等譜AKNS方程的約化

（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

尋求非線性偏微分方程的精確解，一直是孤子理論研究中的重要內(nèi)容之一。目前，已經(jīng)有許多成功的方法，如反散射變換方法[1]、Dabux變換方法[2]、Hirota[3]方法、Wronskian[4-7]技巧等等，其中，Wronskian 技巧有明顯的優(yōu)越性，Wronskian 行列式每一列是其前一列的導(dǎo)數(shù)，因而這種類型的行列式的高階導(dǎo)數(shù)只是少數(shù)幾個(gè)同階行列式的和構(gòu)成，使得由此表達(dá)的解能直接代入方程驗(yàn)證。孤子方程的雙Wronskian 解是對單Wronskian解的推廣，本文推廣雙Wronskian行列式元素滿足的條件，通過等譜AKNS 方程的約化，得出非線性Schrodinger 和mKdV 方程的新雙Wronskian 解，包括有理解。

AKNS 方程是非常重要的非線性發(fā)展方程，二階和三階等譜的AKNS方程組分別為：

令r=q?（?為共軛復(fù)數(shù)），且以-it代替t時(shí)(i2=-1)，方程（1）約化為等譜的非線性Schrodinger 方程：

類似的，令q=r=v，方程（2）約化為等譜的mKdV方程：

本文組織如下：第1 部分通過約化分別得到非線性Schrodinger和mKdV方程的新雙Wronskian解；第2部分，給出2個(gè)方程的雙Wronskian 形式的有理解；第3部分給出結(jié)論。

1 非線性Schrodinger 和mKdV 方程的新雙Wronskian解

在方程（1）中若施以分式變換：

則g、f、h 滿足雙線性方程：

類似的，在方程（2）中施以分式變換（5），則得到其雙線性方程：

式（7）中，D是著名的Hirota算子[3]，定義如下：

為得到方程（3）新的雙Wronskian解，引入記號[6]：

式中，φ、ψ是2個(gè)N+M 維的列向量。

運(yùn)用Wronskian技巧，可以證明下面2個(gè)引理：

引理1[8]：二階AKNS方程（1）的雙線性方程（6）有下列雙Wronskian行列式解：

式（8）中，φ、ψ 滿足條件：

A是一個(gè)(N+M+2)×(N+M+2)的獨(dú)立于t 和x任意實(shí)矩陣。

引理2[9]：三階AKNS方程（2）的雙線性方程（7）有雙Wronskian行列式解（8），φ、ψ 滿足下列條件：

由引理1可以推出方程（11）的新雙Wronskian解。定義矩陣：

式（12）中：

設(shè)

由行列式性質(zhì)，可以知道f=f?，

定理1：等譜的非線性Schrodinger方程（3）的雙線性方程（6）有如下新雙Wronskian解：

與二階AKNS方程類似，

式（16）中：

定理2：等譜的非線性mKdV方程（4）的雙線性方程（15）有如下新雙Wronskian解：

2 非線性Schrodinger和mKdV方程的有理解

從式（9）中可得到：

其中，C、D為N+M+2 維常數(shù)列向量。如果矩陣

則AN+M+2=0，這時(shí)式（19）可被截?cái)酁?/p>

相應(yīng)的，

式中，j=1,2,…,N+M+2。

令c1=d1=1，ck=dk=0()

k=2,3,…,N+M+2，有

當(dāng)以-it代替t時(shí)，從式（22）可以看出：

從而推知f?=f，g?=h，即r=q?，這樣可得到定理3。

定理3：等譜非線性Schrodinger 方程（3）有雙Wronskian形式的有理解：

其中，φj、ψj滿足條件（22）。

類似的，從式（10）中可得到

式中，C′、D′為N+M+2 維常數(shù)列向量。

如果矩陣

則AN+M+2=0，這時(shí)式（23）可被截?cái)酁椋?/p>

相應(yīng)的，

式中，j=1,2,…,N+M+2。

取c′1=d′1=1，c′j=d′j=0()

j=2,3,…,N+M+2，有：

從式（25）中可知φj=(-1)j-1ψj，從而可推知g=h即q=r，這樣可以得到定理4。

定理4：等譜非線性mKdV 方程（4）有雙Wronskian形式的有理解：

其中，φj和ψj滿足式（25）。

3 結(jié)論

在本文中，通過等譜AKNS 方程的約化，分別構(gòu)造出Schrodinger 方程，mKdV 方程的新雙Wronskian解，并推導(dǎo)出它們各自雙Wronskian形式的有理解。

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