復(fù)變函數(shù)中未定式極限的求解*

王 磊,侯 黎

(1.焦作師范高等專科學(xué)校 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，河南 焦作 454000; 2.河南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 焦作 454100)

0 引言

在實分析中，如數(shù)學(xué)分析，高等數(shù)學(xué)等相關(guān)課程中，未定式的極限是可以利用洛必達(dá)法則求解的，洛必達(dá)法則是利用拉格朗日中值定理證明得出的.但在復(fù)分析的復(fù)變函數(shù)課程里，微分中值定理是不成立的，例如復(fù)指數(shù)函數(shù)ez就是一個周期函數(shù)，但是其導(dǎo)數(shù)恒不為0，明顯羅爾中值定理不成立，羅爾的后續(xù)定理如拉格朗日中值定理，柯西中值定理隨之亦不成立，本文進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.

另外，在z→z0時，分式未定式極限的求解中，我們會注意到z0點往往就是分子，分母的零點或者極點，而復(fù)變函數(shù)課程中對零點的階，極點的階是有詳細(xì)研究的，本文順勢給出了階的比較法求解未定式極限.

1 未定式型的極限

其實，上述形式的洛必達(dá)法則還是可以改進(jìn)的，因為復(fù)變函數(shù)中解析性是非常好的，如無窮可微，級數(shù)展開等等，本文給出如下形式的洛必達(dá)法則：

綜上，可知級數(shù)展式為：f(z)=cp(z-z0)p+cp+1(z-z0)p+1+cp+2(z-z0)p+2+…

g(z)=bq(z-z0)q+bq+1(z-z0)q+1+bq+2(z-z0)q+2+… 其中cp,bq≠0

在上述極限求解中，只需要分子，分母同除以min{p,q}次即可得出結(jié)論.

又由冪級數(shù)和的解析性，展式兩側(cè)可逐項求導(dǎo)，即有：

f′(z)=pcp(z-z0)p-1+(p+1)cp+1(z-z0)p+(p+2)cp+2(z-z0)p+1+…

g′(z)=qbq(z-z0)q-1+(q+1)bq+1(z-z0)q+(q+2)bq+2(z-z0)q+1+…

證明：由零點的階性質(zhì)[1]，可得f(z)=(z-z0)mφ(z),g(z)=(z-z0)nψ(z)，

其中φ(z),ψ(z)在點z0解析且φ(z0)≠0，ψ(z0)≠0

而m=n時，關(guān)注參考文獻(xiàn)[1]中第167頁中階的性質(zhì)證明，可知

注：在參考文獻(xiàn)3中，也有相關(guān)結(jié)論，其中只給出了m=m時的情況，不夠全面.

這個例題如果通過定理1.1去解決，是需要連續(xù)用14次洛必達(dá)法則的，計算量非常大.

2 未定式型的極限

對于z→z0時，分子，分母同趨于∞的情況也有相似的結(jié)論，證明同樣是利用雙邊冪級數(shù)展開，此時點z0必為分子，分母的極點，考慮重心在負(fù)冪部分即可，此時負(fù)冪部分都是有限項，在這里不詳細(xì)論證了，直接給出如下結(jié)論：

定理2.2 若點z0是解析函數(shù)f(z)的m階極點，是解析函數(shù)g(z)的n階極點，

3 z→∞時，未定式和型的極限

4 結(jié)語

我們主要討論的是分式未定式極限的求解問題，至于其余類型的未定式如：0·∞型，00型，1∞型，∞0型，我們都可以通過同除法，冪指型變形法轉(zhuǎn)化為分式未定式，再用本文中的結(jié)論進(jìn)行求解.

[參考文獻(xiàn)]

[1] 鐘玉泉. 復(fù)變函數(shù)論(第四版)[M].北京：高等教育出版社,2013,8:167-168.

[2] 高穎. 洛必達(dá)法則在復(fù)變函數(shù)極限中的應(yīng)用[J].科技致富向?qū)?2010(29):81-82.

[3] 李景和. 復(fù)變函數(shù)中的一個有用的法則[J]. 河北工業(yè)大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報,2004(4):1-2.