振動(dòng)周期影響的分析與實(shí)驗(yàn)演示[J].大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2010,23(6):53-55.

[5] 曾騰,林紅. 慣性秤振動(dòng)周期的研究[J].海南師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006,19(2):136-139.

[6] 湯云興,王云霞. 重力對(duì)慣性秤影響的實(shí)驗(yàn)研究[J].物理實(shí)驗(yàn)，2004, 24 (9): 43-46.

[7] 湯云興. 慣性秤秤臺(tái)彈性鋼片在振動(dòng)中的作用[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2005,4(2): 120-123.