指數(shù)平滑方法和VAR模型的預測效果的探討

周智敏

摘要：預測是計量經(jīng)濟學中重要的內(nèi)容，關(guān)于一些重要的經(jīng)濟指標諸如：GDP，通脹，股價，匯率，失業(yè)率等我們?nèi)绾晤A測呢？本文將通過對一個實例研究曾經(jīng)相當流行的預測方法：指數(shù)平滑法及目前仍舊流行的VAR方法的預測效果?？偟貋碚f，基于時間序列數(shù)據(jù)進行經(jīng)濟預測的方法有五種：單方程回歸模型；聯(lián)立方程回歸模型；ARIMA模型；VAR模型及指數(shù)平滑法，當然這些預測方法均基于所用的時間序列平穩(wěn)這一前提（至少通過適當變換可使之平穩(wěn)）。

關(guān)鍵詞：計量經(jīng)濟學；預測；時間序列

本文將簡介雙指數(shù)平滑方法Holt-winter方法及VAR模型，并且將重點以一個數(shù)值例子：加拿大的貨幣供給量，來直對比觀展示雙指數(shù)平滑方法，holt-winter和VAR模型的預測效果。

指數(shù)平滑法：

指數(shù)平滑法（Exponential Smoothing，ES）是一項既可以用于對時間序列數(shù)據(jù)進行平滑處理，又可以用于對其預測的技術(shù)手段。時間序列數(shù)據(jù)本身就是一系列的觀察數(shù)值。被觀測到的現(xiàn)象既可以是隨機過程也可以是有序的噪音過程。在移動平均平滑法中，過去的觀測值被賦予相同的權(quán)重，而指數(shù)平滑法則依時間遠近對其賦予逐漸遞增的權(quán)重。指數(shù)平滑法常用于金融市場和經(jīng)濟數(shù)據(jù)，但它也可以用于任何離散重復的測量當中。最簡單的指數(shù)平滑方法只能被用于沒有任何系統(tǒng)性趨勢或者季節(jié)因素的數(shù)據(jù)。

單指數(shù)平滑法。平滑值公式：

y（1）t=αyt+（1-α）yt-1（1）

其中α為平滑系數(shù)且α∈[0-1]

預測值公式：

y∧t+1=αyt+（1-α）y∧t

實踐中α可取多個值，分別計算其預測誤差，然后再選擇誤差相對而言最小的那個，在eviews實踐操作中，軟件會自動給定一個合適值。另外可以使用第一期的觀察值作為初始值，或用前2-3期觀測值的品均值亦或由軟件本身生成。

雙指數(shù)平滑法則基于單指數(shù)平滑法，其預測公式為：

y∧t-T=at+btT

參數(shù)估計公式為：

a1=2y（1）t-y（2）t

bt=α1-α（y（1）t-y（2）t）

Holter-Winter-無季節(jié)趨勢（雙參數(shù)）

此法適用于具有線性時間趨勢卻沒有因季節(jié)趨勢導致的變差的情形。它和雙指數(shù)平滑法均以線性趨勢無季節(jié)成分進行預測。不同的是，雙指數(shù)平滑法只用單個參數(shù)，而HW方法則用到雙參數(shù)。平滑后的序列由下式給出：

y∧t+k=at+btk

參數(shù)估計式：

at=αyt+（1-α）（at-1-bt-1）

bt=β（at-at-1）+（1-β）bt-1

其中初始值公式：

a0=y1b0=（y2-y1）+（y4-y3）2

它的系數(shù)的確定過程與平滑系數(shù)方法基本相同

向量自回歸（VAR）模型：

向量自回歸模型（vector autoregressive model）是一種計量經(jīng)濟學模型，它被用于獲取多個時間序列間的線性相關(guān)性。VAR模型通過包含多個變量將單變量回歸方程一般化。在一個VAR模型中，所有的變量被對稱地進行結(jié)構(gòu)性處理。盡管估計系數(shù)通常不同。每個變量都有一個方程解釋之，解釋變量為它自己的滯后項和其各他變量的滯后項。VAR的建模不像結(jié)構(gòu)方程一樣，它不依賴于其他具有影響因素的變量。VAR模型唯一重要的信息就是一系列的變量，它們被假設成相互之間具有內(nèi)部影響。

VAR模型的形式為（N個變量，滯后k期的）

Yt=μ+Π1Yt-1+Π2Yt-2+…+ΠkYt-k+ut，ut～IID（0，Ω）

其中：

Yt=（y1，ty2，t…yN，t）′

μ=（μ1μ2…μN）′

Πj=π11，jπ12，j…π1N，j

π21，jπ22，j…π2N，j

πN1，jπN2，j…πNN，j，j=1，2，…，k

ut=（u1tu2，t…uNt）′

下面將分別用雙指數(shù)平滑法，Holt-Winter 方法及VAR模型估計1988年加拿大4個季度的貨幣供給量。我們手頭數(shù)據(jù)如下：

年/季M1R年/季M1R

1979Q122175.0011.133331985Q129018.6610.51667

1979Q222841.0011.166671985Q229398.669.666670

1979Q323461.0011.800001985Q330203.669.033330

1979Q423427.0014.183331985Q431059.339.016670

1980Q123811.0014.383331986Q130745.3311.03333

1980Q223612.3312.983301986Q230477.668.733330

1980Q324543.0010.716671986Q331563.668.466670

1980Q425638.6614.533331986Q432800.668.400000

1981Q125316.0017.133331987Q133958.337.250000

1981Q225501.3318.566671987Q235795.668.300000

1981Q325382.3321.016661987Q335878.669.300000

1981Q424753.0016.616651987Q436336.008.700000

1982Q125094.3315.350001988Q136480.338.61667

1982Q225253.6616.049991988Q237108.669.13333

1982Q324936.6614.316671988Q33842310.05

1982Q425553.0010.883331988Q438480.6610.83333

1983Q126755.339.616670

1983Q227412.009.316670

1983Q328403.339.333330

1983Q428402.339.550000

1984Q128715.6610.08333

1984Q228996.3311.45000

1984Q328479.3312.45000

1984Q428669.0010.76667

數(shù)據(jù)來源：B.Bhaskar Rao， ed. ， Contegrartion for the Applied Economist， St. Martins Press， New York， 1994， pp.210-213

其中：M1為貨幣供給，R為利率，該數(shù)據(jù)為經(jīng)過季節(jié)調(diào)整后的數(shù)據(jù)，并采用eviews7.2作為估計軟件。由于我們要估計1988年4個季度的M1所以我們只采用1979q1至1987q4的數(shù)據(jù)來估計，再將估計結(jié)果用來和1988年實際的4個季度M1供給量做對比。

雙指數(shù)平滑法處理結(jié)果：

Sample： 1979Q1 1987Q4

Included observations： 36

Method： Double Exponential

Original Series： M1

Forecast Series： M1SM

Parameters：Alpha0.6520

Sum of Squared Residuals14709964

Root Mean Squared Error639.2262

End of Period Levels：Mean36404.47

Trend637.3617

其中可以看出軟件給出的α=0.625

擬合效果：

由上圖可看出用雙指數(shù)平滑方法的擬合效果總地來說比較可觀

預測值與實際值比較：

年份/季度預測值實際值相對誤差

1988Q137041.8336480.331.5%

1988Q237679.1937108.661.5%

1988Q338316.56384230.2%

1988Q438953.9238480.661.2%

Holt-winter方法處理結(jié)果：

Sample： 1979Q1 1987Q4

Included observations： 36

Method： Holt-Winters No SeasonalOriginal Series： M1

Forecast Series： M1SM

Parameters：Alpha1.0000

Beta0.0000

Sum of Squared Residuals11442619

Root Mean Squared Error563.7823

End of Period Levels：Mean36336.00

Trend346.0183

其中軟件給定的α=1；β=0

擬合圖：

由此得出1988年4個季度M1供給量的預測值及相對誤差為：

年份/季度預測值實際值相對誤差

1988Q136682.0236480.330.5%

1988Q237028.0437108.660.2%

1988Q337374.06384230.2%

1988Q437720.0738480.660.1%

VAR模型估計：

首先確定VAR模型滯后長度（階數(shù)）由eviews給出的滯后選擇標準我們可以看到：

VAR Lag Order Selection Criteria

Endogenous variables： M1 R

Exogenous variables： C

Sample： 1979Q1 1988Q4

Included observations： 31

LagLogLLRFPEAICSCHQ

0-3687983NA 84036368 2392247 2401498 2395263

1-2947986 1336768 9197207 1940636 1968391 1949684

2-2860481 1467827* 6799737* 1909988* 1956246* 1925067*

3-2842272 2819562 7906000 1924046 1988807 1945157

4-2809143 4702172 8419044 1928479 2011743 1955621

5-2764030 5821014 8395083 1925181 2026947 1958354

* indicates lag order selected by the criterion LR： sequential modified LR test statistic （each test at 5% level）

FPE： Final prediction error

AIC： Akaike information criterion

SC： Schwarz information criterion

HQ： Hannan-Quinn information criterion

當滯后階數(shù)選為2階滯后時，AIC及SC值最小，因而選取2階滯后的VAR模型。

估計結(jié)果：

Vector Autoregression Estimates

Sample （adjusted）： 1979Q3 1987Q4

Included observations： 34 after adjustments

Standard errors in （ ） & t-statistics in [ ]

M1R

M1（-1）10375380001091

（016048）（000059）

[ 646509][ 185825]

M1（-2）-0.044662-0.001255

（0.15591）（0.00057）

[-0.28646][-2.19871]

R（-1）-234.88481.069082

（45.5223）（0.16660）

[-5.15977][ 6.41709]

R（-2）160.1559-0.223365

（48.5283）（0.17760）

[ 3.30026][-1.25768]

C1451.9765.796446

（1185.59）（4.33894）

[ 1.22468][ 1.33591]

R-squared0.9881980.806661

Adj. R-squared0.9865710.779993

Sum sq. resids5373508.71.97045

S.E. equation430.45721.575354

F-statistic607.072330.24882

Log likelihood-251.7446-60.99213

Akaike AIC15.102633.881890

Schwarz SC15.327094.106355

Mean dependent28216.2611.75049

S.D. dependent3714.5073.358613

Determinant resid covariance （dof adj.）458484.8

Determinant resid covariance333551.7

Log likelihood-312.6862

Akaike information criterion18.98154

Schwarz criterion19.43047

由回歸結(jié)果可看出R方及調(diào)整的R方均超過0.98因而，用來做預測效果會比較理想；F值顯著；在我們所關(guān)注的方程：

M1 = C（1，1）*M1（-1） + C（1，2）*M1（-2） + C（1，3）*R（-1） + C（1，4）*R（-2） + C（1，5）

中除了M1（-2）前的系數(shù)t值告訴我們它不顯著之外，其余系數(shù)均在5%的顯著條件下顯著。該VAR模型的具體形式為：

VAR Model - Substituted Coefficients：

===============================

M1 = 1.03753826655*M1（-1） - 0.0446620254822*M1（-2） - 234.884823236*R（-1） + 160.155900514*R（-2） + 1451.97612976

R = 0.00109139520558*M1（-1） - 0.0012545367784*M1（-2） + 1.06908165291*R（-1） - 0.22336505476*R（-2） + 5.79644632286

由此得出1988年4個季度M1供給量的預測值及相對誤差為：

年份/季度預測值實際值相對誤差

1988Q13699636480.331.4%

1988Q237584.337108.661.2%

1988Q338030.3384231%

1988Q438334.238480.660.3%

結(jié)論

由上的估計結(jié)果及分析我們可看出，在該例中Holter-Winter模型的預測效果明顯較好，其相對預測誤差均在0.5%的范圍之內(nèi)。而VAR及雙指數(shù)平滑方法的預測效果不相仲伯，但它們的相對預測誤差也均不超過1.5%.（作者單位：中南財經(jīng)政法大學）

參考文獻：

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