無限時(shí)間終端g－期望的Jensen不等式

孫豹

(中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇徐州221116)

0 引言

由文獻(xiàn)［1］可知，在終端時(shí)刻T為有限的情形下，對如下形式的倒向隨機(jī)微分方程(以下簡稱BSDE)只要g關(guān)于y、z是Lipschitz的，ξ與隨機(jī)過程g(t，0，0)是平方可積的，那么方程(1)有唯一的一對平方可積的適應(yīng)解。將式(1)的唯一解記為(Yt(g，T，ξ))，Zt(g，T，ξ)t∈［0，T］)。在對任意(t，y)，g還滿足g(t，y，0)=0條件下，S.G.Peng［2］給出了g－期望與條件g－期望的概念。隨著這些概念的提出，得到了關(guān)于g－期望的很多性質(zhì)。

文獻(xiàn)［3－7］研究了在T＜∞時(shí)基于g－期望的Jensen不等式，文獻(xiàn)［7］給出了T＜∞，且在Lipschitz條件下基于g－期望的Jensen不等式成立的充分必要條件。近年來，關(guān)于T=∞，以及對Lipschitz減弱條件下的BSDE的研究成為重點(diǎn)。文獻(xiàn)［4－12］研究了當(dāng)T=∞時(shí)BSDEs的一些基本理論，文獻(xiàn)［9］研究了當(dāng)T=∞時(shí)，且非一致Lipschitz下的BSDE的解的存在唯一性，并且推廣了g－期望與條件g－期望的概念。筆者在此基礎(chǔ)上研究了在非Lipschitz條件下，當(dāng)T=∞時(shí)g－期望的Jensen不等式成立的充要條件。

1 預(yù)備知識

設(shè)0＜T≤∞，當(dāng)T=∞時(shí)［0，T］=［0，∞)。(Ω，F(xiàn)，P)是一完備的概率空間，(Bt)t≥0是d維布朗運(yùn)動(dòng)，B0=0，設(shè)(Ft)t≥0是由此布朗運(yùn)動(dòng)生成的自然σ域流，

式中N為由所有P零測度集組成的子集類。

文中總假定在概率空間(Ω，F(xiàn)T，P)上研究問題，現(xiàn)給定一些記號:

L2(Ω，F(xiàn)t，P):{ξ:ξ是Ft可測的隨機(jī)變量且滿足E［ξ2］＜∞}。

考慮下列形式的一維倒向隨機(jī)微分方程:

T為終端時(shí)刻可以為有限或者無限，倒向隨機(jī)微分方程生成元函數(shù)g為

且對任意的(y，z)∈(R×Rd)，(g(t，y，z))t∈［0，T］是循序可測過程，并且g滿足下列條件:

(H1)g關(guān)于(y，z)滿足對t非一致的Lipschitz條件，即存在兩個(gè)定義在［0，T］上的正值確定性函數(shù)u(x)和v(x)滿足，且使得dp×dt－a.s.，

(H3)對dt－a.e.，t∈［0，T］，存在兩個(gè)常數(shù)δt＞0和Kt＞0，

下面給出的定義1和2中，均假設(shè)g滿足(H1)和(H4)。

定義1［9］(g－期望)εg［ξ］:L2(Ω，F(xiàn)T，P)→R，定義εg［ξ］=Y0(g，T，ξ)。

定義2［9］(條件g－期望)ξ關(guān)于Ft的條件g－期望定義為

在以下引理中，均假設(shè)g滿足(H1)和(H4)。

引理1［9］(1)(保常性)εg［c］=c，?c∈R;

(2)(單調(diào)性)εg［X1］≥εg［X2］，如果X1≥X2，a.s.;

(3)(嚴(yán)格單調(diào)性)εg［X1］＞εg［X2］，如果X1≥X2，a.s.，且P(X1＞X2)＞0。

引理2［9］(1)如果X是Ft可測的，那么εg［X Ft］=X;

(2)對任意t∈［0，T］，有εg［εg［XFt］］=εg［X］。

引理3［9］)中滿足式(2)的唯一的隨機(jī)變量η，

引理4［9］假設(shè)g滿足(H1)和(H3)，如果g不依賴于y，則

注1非一致Lipschitz條件下，文獻(xiàn)［9］給出了引理1～4的證明，文中不再證明。

引理5［13］0＜T≤∞，令g滿足(H1)和(H2)，且1≤p＜2，則對任意(y，z)∈R×Rd如式(3)對t∈［0，T］中幾乎所有的t都成立，

2 主要結(jié)果

設(shè)g滿足條件(H1)、(H2)和(H3)，(y，z)∈R×，記

如果g不依賴于y，那么記

定理1設(shè)生成元g滿足條件(H1)、(H2)和(H3)。

(i)如果對?0≤t＜T，0＜ε≤T－t，?a，b，y∈R，z∈Rd，有a.s.，

則g不依賴于y，g(t，0)=0，dP×dt－a.s.并且有

進(jìn)一步，如果設(shè)g也滿足(H4)，則以下兩個(gè)條件等價(jià):

(ii)g不依賴于y，且dP×dt－a.s.，z∈Rd，g(t，az)≥ag(t，z)。

(iii)對?a，b∈R，ξ∈L2(Ω，F(xiàn)T，P)，有εg［aξ+b］≥aεg［ξ］+b。

證明(i)對任意t∈［0，T］，y∈R，z∈Rd，足夠大的正整數(shù)n，滿足，由式(4)有P－a.s.，

P－a.s.，g(t，y，z)≥g(t，0，z)。

由引理5(表示定理)對幾乎處處的t成立，可知λ(［0，T］/∩)=0，因此對每個(gè)y∈R，z∈Rd，有

dP×dt－a.s.，g(t，y，z)≥g(t，0，z)。由(i)可知

用相同的方法可證得

所以對任意y∈R，z∈Rd，有

又因?yàn)間對y滿足非一致Lipschitz的，所以對任意z∈Rd，有

因此，由式(7)可知，g是獨(dú)立于y的。

類似于文獻(xiàn)［7］中的方法，可以證明g是關(guān)于z是超奇次的，即

(ii)?(iii)，若g滿足條件(H1)、(H2)、(H3)和(H4)且

則

證明對ξ∈L2(Ω，F(xiàn)T，P)，令(yt，zt)t∈［0，T］為BSDE(8)的解:

考慮式(10)、(11)，因?yàn)?a∈R，g(t，az)≥ag(t，z)，即有g(shù)(t，z)≥(t，z)。所以由比較定理知

即

特別的?a∈R，ξ∈L2(Ω，F(xiàn)T，P)，有

(iii)?(ii)，由(i)的證明過程可知顯然成立。

注2定理1中關(guān)于g的條件若滿足條件(H4)，則必然滿足條件(H2)和(H3)，那么g只要滿足條件(H1)和(H4)就可以得到(iii)?(ii)。

注3若g滿足條件(H1)、(H4)，則(ii)和(iii)與(iv)等價(jià)。

(iv)基于g－期望的Jensen不等式關(guān)于一般的凸函數(shù)φ成立，即對任意ξ∈L2(Ω，F(xiàn)T，P)，凸函數(shù)φ:R→R，如果φ(ξ)∈L2(Ω，F(xiàn)T，P)，則

顯然(iv)?(iii)，(ii)?(iv)的證明過程可參照文獻(xiàn)［7］中的證明方法。

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