具有階段結(jié)構(gòu)的修正捕食系統(tǒng)的周期解

張 雷

(無錫工藝職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，江蘇 宜興 214206)

近年來，具有階段結(jié)構(gòu)的種群動力學(xué)模型已引起了許多學(xué)者的關(guān)注，并取得了大量的研究成果[1-5]，在種群生態(tài)學(xué)研究中具有非常重要的理論意義和應(yīng)用價值.但這些研究都是在捕食與被捕食是絕對關(guān)系假設(shè)下提出的，而在自然環(huán)境中，存在大量的捕食與被捕食是相對的情況，即成年捕食者捕食被捕食者，但幼年捕食者不具備捕食能力，其有可能成為此系統(tǒng)中被捕食者的捕食對象，對此類捕食系統(tǒng)研究的文獻相對較少，通過對此類系統(tǒng)的研究可以給種群的保護提供依據(jù)，促進生態(tài)可持續(xù)發(fā)展及生物種群的多樣性.因此，本文討論如下具有階段結(jié)構(gòu)的修正捕食系統(tǒng)

(1)

其中x(t)表示食餌種群密度，y1(t),y2(t)分別表示t時刻幼年、成年捕食者的種群密度，a1(t)表示食餌種群的內(nèi)稟增長率，a2(t),a3(t)分別表示幼年、成年捕食者的死亡率，bi(t)(i=1,2,3)分別表示種群密度制約因素，c1(t)表示食餌種群對幼年捕食者的捕食轉(zhuǎn)化率，c2(t)表示食餌種群對幼年捕食者的捕食率，d1(t)表示成年捕食者對食餌的捕食率，d2(t)表示成年捕食者對食餌的捕食轉(zhuǎn)化率，β1(t)表示成年捕食者的生育率，β2(t)表示捕食者幼年到成年的轉(zhuǎn)化率. 假設(shè)該系統(tǒng)中的各項系數(shù)均為嚴(yán)格正的ω-周期函數(shù).本文主要通過利用重合度理論中的延拓定理討論系統(tǒng)的正ω周期解的存在性.

1 引理

1)對任意λ∈(0,1),Ly=λNy的任意解滿足y??Ω∩DomL；

2)對任意y∈?Ω∩KerL,QNy≠0且deg{JQN,Ω∩KerL,0}≠0.

2 主要結(jié)論

假設(shè)

定理1 若ri>0(i=1,2,3,4,5)，則系統(tǒng)(1)至少存在1個正ω周期解.

證明對系統(tǒng)(1)作變換x(t)=exp{u(t)},yi(t)=exp{vi(t)},i=1,2，則有

(2)

取X=Z={y(t)=(u(t),v1(t),v2(t))T∈C(R,R3)|y(t+ω)=y(t)}，記

則X,Z在范數(shù)||·||下是Banach空間.令

則L為有界線性算子，且

KerL={(u(t),v1(t),v2(t))T∈X|(u(t),v1(t),v2(t))T∈R3}，

于是

和

考慮算子方程Ly=λNy,λ∈(0,1),y∈X,即

(3)

將(3)式從0到ω積分并整理得

(4)

(5)

(6)

由(3)～(6)式，有

(7)

(8)

(9)

a1(ξ1)+c1(ξ1)ev1(ξ1)=b1(ξ1)eu(ξ1)+d1(ξ1)ev2(ξ1)，

(10)

β1(η1)ev2(η1)-v1(η1)=a2(η1)+b2(η1)ev1(η1)+c2(η1)eu(η1)，

(11)

β2(ζ1)ev1(ζ1)-v2(ζ1)+d2(ζ1)eu(ζ1)=a3(ζ1)+b3(ζ1)ev2(ζ1).

(12)

由(10)式得

(13)

1)當(dāng)v1(η1)≥v2(ζ1)時，由(11)式可得

即

(14)

從而

(15)

所以

(16)

由(13)和(14)式可得

即

(17)

2)當(dāng)v1(η1)

(18)

由(13)和(18)式可得

(19)

故

(20)

由(13)和(20)式可得

(21)

由1)和2)可知

u(ξ1)

(22)

由(7)、(8)、(9)和(22)得

(23)

(24)

(25)

a1(ξ2)+c1(ξ2)ev1(ξ2)=b1(ξ2)eu(ξ2)+d1(ξ2)ev2(ξ2)，

(26)

β1(η2)ev2(η2)-v1(η2)=a2(η2)+b2(η2)ev1(η2)+c2(η2)eu(η2)，

(27)

β2(ζ2)ev1(ζ2)-v2(ζ2)+d2(ζ2)eu(ζ2)=a3(ζ2)+b3(ζ2)ev2(ζ2).

(28)

3)當(dāng)v1(η2)≥v2(ζ2)時，由(28)式可得

即

(29)

從而

(30)

由(22) 、(26)和(30)式可得

即

(31)

4)當(dāng)v1(η2)

即

(32)

從而

(33)

由(22) 、(26)和(32)式可得

即

(34)

由(29)～(34)式可知，記

則

u(ξ2)>u1，v1(η2)>u2，v2(ζ2)>u2.

(35)

由(22)、(23)和(35)得

由(22)、(24)和(35)得

由(22)、(25)和(35)得

令U1=max{|M1|,|m1|}，U2=max{|M2|,|m2|}，U3=max{|M3|,|m3|}，則

|u(t)|

顯然Ui(i=1,2,3)的選取與λ無關(guān)，令U=U1+U2+U3+C且C取得足夠大，使得

從而，對任意λ∈(0,1),算子方程Ly=λNy的任意解滿足y??Ω.

下面考慮代數(shù)方程

對于參數(shù)μ∈[0,1]，容易驗證方程的解(u,v1,v2)T也滿足

|u|

(36)

由(36)，對于任意的y∈?Ω∩KerL，都有QNy≠0.由于lmQ和KerL同構(gòu)，取同構(gòu)映射J:lmQ→KerL，J(c)=c.構(gòu)造如下同倫映射：

G(μ,y)=μJQNy+(1-μ)H(y)，μ∈[0,1]，

且

再由(36)，對任意的y∈?Ω∩KerL和μ∈[0,1]，都有G(μ,y)≠0，且H(y)=0有唯一解.根據(jù)同倫不變性有

deg{JQN,Ω∩KerL,0}=deg{H,Ω∩KerL,0}≠0.

參考文獻:

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