住房養(yǎng)老反向抵押貸款的美式期權(quán)特征與蒙特卡羅模擬定價(jià)

馬俊海

浙江大學(xué) 城市學(xué)院，浙江 杭州 310015

一、引 言

隨著老齡化現(xiàn)象日趨嚴(yán)重，住房抵押貸款作為“以房養(yǎng)老”的創(chuàng)新型金融產(chǎn)品逐漸得到更多關(guān)注;近些年來(lái)，有贖回權(quán)反向抵押貸款由于其可提前贖回特點(diǎn)，開始得以迅速發(fā)展與廣泛應(yīng)用。因此，對(duì)其進(jìn)行科學(xué)合理定價(jià)具有重要現(xiàn)實(shí)意義。目前，反向抵押貸款的定價(jià)方法主要有絕對(duì)定價(jià)法和相對(duì)定價(jià)法兩種類型;絕對(duì)定價(jià)法是指根據(jù)反向抵押貸款現(xiàn)金流的特征，運(yùn)用現(xiàn)金流凈現(xiàn)值法則加以分析，主要適合于無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款定價(jià)。而相對(duì)定價(jià)方法主要利用標(biāo)的價(jià)格與衍生產(chǎn)品價(jià)格之間的關(guān)系，運(yùn)用期權(quán)定價(jià)理論加以分析;由于有贖回權(quán)反向抵押貸款具有很強(qiáng)的期權(quán)特征，因此從隱含期權(quán)角度，基于期權(quán)定價(jià)理論對(duì)其進(jìn)行科學(xué)定價(jià)也具有重要學(xué)術(shù)價(jià)值。國(guó)外關(guān)于反向抵押貸款定價(jià)問題研究開始于20世紀(jì)90年代。Y．K．Tse(1998)［1］以新加坡無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款為研究對(duì)象，分別研究了固定利率以及浮動(dòng)利率下的定價(jià)模型。Caplin，Andrew(2002)［2］解釋了抵押貸款產(chǎn)品定價(jià)決定因素，并給出了無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款定價(jià)的理論模型。Sinai，Todd and Nicholas Souleles(2005)［3］提出了一個(gè)新的反向抵押貸款定價(jià)的公式，指出有贖回權(quán)反向抵押貸款會(huì)更吸引投資者。Brigo，D．a(chǎn)nd Mercurio，F(xiàn)(2006)［4］運(yùn)用LSM方法分別對(duì)單標(biāo)的和雙標(biāo)的美式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)研究，并指出擬蒙特卡羅模擬方法在定價(jià)雙標(biāo)的美式期權(quán)上的不足之處。

國(guó)內(nèi)關(guān)于反向抵押貸款研究集中于反向抵押貸款的保險(xiǎn)精算定價(jià)方法上。石卉和劉曉玲(2008)［5］研究了有贖回權(quán)的住房反向抵押貸款的歐式期權(quán)定價(jià)方法，并進(jìn)行了實(shí)證分析;李瑾卓(2009)［6］對(duì)有贖回權(quán)反向抵押貸款的定價(jià)模型進(jìn)行研究，并將結(jié)果與無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款定價(jià)模型下的結(jié)果進(jìn)行比較。

綜上，近幾年對(duì)有贖回權(quán)反向抵押貸款定價(jià)問題主要基于歐式期權(quán)定價(jià)視角加以分析。本文主要基于美式期權(quán)定價(jià)視角，研究反向抵押貸款的期權(quán)定價(jià)模型，并運(yùn)用蒙特卡羅模擬方法加以數(shù)值模擬計(jì)算。

二、有贖回權(quán)反向貸款期權(quán)定價(jià)的理論分析框架

與無(wú)贖回權(quán)反向貸款相比，有贖回權(quán)反向抵押貸款蘊(yùn)含著很強(qiáng)期權(quán)特征，因此其價(jià)值主要是取決于兩個(gè)關(guān)鍵因素，即:無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款的價(jià)值與隱含期權(quán)價(jià)值，其價(jià)值等于二者之和。關(guān)于無(wú)贖回權(quán)的反向抵押貸款定價(jià)問題，常用模型是由路靜等(2009)［7］分析的保險(xiǎn)精算模型，該模型無(wú)疑是無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款定價(jià)的經(jīng)典模型;但是，由于其假設(shè)限定非常多，使得定價(jià)精度大大減弱。本文將在保險(xiǎn)精算模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，以使其更符合實(shí)際。對(duì)于隱含期權(quán)價(jià)值的研究，目前大多采用歐式期權(quán)的定價(jià)方法;而實(shí)際上，這種理解是不符合實(shí)際的，在反向抵押貸款實(shí)際業(yè)務(wù)中，允許借款人在市場(chǎng)環(huán)境發(fā)生變化時(shí)選擇提前償還貸款并且將住房資產(chǎn)的抵押權(quán)贖回。因此，美式期權(quán)定價(jià)方法更適合用來(lái)解決有贖回權(quán)反向抵押貸款的定價(jià)。為此，本文選用雙標(biāo)的最小二乘蒙特卡羅模擬(LSM)方法加以分析。

(一)無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款的改進(jìn)定價(jià)模型

根據(jù)阮龍江(2012)［8］的研究，無(wú)贖回權(quán)住房反向抵押貸款的價(jià)格主要取決于三個(gè)因素:還款利率、住房?jī)r(jià)值的波動(dòng)以及借款人的壽命。本文主要針對(duì)路靜等(2009)分析的保險(xiǎn)精算模型，選擇前兩個(gè)因素進(jìn)行修正，并將修正后的因素模型應(yīng)用到住房反向抵押貸款定價(jià)模型中，即可得到修正的無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款定價(jià)模型。基于以上分析，本文對(duì)無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款一次性支付方式下的定價(jià)模型進(jìn)行改進(jìn)，并對(duì)模型做如下假設(shè):1)借款人只有一個(gè)，并且用來(lái)申請(qǐng)反向抵押貸款的房屋沒用于其他的抵押貸款;2)借款人的死亡時(shí)間均為每年年初;3)抵押房屋在借款人死亡后立即進(jìn)行處置，二者之間不存在時(shí)間差;4)住房反向抵押貸款所涉及的各種手續(xù)費(fèi)設(shè)定為房?jī)r(jià)的一個(gè)固定比例。

一次性支付方式下修正無(wú)贖回權(quán)的住房反向抵押貸款定價(jià)模型可表示為:

其中相關(guān)變量參數(shù)意義表述如下:

Ht—住房反向抵押貸款合同在第t年時(shí)房屋的價(jià)值;

rt—住房反向抵押貸款第t年包含貸款機(jī)構(gòu)正常利潤(rùn)的年利率;

T—借款人的平均剩余壽命。

終生年金支付方式下修正無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款的定價(jià)模型如下:

從上述修正后定價(jià)模型可以看出，申請(qǐng)人可領(lǐng)取的貸款數(shù)額主要取決于還款利率、住房資產(chǎn)每期的價(jià)值和申請(qǐng)人的死亡率。

(二)有贖回權(quán)反向抵押貸款的隱含期權(quán)價(jià)值特征

反向抵押貸款最主要特征就是隱含期權(quán)特征，即反向抵押貸款可以提前償還。因此，可以看作是一個(gè)具有隱含期權(quán)產(chǎn)品。在有贖回權(quán)住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)中，借款人擁有一種潛在選擇權(quán)，即在住房資產(chǎn)價(jià)值上升時(shí)，按照?qǐng)?zhí)行價(jià)格購(gòu)買住房資產(chǎn)產(chǎn)權(quán)的權(quán)利;這種潛在選擇權(quán)即為隱含看漲期權(quán)。此時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)為住房資產(chǎn)，執(zhí)行價(jià)格為貸款的本息額，執(zhí)行時(shí)點(diǎn)為合同有效期內(nèi)的任意時(shí)點(diǎn)。

1．一次性支付方式下的期權(quán)價(jià)值特征。在一次性支付方式下，借款人可以一次性得到一筆貸款，貸款終值可以看作是看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格;就貸款機(jī)構(gòu)而言，這個(gè)執(zhí)行價(jià)格由借款人抵押的住房資產(chǎn)現(xiàn)值扣除期初各種相關(guān)費(fèi)用得出。因此，在隨后的合同期間內(nèi)，一旦借款人發(fā)現(xiàn)自有住房資產(chǎn)的價(jià)值上升，借款人就會(huì)執(zhí)行該看漲期權(quán)。假設(shè)一次性支付方式下，借款人在貸款期初可以一次性得到一筆貸款數(shù)額為λH0的貸款;如果在t時(shí)刻，房屋價(jià)值上升或者還款利率降低，則貸款人會(huì)選擇提前償還貸款。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)條件有利時(shí)，借款人在t時(shí)刻就會(huì)選擇提前償還已發(fā)生的貸款本息和，即然后，以t時(shí)刻房?jī)r(jià)Ht重新購(gòu)進(jìn)一份住房反向抵押貸款合同，一次性得到的貸款數(shù)額變?yōu)棣薍t。

2．終生年金支付方式下的期權(quán)價(jià)值特征。在年金支付方式下，借款人每年得到固定數(shù)額貸款，固定數(shù)額貸款現(xiàn)值為住房資產(chǎn)的現(xiàn)值減去期初的各種相關(guān)費(fèi)用。對(duì)于借款人來(lái)說(shuō)，實(shí)際上是將自有產(chǎn)權(quán)的住房，在不確定的金融市場(chǎng)中，分期分批出售給貸款機(jī)構(gòu)，而貸款機(jī)構(gòu)則通過分期分批給付貸款的形式，將抵押房產(chǎn)的產(chǎn)權(quán)逐漸收購(gòu)進(jìn)來(lái)。由于金融市場(chǎng)的不確定性，住房資產(chǎn)的價(jià)值會(huì)發(fā)生上下波動(dòng)，當(dāng)某期住房資產(chǎn)的價(jià)值上升并且超過該期給付的貸款數(shù)額時(shí)，借款人就會(huì)執(zhí)行該看漲期權(quán)，用當(dāng)期的貸款數(shù)額贖回當(dāng)期住房資產(chǎn)所占比例的產(chǎn)權(quán)。因此，在這種支付方式下，如果借款人在終止住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)后，又以新的價(jià)格重新購(gòu)進(jìn)一份住房反向抵押貸款合同，那么有贖回權(quán)住房反向抵押貸款合同就可以看作是一系列看漲期權(quán)的組合。

終生年金支付方式下，借款人是否提前償還貸款主要取決于每年支付的年金數(shù)額是否增加。因此，本文對(duì)住房反向抵押貸款提前償付模型作如下假設(shè):1)假設(shè)住房反向抵押貸款合同的期限是T年(T取決于借款人的壽命)，在每一年初支付年金，數(shù)量設(shè)為D;2)假設(shè)反向抵押貸款還款利率為1年期國(guó)債收益率+差額利率;其中，每年差額利率保持不變，設(shè)定為m;進(jìn)一步假設(shè)，第t年即期利率為rt;3)由住房反向抵押貸款的特點(diǎn)可知，當(dāng)借款人決定提前償還時(shí)，必須用其抵押住房進(jìn)行償還。此處，假設(shè)抵押住房在貸款期初的價(jià)值為H0，在貸款期末的價(jià)值為Ht;4)為了簡(jiǎn)化模型，假設(shè)借款人在簽訂貸款合同前已經(jīng)支付了各項(xiàng)費(fèi)用。

根據(jù)以上假設(shè)，判斷借款人在第t年會(huì)不會(huì)提前償還貸款，基本依據(jù)是:首先，計(jì)算出抵押住房期末價(jià)值扣除已經(jīng)獲得貸款本息和以后所剩資金數(shù)量，再根據(jù)第t年即期利率計(jì)算得出未來(lái)可獲得年金數(shù)額;如果該數(shù)額大于當(dāng)前借款人每年可獲得的年金數(shù)額，借款人就會(huì)選擇提前結(jié)束貸款;否則，就會(huì)持有住房抵押貸款合同直至到期。也就是說(shuō)，如果滿足條件，借款人應(yīng)該提前償還貸款。此時(shí)，借款人可在市場(chǎng)上按新的條件購(gòu)進(jìn)一份新的住房反向抵押貸款合同，那么借款人在每一期可獲得的收益(或借款人可節(jié)約的成本)即為:(Ht－Lt)

三、標(biāo)的變量隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型的選擇確定與參數(shù)估計(jì)

由上分析，住房反向抵押貸款定價(jià)過程中關(guān)鍵因素是利率及房?jī)r(jià)波動(dòng);無(wú)論是無(wú)贖回權(quán)還是有贖回權(quán)住房反向抵押貸款，利率與房?jī)r(jià)決定了借款人可以得到的貸款數(shù)額以及借款人是否會(huì)提前償還貸款，并進(jìn)而影響到貸款機(jī)構(gòu)的收益以及開辦住房反向抵押貸款業(yè)務(wù)的積極性，因而有必要對(duì)利率以及住房資產(chǎn)的價(jià)值進(jìn)行預(yù)測(cè)，以對(duì)住房反向抵押貸款正確定價(jià)。

(一)利率動(dòng)態(tài)過程的選擇確定

通過對(duì)住房反向抵押貸款價(jià)值構(gòu)成的分析，首先要對(duì)住房反向抵押貸款的還款利率進(jìn)行模擬。由于本文研究的產(chǎn)品均假設(shè)期權(quán)執(zhí)行發(fā)生在每年年初，因此決定選用一年期國(guó)債利率作為還款利率。關(guān)于利率動(dòng)態(tài)模型確定，常用的是單因子模型，典型單因子模型主要有Merton模型、Vasicek模型以及CIR模型;Chan(1992)提出了更一般的CKLS模型，具體形式為:

其中，通過ρ的改變可以得到以上所涉及的三種模型，當(dāng)然也可以得到很多其他模型。為此，本文擬采用CKLS模型作為利率動(dòng)態(tài)過程的連續(xù)擴(kuò)散部分。進(jìn)一步分析，由于央行貨幣政策突然變化、宏觀經(jīng)濟(jì)波動(dòng)以及其他突發(fā)事件影響，利率市場(chǎng)通常呈現(xiàn)出一種跳躍行為，而上述單因子利率模型并沒有考慮到利率市場(chǎng)上某些時(shí)刻的利率異常變動(dòng)情況;因此，本文擬在上述單因子模型基礎(chǔ)上引入跳躍成分，以便更好模擬利率動(dòng)態(tài)變化。目前，利率模型中的跳躍類型主要有泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布等;泊松分布沒有考慮到跳躍的幅度;均勻分布雖然考慮了利率跳躍幅度，但是假設(shè)利率每次跳躍的幅度都一樣。因此，本文主要選取正態(tài)分布來(lái)描述跳躍幅度變動(dòng)。

基于以上分析，本文將CKLS單因子模型和正態(tài)分布跳躍因子有機(jī)結(jié)合，建立CKLS—JUMP利率動(dòng)態(tài)模型。該模型不僅可以很好地描述利率模型的連續(xù)擴(kuò)散部分，同時(shí)還能體現(xiàn)由于政策因素等造成的市場(chǎng)利率的較大偏離，模型具體形式如下:

其中，α、β和σ均為常數(shù)，Wt表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，N(t)表示強(qiáng)度為λ的泊松過程;Vi表示一系列非負(fù)并且同分布的隨機(jī)變量且Yi=log(Vi)服從正態(tài)分布。

(二)房?jī)r(jià)動(dòng)態(tài)過程的確定

對(duì)房屋未來(lái)價(jià)值評(píng)估的方法主要有兩種:一是建立隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型，這是目前房產(chǎn)價(jià)值研究主要采用的模型;在隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型中，住房?jī)r(jià)值變動(dòng)被視為“幾何布朗運(yùn)動(dòng)”。二是通過分析影響房地產(chǎn)價(jià)格的因素，建立多元統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行回歸預(yù)測(cè);但是，房地產(chǎn)價(jià)格的多元線性回歸模型由于影響因素較多，很難對(duì)這些因素的未來(lái)走勢(shì)做出正確估測(cè)，因此會(huì)大大影響房產(chǎn)價(jià)格預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。本文決定采用隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型作為評(píng)估住房資產(chǎn)價(jià)值的主要模型。進(jìn)一步分析，一般隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型并不能很好地描述房地產(chǎn)價(jià)格的變化，因?yàn)榉康禺a(chǎn)市場(chǎng)有其自身的特點(diǎn)，比如房地產(chǎn)泡沫等，同時(shí)國(guó)家關(guān)于房地產(chǎn)的政策也會(huì)對(duì)房產(chǎn)價(jià)格產(chǎn)生較大影響。政策因素的變動(dòng)并不是經(jīng)常性的，而是偶然性的，突然性的，這樣的變動(dòng)往往引起房產(chǎn)價(jià)值的突然變動(dòng)，可以將這種現(xiàn)象理解為“跳躍”。因此本文決定在隨機(jī)擴(kuò)散模型基礎(chǔ)上加入跳躍因素作為預(yù)測(cè)房產(chǎn)期末價(jià)值模型，具體的房產(chǎn)價(jià)值預(yù)測(cè)模型如下:

(三)標(biāo)的變量隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型的參數(shù)估計(jì)

常見的利率期限結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)方法大致有五類:廣義矩估計(jì)(GMM)方法、極大似然估計(jì)(MLE)方法、卡爾曼濾波(Kalman Filter)、馬爾科夫鏈蒙特卡羅估計(jì)(MCMC)方法以及非參數(shù)估計(jì)方法。由于資產(chǎn)動(dòng)態(tài)模型所涉及的參數(shù)數(shù)量比較多，前面幾類方法都不能得到有效運(yùn)用，因此本文采用目前比較成熟的參數(shù)估計(jì)方法—MCMC方法。MCMC方法的主要優(yōu)點(diǎn)是不需要添加平穩(wěn)性假設(shè)，同時(shí)有限樣本推斷成為可能，通過潛在變量的蒙特卡羅積分得到參數(shù)的聯(lián)合后驗(yàn)分布。近年來(lái)，MCMC方法逐漸應(yīng)用到金融資產(chǎn)定價(jià)模型的參數(shù)估計(jì)上來(lái)，由于該方法將馬爾科夫過程引入到蒙特卡羅模擬中，使得得出的后驗(yàn)分布更加穩(wěn)定，因此保證了模型的穩(wěn)定性，最終得出的模型參數(shù)也更精確。

1．利率動(dòng)態(tài)過程的MCMC參數(shù)估計(jì)。對(duì)本文選擇的CKLS利率模型進(jìn)行歐拉離散化，得到:

當(dāng)Δt=1時(shí)，離散式變?yōu)?

其中，εt和Pt分別代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量和伯努利分布變量。由平穩(wěn)性定義可知:

由于跳躍幅度Yt服從正態(tài)分布，利率變化就可以用正態(tài)密度近似。由式(5)可得:

參數(shù) θ=(α，β，λ，ρ，σ，μn，σn)基于數(shù)據(jù)觀測(cè)值集合的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:

根據(jù)貝葉斯原理，參數(shù)向量θ基于數(shù)據(jù)r集合的條件分布可以通過后驗(yàn)密度p(θ│r)得到，即:

其中，p(θ│r)是似然函數(shù)，π(θ)是參數(shù)θ的先驗(yàn)分布。得到先驗(yàn)分布后，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，就可以估計(jì)出參數(shù)變量的后驗(yàn)分布。針對(duì)前述CKLS－JUMP模型，具體的吉布斯抽樣步驟如下所示:

(1)對(duì)l和θ進(jìn)行初始化;

(2)隨機(jī)抽樣:

從 lt│l/t，r，θt=1，2，3，．．．，n中抽取lt，從α│r，l，β，ρ，μ ，σ ，σn，λ中抽取α;

從β│r，l，α，ρ，μ，σ，σn，λ中抽取β，從ρ│r，l，α，β，μ，σ，σn，λ中抽取ρ;

從μ│r，l，α，β，ρ，σ，σn，λ中抽取μ，從σ│r，l，α，β，ρ，μ，σn，λ中抽取σ;

從σn│r，l，α，β，ρ，μ，σ ，λ中抽取σn，從λ│r，l，α，β，ρ，μ，σ ，σn，中抽取λ;

(3)重復(fù)以上步驟。

將步驟2)產(chǎn)生的抽樣結(jié)果作為下一輪抽樣初始值，重復(fù)步驟2);再將新一輪抽樣結(jié)果作為下一次抽樣的初始值。不斷進(jìn)行上述步驟，當(dāng)經(jīng)過足夠的燃燒期后，吉布斯序列就能收斂到一個(gè)與初始值無(wú)關(guān)的平穩(wěn)分布，即后驗(yàn)分布。同時(shí)由于燃燒期內(nèi)產(chǎn)生的參數(shù)值是不平穩(wěn)的，舍棄燃燒期內(nèi)的樣本后即可得到平穩(wěn)的分布，進(jìn)而完成參數(shù)估計(jì)過程。

2．房?jī)r(jià)動(dòng)態(tài)過程的參數(shù)估計(jì)。對(duì)前面建立的利率模型進(jìn)行歐拉離散，當(dāng)Δt=1時(shí)，離散式變?yōu)?

其中，εt和Pt分別代表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量和伯努利分布變量，由平穩(wěn)點(diǎn)定義有:

由于跳躍幅度Yt服從正態(tài)分布，利率變化就可以用正態(tài)密度近似。由式6)可得:

參數(shù)θ=(β，λ，σ，μn，σn)基于數(shù)據(jù)觀測(cè)值集合的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:

根據(jù)貝葉斯原理，參數(shù)向量θ基于數(shù)據(jù)r集合的條件分布可以通過后驗(yàn)密度p(θ│r)得到，即:

其中p(r│θ)是似然函數(shù)，π(θ)是參數(shù)θ的先驗(yàn)分布。得到先驗(yàn)分布后，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，就可以估計(jì)出參數(shù)變量的后驗(yàn)分布。針對(duì)前述CKLS－JUMP模型，具體的吉布斯抽樣步驟如下所示:

(1)對(duì)參數(shù)l和θ進(jìn)行初始化;

(2)隨機(jī)抽樣。

從 lt|lλ，H ，θt=1，2，3，…，n中抽取 lt，從 β|H ，l，μ ，σ ，σnλ 中抽取 β;從μ |H，l，β，σ，σn，λ 中抽取 μ ，從 σ |H，l，β，μ，σn，λ 中抽取 σ ;

從 σn|H，l，β，μ，σ，λ 中抽取 σn，從 λ |H，l，β，σ，σn，μ 中抽取 λ ;

(3)循環(huán)重復(fù)與利率動(dòng)態(tài)步驟3類同。

四、反向貸款隱含期權(quán)定價(jià)的雙標(biāo)的LMS方法

(一)雙標(biāo)的LSM方法的基本原理

由于贖回權(quán)反向抵押貸款具有多標(biāo)的美式期權(quán)特征，因此蒙特卡羅模擬將成為解決其定價(jià)問題的重要手段。本文針對(duì)利率及房?jī)r(jià)兩個(gè)標(biāo)的變量，擬用雙標(biāo)的變量最小二乘蒙特卡羅方法進(jìn)行銀行資產(chǎn)負(fù)債隱含期權(quán)定價(jià)研究。根據(jù)期權(quán)理論，假設(shè)借款人簽訂的住房反向抵押貸款合同的期限為T，即隱含期權(quán)的到期日為T，借款人選擇提前償還貸款的時(shí)間為t，即執(zhí)行時(shí)間為t。由于該隱含期權(quán)在T時(shí)刻收益不僅僅受時(shí)刻T的利率和房?jī)r(jià)影響，還可能受到從貸款存續(xù)期間利率及房?jī)r(jià)運(yùn)動(dòng)路徑影響，因此該隱含期權(quán)在執(zhí)行時(shí)間t價(jià)值為:

其中，EQ為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下的期望算子，r為合適的貼現(xiàn)利率，f(Rt，Ht)為從貸款開始日至到期日之間隱含期權(quán)標(biāo)的變量變化路徑，由利率和房?jī)r(jià)共同決定。雙標(biāo)的LSM方法就是通過隨機(jī)抽樣模擬計(jì)算式(7)，得到期權(quán)價(jià)值的一種數(shù)值分析方法?；緦?shí)現(xiàn)步驟為:1)生成單一標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的樣本路徑;2)從期權(quán)到期日開始逆向求解，得到每條樣本路徑上的最優(yōu)期權(quán)執(zhí)行時(shí)間和相應(yīng)的期權(quán)收益;3)將每條樣本路徑上的期權(quán)收益用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，然后取其均值即可得到標(biāo)的期權(quán)模擬價(jià)值。

(二)隱含期權(quán)定價(jià)的雙標(biāo)的LSM方法的基本過程

1．樣本路徑生成。通過隨機(jī)抽樣生成利率的樣本路徑R0，．．．Rt，;;;RT及房?jī)r(jià)的樣本路徑H0，．．．Ht，;;;HT。為了應(yīng)用最小二乘蒙特卡羅方法，需要將式(3)及式(4)離散化:

如果Δt足夠小，可以忽略多次跳躍，利率模型和房?jī)r(jià)模型可以近似為:

當(dāng)Δt=1時(shí)，離散式變?yōu)?/p>

由式(8)及式(9)，就可以得出最小蒙特卡羅模擬的一條樣本資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡迭代式:hj(X0，．．．Xt，．．．XT)，j=1，2，;;;M 。其中，M 為模擬的樣本路徑數(shù)量。M 次模擬后得到樣本路徑矩陣PM×(N+1)。

2．計(jì)算每條樣本路徑的最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間和隱含期權(quán)收益。在任意時(shí)刻i，反向抵押貸款隱含期權(quán)作為看漲期權(quán)，在樣本路徑上的內(nèi)在價(jià)值為:

由于反向抵押貸款隱含期權(quán)可以提前償還，因此最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間的選擇，主要通過對(duì)立即執(zhí)行期權(quán)的即時(shí)收益與繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益之間大小比較來(lái)進(jìn)行，即:

EQ為在當(dāng)前樣本值條件下繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益，依賴于下一步執(zhí)行期權(quán)決策，因此主要通過逆向求解方法得出。LSM方法主要通過近似模擬期望收益來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)式(11)的模擬。本文中LSM方法通過回歸得到當(dāng)前樣本值的一個(gè)簡(jiǎn)單三次多項(xiàng)式來(lái)對(duì)式(11)中的條件期望進(jìn)行近似逼近計(jì)算，即:

把所有樣本路徑在時(shí)刻i的價(jià)格Xi作為X值，將相應(yīng)的樣本路徑上未來(lái)收益作為 Y 值，運(yùn)用線性回歸，求得回歸系數(shù) a1，a2，a3，a4。

為了計(jì)算每條樣本路徑上最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間和相應(yīng)期權(quán)收益，從貸款到期日開始計(jì)算。在到期日N時(shí)刻，執(zhí)行期權(quán)，收益為max(－K，0)。在時(shí)刻N(yùn)－1，如果該隱含期權(quán)在樣本路徑上是溢價(jià)的，即＞K，則考慮執(zhí)行期權(quán)，但是否真執(zhí)行期權(quán)還要分析繼續(xù)持有期權(quán)至到期日的期望收益:如果它小于＜K，則立即執(zhí)行期權(quán)，即在此刻償還貸款;否則，繼續(xù)持有期權(quán)，運(yùn)用式(11)近似計(jì)算繼續(xù)持有期權(quán)的期望價(jià)值。

根據(jù)提前執(zhí)行期權(quán)的溢價(jià)性前提條件，在此只以在N－1時(shí)刻處于溢價(jià)的樣本路徑為基進(jìn)行回歸。為此，選用以下回歸方程近似繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益:

以此類推，便可得到時(shí)刻N(yùn)－2，N－3，．．．，0，繼續(xù)持有該隱含期權(quán)的期望收益。對(duì)于每條樣本路徑j(luò)，期權(quán)在唯一時(shí)刻t∈{0，1，．．．N}執(zhí)行。因此，樣本軌跡在t時(shí)刻繼續(xù)持有期權(quán)的期望收益為:

其中，Ji是時(shí)刻i期權(quán)處于溢價(jià)(即＞K)的樣本路徑集合。在初始狀態(tài)，令tj=N，在時(shí)刻N(yùn)－1，如果繼續(xù)持有期權(quán)，則tj不變;如果執(zhí)行期權(quán)，則tj=N－1，依此類推。由于每條利率樣本路徑只有一個(gè)最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間，因此只保存最新的tj，最后便求得每條樣本路徑的最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間。相應(yīng)地，樣本路徑j(luò)在最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間tj的期權(quán)收益為

3．計(jì)算每條樣本路徑期權(quán)收益貼現(xiàn)的平均值。經(jīng)過M次模擬后得到M條利率樣本路徑以及每條樣本路徑上最優(yōu)執(zhí)行時(shí)間的期權(quán)收益:

由于每條樣本路徑執(zhí)行時(shí)間不同，對(duì)期權(quán)收益貼現(xiàn)因子e－rtjk也不同，必須按每條路徑相應(yīng)貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)，然后求均值期望收益的估計(jì)值，即貸款隱含期權(quán)LSM模擬的一個(gè)模擬值:

五、實(shí)證模擬

(一)標(biāo)的變量動(dòng)態(tài)過程

1．利率動(dòng)態(tài)模擬結(jié)果。本文針對(duì)住房反向抵押貸款合同特征，選用美國(guó)1年期國(guó)債利率作為住房抵押貸款利率標(biāo)的變量;首先，選取原始序列中2008年之前的數(shù)據(jù)并對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，在Eviews軟件中實(shí)現(xiàn)的結(jié)果如下表1所示:

表1 利率數(shù)據(jù)序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

從表中可以看出，統(tǒng)計(jì)量t值大于三種顯著性水平下的臨界值，說(shuō)明原始數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，可以用于回歸分析。從2008年末開始，一年期國(guó)債利率的數(shù)據(jù)急劇下降，這也是本文在利率模型中加入跳躍原因。利率模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表1:

表1 利率模擬結(jié)果

由此得出，經(jīng)過模擬后所得到的美國(guó)一年期定期國(guó)債利率迭代式為:

(2)住房?jī)r(jià)格指數(shù)動(dòng)態(tài)模型。本文選用美國(guó)住房?jī)r(jià)格銷售指數(shù)(HPI)作為估計(jì)房?jī)r(jià)模型參數(shù)的數(shù)據(jù)，反映美國(guó)住房?jī)r(jià)格變化趨勢(shì)的指數(shù)。在運(yùn)用Winbugs軟件對(duì)HPI動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)，選用股票價(jià)格指數(shù)先驗(yàn)分布，這是因?yàn)榉课輧r(jià)格波動(dòng)與股票價(jià)格波動(dòng)存在一定聯(lián)動(dòng)，在一定程度上可以反映指數(shù)的共有特征。房屋價(jià)格動(dòng)態(tài)過程模擬結(jié)果如表2:

表2 房?jī)r(jià)模擬結(jié)果

經(jīng)過模擬后的房?jī)r(jià)模型迭代式為:

(二)無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款定價(jià)

本文選用一美國(guó)案例，假設(shè)一位年齡為65歲老人，擁有住房資產(chǎn)價(jià)值100美元，在2011年4月1日跟銀行簽訂了一份住房反向抵押貸款合約。由前分析，年齡為65老年人的平均壽命為80歲，因此這份住房反向抵押貸款合同的期限可以設(shè)定為15年。當(dāng)前美國(guó)一年期國(guó)債利率為0．19%，差額利率m設(shè)為3%。下面分別討論終生年金支付方式下的住房反向抵押貸款隱含期權(quán)的價(jià)格。運(yùn)用修正無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款模型來(lái)模擬無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款價(jià)格。經(jīng)由Matlab程序運(yùn)行模擬住房反向抵押貸款價(jià)格實(shí)證結(jié)果。其中，利率初始值R0=0．19%，差額利率m=3%，到期日T=15，貼現(xiàn)利率采用R0，每個(gè)時(shí)間間隔為一年，即每年都有執(zhí)行提前償還權(quán)利，模擬樣本路徑數(shù)分別為M=15000和M=20000。具體模擬結(jié)果見圖1、圖2。

(三)隱含期權(quán)價(jià)格實(shí)證模擬

1．模擬結(jié)果。本文為了最終計(jì)算有贖回權(quán)反向抵押貸款價(jià)格，采用與無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款相同條件的產(chǎn)品。假設(shè)一位年齡為65歲老人，擁有住房資產(chǎn)價(jià)值100美元，在2011年4月1日跟銀行簽訂了一份住房反向抵押貸款合約。由前面分析，年齡為65老人的平均壽命為80歲，因此這份住房反向抵押貸款合同的期限可以設(shè)定為15年。當(dāng)前美國(guó)一年期的國(guó)債利率為0．19%，差額利率m設(shè)為3%。下面主要討論終生支付方式下的住房反向抵押貸款隱含期權(quán)的價(jià)格?；贚SM方法模擬住房反向抵押貸款的提前償還行為，并對(duì)以利率和房產(chǎn)價(jià)值為雙標(biāo)的資產(chǎn)的隱含美式看漲期權(quán)定價(jià)。經(jīng)由Matlab程序運(yùn)行的模擬貸款隱含期權(quán)定價(jià)的實(shí)證結(jié)果。其中，利率初始值R0=0．0319，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格分別為一次性支付方式和終生年金支付方式下住房反向抵押貸款的價(jià)格，這里分別取:K1=77．5，K2=5．45，到期日T=15，貼現(xiàn)利率采用R0，每個(gè)時(shí)間間隔為一年，即每年都有提前償還的權(quán)利，模擬樣本路徑數(shù)分別為M=150000和M=200000。具體的模擬結(jié)果見圖3、圖4。

2．收斂性與計(jì)算效率分析。本文通過逐漸增加樣本路徑數(shù)目M，以得到收斂期權(quán)值的穩(wěn)定性來(lái)判斷收斂性。當(dāng)樣本路徑分別為15000，20000，30000，50000，100000，15000，200000 時(shí)，所得期權(quán)值分別為 1．2886，1．4049，1．2989，1．3171，1．3077，1．2960。由圖5可以看出隨著模擬次數(shù)的增多，期權(quán)值在1．30上下小幅波動(dòng)，表明收斂性良好。本文模擬算法直接使用MATLAB提供的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)randn，確保了隨機(jī)數(shù)的獨(dú)立性和均勻性。實(shí)驗(yàn)表明，在P41．4GHz CPU的計(jì)算機(jī)上，N=60，M=10000的運(yùn)行時(shí)間不超過10分鐘。因此無(wú)論從收斂性還是計(jì)算時(shí)間上看，反向抵押貸款隱含期權(quán)計(jì)算結(jié)果良好。

3．定價(jià)結(jié)果說(shuō)明。住房反向抵押貸款在美國(guó)市場(chǎng)于1980s才開始興起，最初由于傳統(tǒng)養(yǎng)老觀念以及政府政策的原因，發(fā)展并不是很好，直到20世紀(jì)末美國(guó)的住房反向抵押貸款才開始得到發(fā)展。發(fā)展之初，大多數(shù)反向抵押貸款是以無(wú)贖回權(quán)的形式存在的，直到最近幾年，有贖回權(quán)的住房反向抵押貸款才開始受到關(guān)注。因此關(guān)于住房反向抵押貸款的定價(jià)研究是比較少的，尤其是住房反向抵押貸款中隱含期權(quán)價(jià)值的確定更少，所以對(duì)各種方法得到的不同的隱含期權(quán)值，難以判定結(jié)果是否合理。從本文所得結(jié)果的收斂性可以看出，無(wú)論是無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款的定價(jià)，還是有贖回權(quán)的住房反向抵押貸款隱含期權(quán)的定價(jià)，都呈現(xiàn)出一定的收斂性，因此定價(jià)結(jié)果是比較可信的。同時(shí)，從數(shù)值大小來(lái)看，隱含期權(quán)的價(jià)值大約為1．30，與每期得到的貸款數(shù)額5．45相比，大約是每期貸款數(shù)額的23．85%，這與銀行存貸款隱含期權(quán)的20%相比，也是非常接近的，因此本文對(duì)有贖回權(quán)反向抵押貸款隱含期權(quán)的定價(jià)是比較合理的。

六、結(jié)論

本文主要基于美式期權(quán)定價(jià)視角，分析了反向抵押貸款的期權(quán)定價(jià)模型，并運(yùn)用蒙特卡羅模擬方法加以數(shù)值模擬計(jì)算。研究的主要結(jié)論有:(1)基于美國(guó)一年期國(guó)債收益率及全國(guó)住房?jī)r(jià)格銷售指數(shù)實(shí)際變動(dòng)情況，選取跳躍擴(kuò)散來(lái)模擬利率與房?jī)r(jià)的變動(dòng)，改變了傳統(tǒng)模型中將利率設(shè)為固定的國(guó)債收益率及將房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)率設(shè)為固定值的缺陷。(2)無(wú)贖回權(quán)反向抵押貸款由于其本身的特點(diǎn)，適合用保險(xiǎn)精算方法進(jìn)行定價(jià)，經(jīng)過對(duì)利率及房?jī)r(jià)以及借款人剩余壽命的動(dòng)態(tài)模擬后，使得這些因素更加符合市場(chǎng)變量及老年人自身的實(shí)際狀況，從而使得定價(jià)結(jié)果比簡(jiǎn)單的設(shè)定固定增值率時(shí)的結(jié)果更加精確。(3)有贖回權(quán)反向抵押貸款由于具有可提前贖回住房資產(chǎn)的權(quán)利，因此適合用期權(quán)方法來(lái)定價(jià)。本文運(yùn)用美式期權(quán)定價(jià)方法對(duì)有贖回權(quán)反向抵押貸款隱含期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，并最終得到有贖回權(quán)反向抵押貸款的價(jià)格。

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