基于B樣條曲面插值誤差控制的內(nèi)超環(huán)面齒輪齒面建模

洪 玫， 姚立綱

(福州大學機械工程學院，福建 福州 350108)

超環(huán)面行星蝸桿傳動，如圖1所示，由中心蝸桿、行星蝸輪、內(nèi)超環(huán)面齒輪、行星架以及滾動體組成。超環(huán)面行星蝸桿傳動系統(tǒng)具有優(yōu)良的傳動性能，但這些優(yōu)良的傳動性能必須以較高的傳動精度來保證。超環(huán)面行星蝸桿傳動系統(tǒng)中的關(guān)鍵零件中心蝸桿和內(nèi)超環(huán)面齒輪的齒廓都是復雜的空間曲面，在數(shù)控加工中很難保證其精度，導致超環(huán)面行星蝸桿減速器在運行過程中存在噪音。國內(nèi)外學者對超環(huán)面行星蝸桿傳動的嚙合理論[1-2]，加工制造[3-4]、承載能力[5]和摩擦、磨損[6-11]等方面進行了深入研究。但是，對于提高這種系統(tǒng)的傳動精度，降低其運行過程中存在的噪音研究涉及較少。高精度的三維實體模型是保證數(shù)控加工精度的前提條件，因此能否獲得精確的中心蝸桿和內(nèi)超環(huán)面齒輪實體模型尤其是精確的齒面模型是解決該問題的關(guān)鍵。

圖1 超環(huán)面行星蝸桿傳動

以往內(nèi)超環(huán)面齒輪和中心蝸桿的實體模型主要采用商用三維建模軟件來建立[12]。該方法是利用螺旋齒面特定截面齒廓(法面齒廓)根據(jù)一定的路徑(螺旋線)掃描生成內(nèi)超環(huán)面齒輪和中心蝸桿齒面的。內(nèi)超環(huán)面齒輪和中心蝸桿齒面的法面齒廓是圓，但是在其他任何平面內(nèi)，其齒廓卻是一條空間曲線，因此，采用該種方法生成的齒面模型存在理論誤差。文獻[13]利用matlab軟件提取內(nèi)超環(huán)面齒輪和中心蝸桿螺旋齒面坐標數(shù)據(jù)點，并建立了內(nèi)超環(huán)面齒輪和中心蝸桿的離散模型。該方法采用密集采樣的方法來提高模型的精度，但是隨著坐標數(shù)據(jù)點數(shù)目的增加，計算量也將成倍的增加，而且如何確定坐標數(shù)據(jù)點的數(shù)目以及誤差分析計算方法在文中也未有提及。

曲面插值重構(gòu)作為評定自由曲面零件精度的一項關(guān)鍵技術(shù)在各領域中有著廣泛的應用，越來越受國內(nèi)外學者的重視。Zhang和Molenbroek[14]使用B樣條曲面重建人體頭部的三維模型，運用激光掃描技術(shù)能對該模型進行有效地測量，為進一步研究開發(fā)計算機輔助人體工程學設計工具奠定了基礎。肖思來等[15]應用B樣條曲面插值算法建立深孔麻花鉆變參數(shù)螺旋槽三維精確實體模型。張彥欽和張光輝[16]運用B樣條重構(gòu)蝸輪齒面二次接觸區(qū)域，由此獲得的空間曲面精度高且易于編程實現(xiàn)。Yoo[17]提出基于B樣條插值的人類骨骼生物CAD模型的三維重建，該方法創(chuàng)建的骨骼模型適合骨支架設計，有限元分析和醫(yī)療診斷。

為提高內(nèi)超環(huán)面齒輪和中心蝸桿螺旋齒面的精度，以內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面建模為例，提出一種基于B樣條曲面插值誤差控制的內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面建模方法，該方法根據(jù)提取的內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面坐標數(shù)據(jù)點，運用雙三次B樣條曲面插值重構(gòu)曲面，通過插值誤差分析，根據(jù)誤差分別特點，對型值點網(wǎng)格不斷細分、最終可確定合理的型值采樣點數(shù)量。

1 B樣條曲面插值重構(gòu)內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面

利用B樣條曲面插值內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面的過程如下：首先根據(jù)內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面方程提取q向和w向截面線采樣點，再根據(jù)采樣點反求B樣條插值曲面的控制點，最后利用所求的控制點構(gòu)建內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面模型并進行誤差計算和分析。

1.1 內(nèi)超環(huán)面齒輪齒面型值點采樣

圖2所示為剖視的內(nèi)超環(huán)面齒輪三維實體模型。它由螺旋齒面、旋轉(zhuǎn)曲面和兩個端面組成。

圖2 剖視的內(nèi)超環(huán)面齒輪三維實體模型和單個螺旋齒面

內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面是復雜的空間曲面，其數(shù)學模型可由行星蝸輪與內(nèi)超環(huán)面齒輪的嚙合關(guān)系獲得。內(nèi)超環(huán)面齒輪的螺旋齒面是由行星蝸輪齒面的運動包絡而成的，行星蝸輪的球形輪齒是內(nèi)超環(huán)面齒輪齒廓的包絡母面。

圖3 行星蝸輪與內(nèi)超環(huán)面齒輪嚙合坐標系

圖3表示了行星蝸輪和內(nèi)超環(huán)面齒輪的嚙合情況[12]。和分別為內(nèi)超環(huán)面齒輪和行星蝸輪的動坐標系，φ3、φ2分別為螺旋齒面和行星蝸輪齒面相對于它們的靜參考坐標系S3、S2的轉(zhuǎn)角。

由齒輪嚙合原理[18]，根據(jù)兩共軛齒面的嚙合方程和嚙合函數(shù)可以推導出內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋線方程如下：

式(1)～(3)中，r2、i23及a0都是已知常數(shù)，u、v均為滾珠球面參數(shù)，M3′2′是根據(jù)行星蝸輪與內(nèi)超環(huán)面齒輪嚙合坐標系所得的坐標變換矩陣[12]。當v在取值范圍[-π/2,π/2]之間遍歷時，螺旋線簇便構(gòu)成了內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面。采樣時，把螺旋線作為w向截面線，把與內(nèi)超環(huán)面齒輪端面平行的截平面(如圖4)與螺旋齒面相交所得的截交線作為q向截面線，q向與w向截面線的交點，即為螺旋齒面型值點(如圖5)。若m條q向截面線與n條w向截面線求交，可獲得m×n個齒面型值點Pi,j(i=1,…,m;j=1,…,n)。這一過程稱為螺旋齒面型值點采樣。

圖4 截平面位置

圖5 螺旋齒面型值點采樣

1.2 內(nèi)超環(huán)面齒輪齒面插值重構(gòu)

根據(jù)上述方法提取的型值點陣分布比較均勻，可考慮采用雙三次均勻B樣條曲面插值重構(gòu)內(nèi)超環(huán)面齒輪齒面。為了克服雙三次均勻B樣條曲面不能插值多邊形網(wǎng)格的四個角點的缺點，在兩節(jié)點矢量的兩端取四重節(jié)點構(gòu)造基函數(shù)。

1.2.1 雙三次均勻B樣條曲面的形成

雙三次均勻B樣條曲面片由包含16個頂點的特征網(wǎng)格Vi,j(i=1,…,4;j=1,…,4)定義，網(wǎng)格Vi,j的任意行或任意列都構(gòu)成一個特征多邊形，由該曲面片的形成過程，可寫出雙三次均勻B樣條曲面片的方程為：

式中:U=[s3s2s1]，W=[t3t2t1]，Bq，Bw為與控制頂點網(wǎng)格V對應的四重節(jié)點B樣條基函數(shù)[19]。當s和t在[0,1]之間遍歷時，就可得到一張雙三次均勻B樣條曲面片。

1.2.2 反求插值曲面控制點

給定自由端點條件，以提取的內(nèi)超環(huán)面齒輪齒面型值點作依據(jù)，反求多邊形網(wǎng)格。根據(jù)式(3)中v的取值范圍[-π/2,π/2]，將此區(qū)間分成m-1個離散角度的間隔，這樣內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面就被離散成m條接觸線，如圖6所示。

圖6 螺旋齒面型值點采樣

若用n個截平面與齒面m條接觸線求交，可獲得m×n個離散數(shù)據(jù)點，即型值點網(wǎng)格為Pi,j(i=1,…,m;j=1,…,n)，其中m和n分別為q向和w向型值點數(shù)，則所求的多邊形頂點網(wǎng)格應為VI,J(I=1,…,m+2;J=1,…,n+2)，其算法如下：

(1) 計算n個q向多邊形

由式(5)～(6)可求得n個q向多邊形，其頂點網(wǎng)格為VI,J(I=1,…,m+2;J=1,…,n)，令QI,J=VI,J。

(2) 計算m+2個w向多邊形

由式(7)～(8)可求得m+2個w向多邊形，并具有n+2個頂點，由其構(gòu)成多邊形網(wǎng)格為VI,J(I=1,…,m+2;J=1,…,n+2)。由該網(wǎng)格定義的雙三次均勻B樣條曲面即可插值給定的m×n個型值點。

1.2.3 插值誤差計算

根據(jù)上述方法，以6條螺旋線和6個截平面相交為例，根據(jù)表1給出的內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面算例參數(shù)，在matlab中提取內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面m×n=6×6個齒面信息點作為型值點陣來構(gòu)造插值曲面。

表1 算例參數(shù)

根據(jù)式(5)～(8)反求后得到8×8個頂點的控制多邊形網(wǎng)格V88(I=1,…,8;J=1,…,8)，如圖7所示。

圖7 控制多邊形網(wǎng)格

根據(jù)這8×8=64個控制頂點由式(4)可求得5×5=25張曲面片，完成內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面的插值計算。插值計算過程中最關(guān)鍵的是四重節(jié)點B樣條基函數(shù)Bq，Bw的選取。Bq的值取決于曲面沿q向的總曲面片數(shù)和該曲面片沿q向的序號[19]，Bw的值取決于曲面沿w向的總曲面片數(shù)和該曲面片沿w向的序號。此算例中q向和w向的總曲面片數(shù)均為5，25張B樣條曲面片可表示為Pq,w(q=1,2,3,4,5;w=1,2,3,4,5)。以P2,4這張B樣條曲面片為例，根據(jù)式(4)，方程中的控制頂點網(wǎng)格V和基函數(shù)Bq，Bw如下[19]：

為了計算插值曲面與理論齒面之間的誤差，取理論齒面網(wǎng)格中間點到相應插值曲面片中間點的距離作為誤差來分析。

圖8所示為6×6理論齒面網(wǎng)格局部放大圖，e1，e2，e3，e4，e5，e6和b1，b2，b3，b4，b5，b6是理論齒面上的型值點，以網(wǎng)格e3b3b4e4為例，只要在兩條接觸線e3b3和e4b4中間插入一條接觸線c1c2，在兩條截交線e3e4和b3b4中間插入一條截交線l1l2，c1c2和l1l2的交點即為理論齒面網(wǎng)格的中間點，其坐標為(168.872,-35.2821,36.0)。

圖8 6×6理論齒面網(wǎng)格(局部放大)

圖9所示為B樣條插值重構(gòu)6×6型值點曲面片局部放大圖，根據(jù)式(4)，當s和t在[0,1]之間遍歷時，即可獲得B樣條插值曲面片。因此只要當s和t都取0.5時，可獲得型值點網(wǎng)格e3b3b4e4對應的插值曲面片中間點的坐標(168.1911,-35.2509,36.0)。

圖9 B樣條插值曲面片(局部放大)

表2列出了m×n=6×6時25個插值曲面片中間點插值誤差計算的結(jié)果。

表2 網(wǎng)格中間點插值誤差計算結(jié)果

根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)可看出，最大插值誤差存在于螺旋齒面的上下兩條邊界處，即第1張曲面片和第25張曲面片的插值誤差是最大的且數(shù)值相等。當螺旋齒面型值點m×n=30×30和m×n=60×60時，采用相同的方法，計算得到最大插值誤差分別為0.0444和0.0119，由此可見，網(wǎng)格間距越小，插值誤差越小，插值曲面越接近理論齒面。

2 型值點網(wǎng)格細化建模方法

根據(jù)上述插值誤差分析的結(jié)果可知，型值采樣點的數(shù)目越多，插值曲面的精度也越高，可以采用密集采樣的方法來提高螺旋齒面模型的精度，但是型值點的數(shù)目該如何確定。針對此問題，以表2中插值誤差的計算結(jié)果作為依據(jù)，提出一種齒面型值點網(wǎng)格細化建模方法。由表2的數(shù)據(jù)可以看出最大插值誤差位于插值曲面的第一張曲面片上，為了減小插值誤差，可以將該曲面片對應的型值點網(wǎng)格細化，然后重新構(gòu)造插值曲面。

型值點網(wǎng)格細化建模方法的流程如圖10所示：

圖10 型值點網(wǎng)格細化建模方法流程圖

具體建模步驟如下：

(1) 選用盡可能少的型值點來插值一張曲面。由于運用雙三次均勻B樣條曲面進行曲面插值重構(gòu)至少需要16個型值點，因此采用4條接觸線與4條截交線相交所提取的m×n=4×4個數(shù)據(jù)點作為原始型值點陣，如圖11所示。

(2) 運用雙三次均勻B樣條曲面構(gòu)建初始插值曲面并計算初始最大插值誤差，方法如前所述。

(3) 最大插值誤差位于插值曲面的第一張曲面片上，因此可考慮先將第一個型值點網(wǎng)格細化。

圖11 4×4齒面型值點網(wǎng)格

圖12 第一個型值點網(wǎng)格圖和網(wǎng)格細化

圖12(a)所示為第一個型值點網(wǎng)格放大圖。網(wǎng)格細化的原則是在第一個型值點網(wǎng)格的兩條接觸線g1h1和g2h2之間插入兩條接觸線，在兩條截交線g1g2和h1h2之間插入兩條截交線，由此可以重新獲得m×n=4×4個數(shù)據(jù)點作為新的型值點陣，如圖12(b)所示，然后運用雙三次均勻B樣條曲面構(gòu)造一張新的插值曲面，計算最大插值誤差，最大插值誤差仍位于新插值曲面的第一張曲面片中，并將其與給定的誤差閾值進行比較。

(4) 比較的結(jié)果可能出現(xiàn)兩種情況：第一種情況，計算出的最大插值誤差小于給定的誤差閾值，說明插值曲面的精度已經(jīng)滿足要求，也就是說網(wǎng)格細化的數(shù)量足夠，只要將其余8個型值點網(wǎng)格細化，細化的網(wǎng)格數(shù)量與第一個網(wǎng)格相同即可，細化后的網(wǎng)格數(shù)量為34。由此可獲得一組1010m×n=×新的型值點陣，用此型值點陣構(gòu)建的插值曲面滿足給定的精度要求。

第二種情況，如果計算出的最大插值誤差大于給定的誤差閾值，說明插值曲面的精度還未滿足要求，也就是說網(wǎng)格細化的數(shù)量不夠，則重復步驟(3)直到最大插值誤差小于給定的誤差閾值為止。通過對型值點網(wǎng)格的不斷細化，細化的網(wǎng)格數(shù)量為32r，r與循環(huán)的次數(shù)有關(guān)，最終可確定一組m×n=(3r+1)×(3r+1)的型值點陣，用該型值點陣插值重構(gòu)的內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋曲面可滿足給定的精度要求。表3中給出了不同型值點數(shù)量最大插值誤差的計算結(jié)果。

表3 不同型值點數(shù)量最大插值誤差的計算結(jié)果

根據(jù)上述齒面型值點網(wǎng)格細化方法可確定合理的型值點數(shù)目，當m×n=82×82時，用雙三次均勻B樣條曲面對此型值點陣進行插值重構(gòu)，最大的插值誤差為0.0055 mm。將該型值點陣導入三維建模軟件中，即可獲得內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面模型。為了驗證此方法的可行性，建立了單個螺旋齒面模型(如圖13所示)，并進行了數(shù)控加工(如圖14所示)。對加工后的實體進行了表面粗糙度的測量，測量結(jié)果如圖15所示，表面粗糙度Ra的數(shù)值為0.005897 mm，此結(jié)果與最大插值誤差的數(shù)值近似，可以說明此建模方法是可行的。

圖13 單個螺旋齒面模型

圖14 數(shù)控加工實體

圖15 表面粗糙度測量數(shù)據(jù)

3 結(jié) 論

內(nèi)超環(huán)面齒輪形狀的特殊性和齒廓的復雜性給數(shù)控加工帶來了困難，加工精度很難保證。本文提出根據(jù)內(nèi)超環(huán)面齒輪齒面螺旋線方程，運用截平面法提取型值點陣，采用雙三次均勻B樣條插值方法，計算理論齒面網(wǎng)格中間點到相應插值曲面片中間點的距離，將此距離作為插值誤差進行分析。通過誤差分析，確定最大插值誤差所在位置。通過最大插值誤差與給定誤差閾值的比較，確定網(wǎng)格細化的次數(shù)，最終獲得一組型值點陣，插值重構(gòu)得到滿足精度要求的內(nèi)超環(huán)面齒輪螺旋齒面模型。運用此方法在獲得高精度的內(nèi)超環(huán)面齒輪齒面模型的同時合理地確定了型值點的數(shù)目。運用B樣條插值重構(gòu)曲面，可通過不斷修正多邊形網(wǎng)格頂點來調(diào)整曲面形狀，最終獲得一張滿意的齒廓曲面，這也為內(nèi)超環(huán)面齒輪齒廓的修形提供了思路和手段。

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