Hilbert K-模上廣義框架的不相交性*

董芳芳

(天水師范學院數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 天水 741001)

HilbertK-模是一種特殊的HilbertC*-模，K為作用在Hilbert空間上的全體緊算子組成的C*-代數(shù)。顯然I?K，Bakic等[1]證明了這種模一定有特殊的標準正交基，其特殊點在于相同基向量的內(nèi)積為K中的一個秩1的自伴投影(見定義2)，下面我們先給出與本文有關(guān)的HilbertK-模的相關(guān)概念。

定義1[1]設(shè)K為作用在Hilbert空間Η上的全體緊算子組成的C*-代數(shù)，M是復數(shù)域C上的線性空間，M是左K-模，滿足：μ(kx)=(μk)x=k(μx)，其中任意的μ∈C，k∈K，x∈M，若〈,〉:M×M→K具有性質(zhì):

(i) 〈x,x〉≥0，?x∈M；

(ii) 〈x,x〉=0?x=0，?x∈M；

(iii) 〈x,y〉=〈y,x〉*，?x,y∈M；

(iv) 〈kx,y〉=k〈x,y〉，?k∈K，?x,y∈M；

定義2[1]稱序列{vλ,λ∈Λ}為HilbertK-模M的標準正交序列，若對任意的λ,μ∈Λ，

其中ξ∈H，且‖ξ‖=1 (H為Hilbert空間)，eξ，ξ∈K如下定義：

對任意的η∈H，eξ,ξ(η)=(η,ξ)ξ

定義3[2]稱HilbertK-模M中的序列{xλ,λ∈Λ}為框架，若存在常數(shù)c>0,d>0，使得對任意的x∈M，

若c=d=1，則稱{xλ,λ∈Λ}為正規(guī)緊框架，若只有右半部等式成立，則稱{xλ,λ∈Λ}為Bessel序列。

定義4[2]設(shè)M1,M2均為HilbertK-模，T:M1→M2是K-線性算子(即T(kx)=kT(x)，任意的x∈M1，k∈K)，若存在K-線性算子T*:M2→M1，使得對任意的x∈M1，y∈M2，〈Tx,y〉=〈x,T*y〉，則稱T是可伴算子。

注：若T可伴，則T必是K-線性的，且T有界，反之不然。

命題1[2]設(shè)M1,M2均為HilbertK-模，若T:M1→M2是可伴算子，則對任意的x∈M1，〈T(x),T(x)〉≤T2〈x,x〉。

1 Hilbert K-模上的廣義框架

我們再由上面{Aj,j∈J}的引入，顯然有

這樣如何把算子序列{Aj,j∈J}定義為框架，Bessel序列，正規(guī)緊框架，自然就與HilbertK-模上序列{xλ,λ∈Λ}定義為框架，Bessel序列，正規(guī)緊框架的定義方法聯(lián)系起來，當然為了區(qū)別起見，這里稱為廣義框架，廣義Bessel序列，廣義正規(guī)緊框架，并且與孫文昌[3-6]引入的Hilbert空間上的g-框架的概念相類似，但引進思路不同。下面我們給出HilbertK-模上的廣義框架的定義。

定義5 設(shè)M，Nj均為HilbertK-模，Aj:M→Nj為可伴算子，稱算子序列{Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義框架，若存在A>0，B>0，使得對任意的x∈M，有

特別地，若A=B=1，則稱{Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義正規(guī)緊框架，將a,b分別稱為其廣義下，上框架界；若只有右半不等式成立，則稱{Aj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義Bessel序列。

定義6[3]稱序列{Λj,j∈J}為M關(guān)于Nj的廣義標準正交基，若滿足：

2 Hilbert K-模上廣義框架的框架變換

由于在HilbertK-模M上，l2(K)不存在，也就是沒有意義將M膨脹，從而在以往的研究中，我們在M本身上引入了框架{xλ,λ∈Λ}的框架變換，并研究了其性質(zhì)。受這點啟發(fā)，下面我們在M自身上引入廣義框架{Aj,j∈J}的框架變換。

根據(jù)定義我們易知Φ為單射。事實上，由于{Aj,j∈J}為廣義框架，從而存在a,b>0，使得

即

a〈x,x〉≤〈Φ(x),Φ(x)〉≤b〈x,x〉

事實上，對任意的x∈M，

〈Φ*Φ(x),x〉=〈Φ(x),Φ(x)〉=

3 Hilbert K-模上廣義框架的不相交性

從文獻[7]中可以看到：Hilbert 空間上的廣義序列的性質(zhì)與其誘導序列有關(guān)，受這點的啟發(fā)，本節(jié)我們把HilbertK-模上廣義框架{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}的(強)不相交和它們各自的誘導序列聯(lián)系起來，并結(jié)合它們各自的廣義框架變換的值域，得到了一些重要結(jié)論。

定義8 設(shè){Aj,j∈J}為M1關(guān)于Nj的(正規(guī)緊)廣義框架，{Bj,j∈J}為M2關(guān)于Nj的(正規(guī)緊)廣義框架，且其誘導序列分別為{eξ,ξxj,λ,j∈J,λ∈Λ}和{eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}，稱{Aj,j∈J}與{Bj,j∈J}(強)不相交，若{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}為M1⊕M2的(正規(guī)緊)框架。

證明我們結(jié)合K-模上框架理論知識有：廣義正規(guī)緊框架{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}強不相交當且僅當{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}為M1⊕M2的正規(guī)緊框架。

必要性：若{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}為M1⊕M2的正規(guī)緊框架，則對任意的x∈M1，y∈M2，

⊕y,eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ〉·

〈eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,x⊕y〉=

〈x,x〉+〈y,y〉=〈x⊕y,x⊕y〉

即{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}為M1⊕M2的正規(guī)緊框架，本定理得證。

定理2 設(shè){Aj,j∈J}為M1關(guān)于Nj的g-框架，{Bj,j∈J}為M2關(guān)于Nj的廣義框架，其廣義框架變換分別為Φ1和Φ2，則{Aj,j∈J}與{Bj,j∈J}不相交當且僅當Φ1(M1)∩Φ2(M2)={0},且Φ1(M1)+Φ2(M2)是閉的，其中Φ1(M1)和Φ2(M2)分別為Φ1和Φ2的值域。

證明由于{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}為M1⊕M2的框架，則存在a>0,b>0，使得

即，{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}為M1⊕M2的框架當且僅當存在a>0,b>0，使得

a〈x⊕y,x⊕y〉≤〈Φ1(x)+Φ2(y),

Φ1(x)+Φ2(y)〉≤b〈x⊕y,x⊕y〉

(*)

必要性：反設(shè)0≠z∈Φ1(M1)∩Φ2(M2)，則存在u∈M1，v∈M2，使得Φ1(u)=Φ2(v)=z，不妨取w=-v∈M2，則

Φ1(u)+Φ2(w)=Φ1(u)-Φ2(v)=z-z=0，從而要使得(*)式成立，即a〈u⊕w,u⊕w〉≤〈Φ1(u)+Φ2(w),Φ1(u)+Φ2(w)〉=0≤b〈u⊕w,u⊕w〉，只能有〈u⊕w,u⊕w〉=0，即〈u,u〉+〈w,w〉=0，而〈u,u〉≥0,〈w,w〉≥0，因此u=w=0，即Φ1(u)=Φ1(0)=0,Φ2(v)=Φ2(-w)=Φ2(0)=0，也即z=0，這與反設(shè)矛盾，從而只有Φ1(M1)∩Φ2(M2)={0}。

充分性：我們引入K-線性算子：T:Φ1(M1)⊕Φ2(M2)→Φ1(M1)+Φ2(M2)，使得對?a∈Φ1(M1),?b∈Φ2(M2)，T(a⊕b)=a+b，則T是定義好的。

事實上，若a⊕b=0，即0=〈a⊕b,a⊕b〉=〈a,a〉+〈b,b〉，而〈a,a〉≥0,〈b,b〉≥0，從而只有a=b=0，即a+b=0。且T是可伴算子，T*:Φ1(M1)+Φ2(M2)→Φ1(M1)⊕Φ2(M2)，使得T*(e+f)=(e+f)⊕(e+f)，其中任意的e∈Φ1(M1),f∈Φ2(M2)。

我們先證明T是單射：對任意的a∈Φ1(M1),b∈Φ2(M2)，若a+b=0，即a=-b，則存在x∈M1,y∈M2，使得Φ1(x)=a=-b=-Φ2(y)，即Φ1(x)=-Φ2(y)=Φ2(-y)，而Φ1(M1)∩Φ2(M2)={0}，從而只有Φ1(x)=Φ2(-y)=0，即a=b=0，從而a⊕b=0，即T是單射。

我們再證明T是滿射，即T*是單射。事實上，對?e∈Φ1(M1),?f∈Φ2(M2)，若(e+f)⊕(e+f)=0，則 0=〈e+f)⊕(e+f),e+f)⊕(e+f)〉=2〈e+f,e+f〉，從而只有：e+f=0。

綜上，我們知T是雙射，即T為可逆算子，根據(jù)文獻[8]的相關(guān)知識，有：

‖T-1‖-2〈a⊕b,a⊕b〉≤

〈T(a⊕b),T(a⊕b)〉≤‖T‖2〈a⊕b,a⊕b〉

即

‖T-1‖-2〈a⊕b,a⊕b〉≤〈a+b,a+b〉≤

‖T‖2〈a⊕b,a⊕b〉

從而對任意的x∈M1,y∈M2，顯然：Φ1(x)∈Φ1(M1),Φ2(y)∈Φ2(M2), 則由上式，有

‖T-1‖-2〈Φ1(x)⊕Φ2(y),Φ1(x)⊕Φ2(y)〉≤

〈Φ1(x)+Φ2(y),Φ1(x)+Φ2(y)〉≤

‖T‖2〈Φ1(x)⊕Φ2(y),Φ1(x)⊕Φ2(y)〉

即

‖T-1‖-2〈Φ1(x),Φ1(x)〉+〈Φ2(y),Φ2(y)〉≤

〈Φ1(x)+Φ2(y),Φ1(x)+Φ2(y)〉≤

‖T‖2〈Φ1(x),Φ1(x)〉+〈Φ2(y),Φ2(y)〉

又由于{Aj,j∈J}和{Bj,j∈J}均為廣義框架，則存在a,b,c,d>0，使得

〈Φ1(x),Φ1(x)〉≤b〈x,x〉;

〈Φ2(x),Φ2(x)〉≤d〈x,x〉

從而

min{a,c}(〈x,x〉+〈y,y〉)≤

〈Φ1(x),Φ1(x)〉+〈Φ2(y),Φ2(y)〉≤

max{b,d}(〈x,x〉+〈y,y〉)

即

‖T-1‖-2min{a,c}〈x⊕y,x⊕y〉≤

〈Φ1(x)+Φ2(y),Φ1(x)+Φ2(y)〉≤

‖T‖2max{b,d}(〈x,x〉+〈y,y〉)=

‖T‖2max{b,d}〈x⊕y,x⊕y〉

從而{eξ,ξxj,λ⊕eξ,ξyj,λ,j∈J,λ∈Λ}為M1⊕M2的框架，即{Aj,j∈J}與{Bj,j∈J}不相交。

另外，由T的可逆性知，Φ1(M1)+Φ2(M2)是閉的。

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