反正切相加定理的一種新證法

劉春平， 劉曉平

(1.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002； 2.揚(yáng)州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 揚(yáng)州 225002)

反三角函數(shù)是三角函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù). 關(guān)于反三角函數(shù),中學(xué)和大學(xué)教科書[1-3]上有許多經(jīng)典的定理和公式，如反正切相加定理，反正弦、反余弦相加定理等等. 吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集第776題為：

證明反正切相加定理

(1)

式中ε(x,y)為取值0,1,-1三者之一的函數(shù). 當(dāng)已知x的值時(shí)，對(duì)于怎樣的y值函數(shù)ε可能不連續(xù)？在Oxy平面上作出函數(shù)ε連續(xù)的對(duì)應(yīng)域，并求此函數(shù)在所求得的域內(nèi)的數(shù)值.

該題中的(1)式即是應(yīng)用非常廣泛的反正切相加公式.據(jù)我們所知，該定理一般都是從反函數(shù)的定義出發(fā)，通過(guò)討論arctanu的取值范圍進(jìn)行證明的，證明本身并不復(fù)雜，但式中ε(x,y)何時(shí)取值0,何時(shí)取值1或-1, 學(xué)生不容易做出全面分析. 本文利用微分方程給出反正切相加定理一種新證明方法如下:

記

(2)

則

(3)

注意到平面曲xy=1將Oxy平面分為三個(gè)區(qū)域：

D1={(x,y)|xy<1},

D2={(x,y)|xy>1,x>0,y>0},

D3={(x,y)|xy>1,x<0,y<0}.

① 當(dāng)(x,y)∈D1時(shí)，由(3)式兩邊關(guān)于x積分，得

F(x,y)=arctanx+φ1(y).

(4)

取x=0，代入(4)式，注意到F(0,y)=arctany,可知φ1(y)=arctany.因此

(5)

② 當(dāng)(x,y)∈D2時(shí)，由(3)式兩邊關(guān)于x積分，得

(6)

注意到x→+∞時(shí)，

由(6)式有

又因?yàn)閥>0時(shí)，

(7)

因此φ2(y)=-π+arctany,從而

(8)

③ 當(dāng)(x,y)∈D3時(shí)，類似地有

(9)

注意到x→ -∞時(shí)，

由(9)式有

(10)

而y<0時(shí)，

(11)

因此φ3(y)=π+arctany,從而

(12)

綜合①～③，即證明了反正切相加公式

并且由(5)，(8)和(12)知

(13)

不難看出，(13)式直接給出了反正切相加定理中函數(shù)ε(x,y)的連續(xù)域以及函數(shù)在域內(nèi)的取值，第776題“當(dāng)已知x的值時(shí)，對(duì)于怎樣的y值函數(shù)ε可能不連續(xù)？在Oxy平面上作出函數(shù)ε連續(xù)的對(duì)應(yīng)域，并求此函數(shù)在所求得的域內(nèi)的數(shù)值.”自然就得到了解答.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 周敏澤.中國(guó)華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本(高一年級(jí))[M].吉林:吉林教育出版社，2002：132-140.

[2] 菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程(第一卷)[M].8版.北京:高等教育出版社，2006：87-91.

[3] 吉米多維奇. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[M]. 北京:人民教育出版社，1978：81-83.