凸輪輪廓曲線方程形式的探討與研究*

邵世權(quán)，劉 霞

(菏澤技師學(xué)院，山東菏澤 274016)

0 引言

近年來(lái)，為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，提高勞動(dòng)生產(chǎn)率，我國(guó)引進(jìn)了許多國(guó)外先進(jìn)的輕紡機(jī)械。這些進(jìn)口設(shè)備的集成度高、結(jié)構(gòu)緊湊、自動(dòng)化程度高，代表了當(dāng)今國(guó)際上最先進(jìn)的專業(yè)設(shè)備水平［1］。為了盡量減少空間結(jié)構(gòu)尺寸，設(shè)備上廣泛采用了凸輪機(jī)構(gòu)。在凸輪的反求中，求理論輪廓曲線是最關(guān)鍵也是最困難的一步。通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間研究凸輪總結(jié)了一種新的求解方法。

1 凸輪廓線求解的新思想

一般在求解凸輪廓線之前先要進(jìn)行數(shù)據(jù)測(cè)量，進(jìn)行測(cè)量數(shù)據(jù)處理之后，然后進(jìn)行求解。那么用怎樣的方法可快速的求解出符合從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)要求的廓線呢?在大量的工作中發(fā)現(xiàn)，如果把測(cè)量的數(shù)據(jù)先在繪圖軟件中初步進(jìn)行樣條擬合，這樣既可發(fā)現(xiàn)奇異區(qū)，又可觀察曲線的初步形狀。如果有明顯奇異點(diǎn)說(shuō)明在該區(qū)間測(cè)量誤差可能太大，必須進(jìn)行重新測(cè)量或者采取新的測(cè)量手段。當(dāng)沒(méi)有奇異點(diǎn)時(shí)，可初步看出廓線的形狀，這樣就可初步?jīng)Q定對(duì)該曲線進(jìn)行分段求解還是整體求解。

1.1 分段求解的判別條件

怎樣判斷出是否進(jìn)行或者必須進(jìn)行分段呢?筆者發(fā)現(xiàn)在繪圖軟件中初步擬合的曲線形狀如果滿足以下要求，即曲線斜率符號(hào)的變化次數(shù)如果大于曲線與任意一條水平線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則必須進(jìn)行分段求解。

“曲線斜率符號(hào)的變化次數(shù)如果大于曲線與任意一條水平線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”這句話的幾何意義是無(wú)論我們?cè)鯓釉趚oy平面內(nèi)平移曲線，該曲線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)小于斜率符號(hào)變化的次數(shù)。如圖1所示。

圖1 特殊曲線圖

圖1中曲線的斜率符號(hào)變化有8次，而不管怎樣移動(dòng)曲線，曲線最多也只能與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6，小于8。不管怎樣移動(dòng)曲線與x軸的交點(diǎn)不可能超過(guò)8，即曲線方程最多只可能有6個(gè)根。即，不管怎樣改曲線方程的常數(shù)項(xiàng)，方程根最多只能是6個(gè)。出現(xiàn)了根的個(gè)數(shù)小于斜率變化的次數(shù)，就像力學(xué)中的超靜定問(wèn)題一樣，約束條件過(guò)多，無(wú)法僅用一個(gè)方程來(lái)表達(dá)整條曲線，必須進(jìn)行分段。

一般情況是曲線斜率符號(hào)的變化次數(shù)如果大于曲線與任意一條水平線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則必須進(jìn)行分段求解。那么怎樣分段呢?分段的原則是必須保證每段曲線至少與一條水平線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于或者等于該段曲線斜率符號(hào)變化的次數(shù)。

1.2 分段后或不分段曲線方程形式的選擇

函數(shù)形式的一般選擇原則:如果曲線的斜率的符號(hào)有多次改變并且曲線形狀較平緩，形狀象波浪線或正弦線，那么一般不選擇多項(xiàng)式，因?yàn)橐话愣囗?xiàng)式在斜率頻繁變化時(shí)很難保證曲線的平緩。這時(shí)就應(yīng)該考慮正弦或余弦函數(shù)。如果曲線的斜率只有一次改變或者沒(méi)有改變且曲線斜率值較大、變化快，則可以考慮多項(xiàng)式，這時(shí)用正弦或者余弦函數(shù)很難滿足要求。初步選定函數(shù)的形式后就可進(jìn)行曲線擬合，這可在Matlab中輕松實(shí)現(xiàn)。

如果樣條的形狀整體看起來(lái)是不光滑的，曲線的斜率有突變，在很小的區(qū)間內(nèi)而引起曲率很大的變化甚至變號(hào)，那么就應(yīng)該考慮對(duì)這樣的曲線最好進(jìn)行再分段擬合。再分段的原則是一般斜率突變的地方就是分段的地方，有幾個(gè)突變區(qū)間就分幾段。分段后，對(duì)每一段就可用上面的方法進(jìn)行求解，各區(qū)間曲線用過(guò)渡函數(shù)進(jìn)行過(guò)度［2］。

3 設(shè)計(jì)舉例

某圓柱凸輪測(cè)量廓線的坐標(biāo)如表1所列。

表1 凸輪坐標(biāo)點(diǎn)測(cè)量

在電子圖版中擬合樣條的形狀如圖2所示。

圖2 樣條曲線圖

從樣條中可看出，曲線的斜率發(fā)生了2次改變，而與水平線最多的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，所以可用一個(gè)方程來(lái)表示曲線，又因?yàn)樵撉€的形狀平緩且形似正弦，所以選擇正弦函數(shù)為擬合函數(shù)。采用最小二乘法解，根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)可選擇正弦函數(shù)［3］，設(shè):

再把F值代入下式中，式中y表示測(cè)量值即凸輪上升的高度。

利用Matlab可計(jì)算出:

即所求的曲線方程為:

3 結(jié)語(yǔ)

在凸輪廓線反求中，由于曲線的形狀變化多樣，擬合函數(shù)也多樣，給求解帶來(lái)了很大困難。但如果按照上述的步驟，充分考慮曲線的斜率，就可使曲線擬合函數(shù)的形式大大縮小范圍，也簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。

［1］ 王福明，賀正輝，索 瑾.應(yīng)用數(shù)值計(jì)算方法［M］.天津:科學(xué)出版社，1992.

［2］ 管榮法.凸輪與凸輪機(jī)構(gòu)［M］.北京:國(guó)防工業(yè)出版社，1993.

［3］ 彭國(guó)勛.肖正揚(yáng).自動(dòng)機(jī)械的凸輪機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1990.

［4］ 王省富.樣條函數(shù)及其應(yīng)用［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，1989.