一種可實現(xiàn)的仿射組合自適應(yīng)濾波算法*

郭業(yè)才，張冰龍，吳彬彬

(1.南京信息工程大學(xué) 江蘇省氣象探測與信息處理重點實驗室,江蘇 南京210044;2.南京信息工程大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院,江蘇 南京 210044)

在自適應(yīng)算法的設(shè)計中，收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差是兩個重要的指標(biāo)，然而在一般的自適應(yīng)算法設(shè)計中，這兩個指標(biāo)往往不能同時達到最佳值，即收斂速度快、穩(wěn)態(tài)誤差大，而收斂速度慢、穩(wěn)態(tài)誤差小[1]。為了獲得收斂速度快、穩(wěn)態(tài)誤差小的自適應(yīng)算法，研究人員提出了自適應(yīng)濾波算法的凸組合方案[2-5]，它的優(yōu)點在于組成結(jié)構(gòu)相對簡單，并且在穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)情況下均有良好的性能[6]。

最近，自適應(yīng)仿射組合算法被提出[7]，它是凸組合算法的推廣。在凸組合算法中，采用sigmoid函數(shù)作為組合參數(shù) λ(n)，因此 λ(n)的取值范圍是[0,1]；而對于仿射組合算法，組合參數(shù) λ(n)的取值不受區(qū)間[0,1]的限制，它的取值在穩(wěn)態(tài)下為負(fù)值[8]。組合參數(shù)λ(n)是仿射組合算法中重要的控制因子，通過對組合參數(shù)的調(diào)整，可以實現(xiàn)對每個子濾波器的切換。從理論上說，該仿射組合算法可以獲得每個子自適應(yīng)濾波算法的優(yōu)點，即同時具有快的收斂速度和小的穩(wěn)態(tài)誤差。

本文分析了仿射組合自適應(yīng)濾波算法的瞬態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程，并提出了一種可實現(xiàn)的更新組合參數(shù)的方法。仿真結(jié)果表明，該組合參數(shù)的性能曲線同時具有快的收斂速度和低的穩(wěn)態(tài)誤差，與最佳性能曲線一致。

1 仿射組合自適應(yīng)濾波算法

仿射組合自適應(yīng)濾波算法原理框圖如圖1所示。

圖1 仿射組合自適應(yīng)濾波算法框圖

圖1中，每個濾波器均采用 LMS算法，濾波器 1采用的 LMS算法，步長為 μ1；濾波器 2采用的 LMS算法，步長為 μ2；假設(shè) μ2=δμ1,0＜δ＜1。

LMS自適應(yīng)算法濾波器權(quán)向量Wi(n)更新公式為:

其中，W1(n)是濾波器 1的 N階權(quán)向量，W2(n)是濾波器 2的 N階權(quán)向量。假設(shè) eo(n)是均值為 0、方差為 σo2的噪聲信號，并且和其他信號統(tǒng)計獨立。U(n)為輸入信號，U(n)=[u(n),…,u(n-N+1)]T。

組合后的輸出信號為：

式中，yi(n)=WiT(n)U(n)，i=1,2,λ(n)為組合 參數(shù)。 系統(tǒng)誤差為:

將 yi(n)代入式(4)中，可得:

式中，W12(n)=W1(n)-W2(n)

下面求出組合參數(shù)λ(n)的最佳表達式λo(n)。由式(3)、(5)、(6)可得:

式中，Wo2(n)=Wo(n)-W2(n)

令Ru=E[U(n)UT(n)|W2(n),W12(n)]

由式(7)，對 U(n)取期望，可得:

解方程式(8)可得λ(n)的最佳表達式:

經(jīng)過適當(dāng)運算，可得組合參數(shù)λ(n)的穩(wěn)態(tài)表達式為:

式(10)表明，當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，λo(n)＜0。

由于兩個子濾波器對最佳權(quán)向量的估計有一定的相關(guān)性，因此在穩(wěn)態(tài)時，λ(n)＜0表明采用子濾波器 1估計系統(tǒng)最優(yōu)權(quán)向量值應(yīng)當(dāng)減去用子濾波器2估計系統(tǒng)最優(yōu)權(quán)向量的值，從而避免噪聲信號及兩個子濾波器對最佳權(quán)向量估計的相關(guān)性所帶來的誤差干擾[9]。

2 歸一化組合參數(shù)λ(n)的更新公式

由于式(9)是在理想情況下得出的，在實際應(yīng)用中難以實現(xiàn)，因此本文提出一種可實現(xiàn)的歸一化組合參數(shù)λ(n)的更新公式。

對E[e2(n)|W2(n),W12(n)]求偏導(dǎo)并使它等于0，可得:

由式(7)及式(11)，可得用隨機梯度搜索算法估計最佳組合參數(shù)λo(n)的迭代表達式為:

式(12)是組合參數(shù)λ(n)的一階隨機時變遞歸表達式。若 μλ＜1時，式(12)較穩(wěn)定，但是跟蹤子濾波器的性能較差；若 μλ＞1時，系統(tǒng)的跟蹤性能較好，但是容易導(dǎo)致式(12)的初始階段調(diào)整的不穩(wěn)定。因此這里采用類似于NLMS算法形式的功率歸一化方案調(diào)整參數(shù) μλ，使 μλ在初始階段小于1，以保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性；在過渡階段及穩(wěn)態(tài)階段使μλ大于1，以保證系統(tǒng)對子濾波器具有較好的跟蹤性能。令:

式中，φ為參數(shù)，ε是很小的正常數(shù)，p(n)是信號y1(n)-y2(n)的低通濾波功率估計值，且:

式中，α 和 β為遺忘因子，0＜α,β＜1，通常選取 α 為接近1的值，以便 μλ(n)與組合參數(shù) λ(n)有很小的相關(guān)性。 因此式(12)可寫為:

3 仿真分析

假設(shè)未知系統(tǒng)為7階FIR濾波器模型，自適應(yīng)濾波器的階次與未知模型階次相同,并且每次仿真均采用100次蒙特卡洛循環(huán),假設(shè)Wo(n)=[0.01，0.03，0.12,0.17,0.11,0.08,0.02],δ=0.2,W1(0)=0,W2(0)=0,α=0.99,β=0.01,φ=3×10-3,ε=0.8×10-3。 系統(tǒng)輸入信號為均值為 0，方差為1的高斯白噪聲信號。這里采用均方偏差MSD(Mean Square Deviation)表征仿射組合算法的性能。

圖2給出了迭代函數(shù)μ(n)曲線。圖3給出了仿射組合濾波算法組合參數(shù)λ(n)曲線。圖3中虛線表示由式(9)得出的最佳組合參數(shù)λo(n)的曲線，實線表示采用式(15)得到的曲線。圖3表明，本文所提出的組合參數(shù)λ(n)的曲線和最優(yōu)組合參數(shù)λ(n)的曲線幾乎一致，在穩(wěn)態(tài)時，組合參數(shù)的值小于零。

圖 2迭代函數(shù)μλ曲線

圖 3采用式(15)得出的組合參數(shù) λ(n)曲線

圖4展示了在理想情況下仿射組合自適應(yīng)濾波算法的均方偏差性能曲線。圖4中收斂較快的曲線是濾波器1的收斂曲線，收斂較慢的曲線是濾波器2的收斂曲線，由于 μ1＞μ2，濾波器 1的收斂速度比濾波器 2的收斂速度快。虛線表示根據(jù)理論推導(dǎo)所得出的理想組合算法的均方誤差曲線。

圖5和圖6展示了采用式(15)作為組合參數(shù)得出的仿射組合濾波算法穩(wěn)態(tài)偏差性能曲線。兩個組成濾波器的步長是固定的，圖5中的濾波器1的步長 μ1=0.1，濾波器 2的步長 μ2=0.02。圖 6中的 μ1=0.1,μ2=0.03。從圖5和圖6可以看出，組合后的均方偏差MSDc隨著濾波器1和濾波器2的均方偏差變化而變化。在初始階段，組合濾波器的性能曲線跟隨濾波器1的性能曲線；在過渡階段，組合濾波器的性能曲線逐漸由濾波器1過渡到濾波器2；穩(wěn)態(tài)階段，組合濾波器的性能曲線跟隨濾波器2的性能曲線，改變組成濾波算法的步長值，組合后的算法性能曲線仍然具有良好的跟蹤性能。

圖5 仿射組合自適應(yīng)濾波算法的MSD性能曲線(a)

圖6 仿射組合自適應(yīng)濾波算法的MSD性能曲線(b)

仿射組合自適應(yīng)濾波算法是凸組合算法的推廣，仿射組合自適應(yīng)濾波算法的組合參數(shù)λ(n)不受區(qū)間[0,1]的限制。在仿射組合算法中，每個子濾波器對未知信道產(chǎn)生獨立的估計，因此存在一個最佳仿射組合系數(shù)使穩(wěn)態(tài)偏差最小。本文對兩個自適應(yīng)濾波器組成的仿射組合自適應(yīng)濾波算法的性能進行了分析研究，提出了一個可實現(xiàn)的組合參數(shù)λ(n)的更新公式，并得出了相應(yīng)的仿真結(jié)果。仿真結(jié)果表明，本文提出的組合參數(shù)更新公式與最佳組合參數(shù)更新公式一致，采用該組合參數(shù)的仿射組合算法可以實現(xiàn)自適應(yīng)算法快的收斂速度和低的穩(wěn)態(tài)偏差，對信號處理領(lǐng)域研究具有一定的參考價值。

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