應(yīng)用三次C-Cardinal樣條曲線構(gòu)建的股線模型

趙志祥， 鄭天勇，2， 吳 珍， 李婷婷

(1. 中原工學(xué)院 紡織學(xué)院， 河南 鄭州 450007; 2. 河南省紡織服裝產(chǎn)業(yè)協(xié)同創(chuàng)新中心， 河南 鄭州 450007)

紗線形態(tài)設(shè)計(jì)一直是紡織CAD設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容。通過查閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，對股線[1-2]進(jìn)行仿真模擬的研究較少，而對單紗仿真設(shè)計(jì)研究較多，但其成果能為股線的仿真設(shè)計(jì)提供借鑒。Sripratccp等[3]采用多條非均勻B樣條曲線作為單紗中的纖維，取得了較好的單紗仿真效果及纖維在單紗中的內(nèi)外轉(zhuǎn)移，但由于算法復(fù)雜僅應(yīng)用在單紗設(shè)計(jì)中。Chen等[4-5]雖給出了復(fù)雜織物組織的三維視圖，實(shí)現(xiàn)了織物結(jié)構(gòu)的空間形態(tài)，但紗線簡化為單獨(dú)的一根管狀，缺少紗線的捻度及材質(zhì)效果。國內(nèi)研究[6-8]中也有采用B樣條曲線對單紗形態(tài)進(jìn)行深入探究的，無論從單紗橫截面形狀還是單紗捻度，都取得了逼真的仿真效果，但算法較為復(fù)雜，內(nèi)存消耗大，需要較高的計(jì)算機(jī)硬件配置，目前尚不宜應(yīng)用在股線的仿真設(shè)計(jì)中。鑒于以上分析，本文采用股線切面疊加法和具有良好插值性的三次C-Cardinal樣條曲線[9]，對空間任意彎曲股線進(jìn)行仿真建模，取得了股線在三維空間中光滑拼接及加捻無錯(cuò)切的仿真效果。

1 C-Cardinal樣條曲線及其特點(diǎn)

使用(1tcos(t) sin(t))為基底取代三次樣條曲線的基構(gòu)造的一系列曲線稱為三次C-Cardinal樣條曲線，其中三次C-Cardinal樣條曲線的一般數(shù)學(xué)定義式如下：

(1)

0≤t≤α,i=0,1,2,…，n-3

式中：bi(i=0,1,2,…，n)為給定的型值點(diǎn)；ωj,α(t)為樣條基函數(shù)；其他參數(shù)定義見文獻(xiàn)[10]，曲線段Pi(t)組成的曲線P(t)稱為三次C-Cardinal樣條曲線。

該曲線算法簡單，計(jì)算內(nèi)存消耗少，運(yùn)算速度快，生成曲線除首尾點(diǎn)外完全插值于給定型值點(diǎn)，是一種既簡便又實(shí)用的工程造型工具。

2 股線橫截面形態(tài)建模

2.1 股線中單紗橫截面形態(tài)簡化處理

1)假設(shè)股線中單紗橫截面為圓形并相切，單紗半徑為R；

2)以股線中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。

圖1示出3股紗的橫截面數(shù)學(xué)簡化模型。圓由一定數(shù)量的點(diǎn)經(jīng)線段連接而成，且在每個(gè)點(diǎn)處以其坐標(biāo)值作為法向量的值，以期獲得良好的光照反射效果，提高股線模型的立體感。

圖1 圓形橫截面 Fig.1 Circular cross section

在基于Open GL圖形庫的顯示屏幕中，設(shè)置三維坐標(biāo)原點(diǎn)位于屏幕中央，Y軸正方向向上，X軸正方向向右，Z軸正方向垂直屏幕指向外側(cè)。在對股線橫截面建模時(shí)，坐標(biāo)系沿X軸翻轉(zhuǎn)后，使Y、Z軸坐標(biāo)系互相調(diào)換，保持X軸與坐標(biāo)系原點(diǎn)不變，同時(shí)使股線中心O與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合。圖1中，經(jīng)簡化后股線單紗中心的坐標(biāo)如下。

(2)

(3)

(4)

式中，O1、O2、O3為各單紗的中心點(diǎn)。

當(dāng)股線合股數(shù)在數(shù)十股以上時(shí)，股線中單股紗線的橫截面的半徑相對股線橫截面半徑較小，此時(shí)要求股線中單根紗線的橫截面排列位置需保證股線橫截面形狀近似圓形，如此才能得到均勻加捻的股線仿真效果圖。

另外，采用三次C-Cardinal樣條曲線，可構(gòu)建橢圓形、跑道圓形及凸透鏡形等各種紗線橫截面形狀，如圖2所示。圖中較粗線條為橫截面輪廓圖，較細(xì)線條為三次C-Cardinal樣條曲線的控制多邊形。

圖2 規(guī)則紗線橫截面模型及其控制多邊形Fig.2 Regular yarn′s cross section and their control polygon. (a) Racetrack; (b) Lens

在股線仿真過程中發(fā)現(xiàn)，上述橫截面由于其邊緣圓滑，不能較好地對股線中單根紗線加捻紋理進(jìn)行仿真，因此對上述橫截面加以改進(jìn)，采用非規(guī)則多邊形構(gòu)建股線橫截面。

2.2 橫截面形態(tài)采用非規(guī)則多邊形處理

1)股線中單紗中心相對于股線中心保持不變,單紗半徑仍為R；

2)改變單紗圓形截面，使其圓上的點(diǎn)向外凸出和向內(nèi)凹陷獲得的非規(guī)則多邊形作為單紗橫截面，同樣在每個(gè)點(diǎn)處設(shè)置法向量，如圖3所示。同理，可根據(jù)股線中單紗橫截面的設(shè)計(jì)需要，設(shè)計(jì)不同的形狀，且當(dāng)直線段能夠滿足設(shè)計(jì)要求時(shí)，為減少算法的復(fù)雜度及提高仿真效率，股線橫截面形態(tài)設(shè)計(jì)一般不采用三次C-Cardinal樣條曲線。

圖3 非規(guī)則多邊形橫截面Fig.3 Irregular polygon cross section

3 股線中心線表示及股線仿真

3.1 股線中心線表示

股線中心線的設(shè)計(jì)采用插值性較好的三次C-Cardinal樣條曲線，能夠精確地控制股線在真實(shí)環(huán)境中的彎曲路徑，實(shí)現(xiàn)股線設(shè)計(jì)效果的所見即所得。在三次C-Cardinal樣條曲線上的每一點(diǎn)處，使所繪制的股線橫截面經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭婆c旋轉(zhuǎn)，確保橫截面與股線中心線在該點(diǎn)處的切線相垂直，通過設(shè)置適當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)值，顯示出連續(xù)的股線外形。股線捻度的控制由股線相鄰2個(gè)橫截面間的距離及2個(gè)橫截面間相對旋轉(zhuǎn)的角度決定。

T=100α/(360d)

(5)

式中：T為捻度，捻/10 cm；α為2個(gè)相鄰橫截面間相對旋轉(zhuǎn)的角度(角度制)；d為2個(gè)相鄰橫截面間的距離，mm。

在OpenGL平臺的屏幕空間三維坐標(biāo)系中，股線中心線不僅有XOY平面上的彎曲趨勢，而且還有Z軸深度的彎曲。為確保股線橫截面與股線中心線的走勢(切矢)相垂直，將股線橫截面彎曲趨勢分解為：股線橫截面分別繞Z軸和X軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)在三維空間中任意彎曲和橫截面光滑順接的仿真。為直觀表示，將當(dāng)前空間坐標(biāo)系xyz旋轉(zhuǎn)了一定的角度，如圖4所示。圖中：p′(i)為股線中心線在第i個(gè)節(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)；p′(i)z為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)p′(i)在平面XOY內(nèi)的垂直投影，因其關(guān)系到繞Z軸旋轉(zhuǎn)，所以記為p′(i)z，p′(i)x亦同此理；θz、θx分別為股線橫截面繞Z軸和X軸旋轉(zhuǎn)的量。為保持股線旋轉(zhuǎn)后要保持其相鄰截面地光滑、無錯(cuò)切拼接，θz、θx的計(jì)算分別如下。

θz=180/3.14×atan(dy/dx)

(6)

θx=180/3.14×atan(dz/dx)

(7)

式中，dx、dy、dz分別為股線中心線各坐標(biāo)方程的導(dǎo)數(shù)。

圖4 空間平移與旋轉(zhuǎn)模型Fig.4 Model of translation and rotation in three-dimensional space

3.2 股線切面疊加法

股線的整體外觀可當(dāng)作一系列切片置于股線中心線各節(jié)點(diǎn)處且依次旋轉(zhuǎn)和相互疊加而成，如圖5所示。

圖5 股線切面疊加原理Fig.5 Superposition principle of ply yarn′s section

試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在顯示器像素為1366像素×768像素的顯屏中，只要2個(gè)相鄰切面間的距離小于股線中單紗半徑的十分之一，模型位置距屏幕的距離大于股線中單紗半徑的10倍，一般都能得到股線的光滑連接仿真效果，并且此法算法簡單，運(yùn)算量小，在一般的計(jì)算機(jī)配置中都能較好地實(shí)現(xiàn)。

3.3 股線仿真效果

圖6示出基于股線中單紗橫截面為非規(guī)則多邊形的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)的三股股線的外觀仿真。為體現(xiàn)其空間立體感，使用了OpenGL圖形庫中的光照效果，其中股線中心線采用了三次C-Cardinal樣條曲線。其中，圖6(a)股線中心線處在同一平面內(nèi)，股線形狀沿著較細(xì)直線所繪的控制多邊形彎曲而屈曲，表現(xiàn)出股線設(shè)計(jì)的所見即所得效果；圖6(b)股線中心線在三維空間中任意彎曲。

圖6 股線仿真效果圖Fig.6 Simulation of ply yarn. (a) Centerline in two-dimensional space; (b) Centerline in three-dimensional space

在圖6(b)中股線捻度不勻，是由于股線在三維空間中Z軸走向產(chǎn)生的視覺差異，而非真實(shí)地出現(xiàn)了捻度不勻，基于此又進(jìn)一步證實(shí)了股線在空間三維中的任意彎曲走向；需特別說明的是在股線彎曲處由于股線相鄰橫截面間的相對距離縮小，出現(xiàn)捻度略微增大的現(xiàn)象，符合實(shí)際情況，且對仿真效果影響可忽略不計(jì)。

圖7示出了多股股線的仿真效果圖。其中圖7(a)展現(xiàn)的是多股股線的條干，為直線型，圖7(b)顯示的為多股股線的橫截面示意圖。圖7(b)中單股線橫截面的相對位置較為靈活，但其整體保證了股線橫截面輪廓為圓形；同時(shí)，股線中單股紗的直徑相對于股紗直徑非常小，股線橫截面形態(tài)非常類似于短纖紗中纖維橫切面相對于單紗橫截面的數(shù)量關(guān)系，即當(dāng)股線合股數(shù)較多時(shí)，股紗仿真形模型近似單紗仿真模型。

圖7 多股股線仿真圖Fig.7 Simulation of mult-ply yarn. (a) Evenness of mult-ply yarn； (b) Cross section of mult-ply yarn

為展現(xiàn)三次C-Cardinal樣條曲線良好的插值性在織物結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，采用三次C-Cardinal樣條曲線插值生成近似于正弦曲線作為股線中心線，以非規(guī)則多邊形為股線中單紗的橫截面，給出了4股股線在平紋織物結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用，并通過對織物的整體旋轉(zhuǎn)，以顯示其經(jīng)緯紗線狀態(tài)和立體效果，如圖8所示。

圖8 股線在平紋中的3-D效果圖Fig.8 Model picture of ply yarn in plan weave

3.4 本文存在的不足和下一步的工作方向

以圓形作為股線中單紗的橫截面與實(shí)際情況差別較大，應(yīng)針對不同材料、類型的股線設(shè)計(jì)不同的橫截面；鑒于切面疊加法操作簡便，可嘗試其在花式線設(shè)計(jì)中的應(yīng)用。

4 結(jié) 論

1)文中關(guān)于股線中單紗橫截面的建?？赏茝V到多股紗，并且單紗橫截面的形狀可根據(jù)設(shè)計(jì)的需要進(jìn)行隨意的改動，增強(qiáng)了單紗、股線截面設(shè)計(jì)的靈活性。

2)切面疊加法以股線橫截面層層累加而得股線仿真模型，具有方法簡便，算法簡單，計(jì)算量小，應(yīng)用靈活，仿真效果逼真的優(yōu)點(diǎn)。

3)三次C-Cardinal樣條曲線所具有的良好插值性，方便股線、單紗的中心線彎曲走向的插值逼近，實(shí)現(xiàn)股線、單紗設(shè)計(jì)的所見即所得，提高了仿真效率及效果，可在紡織CAD/CAM中進(jìn)一步推廣應(yīng)用。

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