二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用淺探

謝永香

筆者通過對(duì)近三年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)有以下的命題規(guī)律.

1.考查熱點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，尤其是“三個(gè)二次”的綜合應(yīng)用，常與數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想聯(lián)系在一起.

2.考查形式：選擇題、填空題、解答題均可能出現(xiàn).

3.考查角度：一是以二次函數(shù)的圖像為載體，利用數(shù)形結(jié)合的思想，解決二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值問題及與此相關(guān)的參數(shù)范圍問題；二是一元二次方程根的分布問題；三是考查二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關(guān)系，其中以二次函數(shù)為核心，通過二次函數(shù)的圖像貫穿始終.

4.命題趨勢(shì)：與其他初等函數(shù)復(fù)合在一起考查函數(shù)性質(zhì).因三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，所以與導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一起也是高考的命題方向.

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，特別是以二次函數(shù)為例來更深刻地認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念.二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A中的元素x對(duì)應(yīng)，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）這里表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題：

類型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

類型Ⅱ：設(shè)f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函數(shù)的圖像、單調(diào)性及最值

在高中階段學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，必須讓學(xué)生加深對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像、開口、對(duì)稱軸以及定義域和值域的理解，在區(qū)間（-∞，-上的單調(diào)性用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證.

類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖像，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系.掌握把含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖像.

類型Ⅳ：（定軸動(dòng)區(qū)間上的最值問題）設(shè)f（x）=2x2-x-1在區(qū)間[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表達(dá)式.

變式訓(xùn)練：已知函數(shù)f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]時(shí)有最大值2，求a的值.

（1）（動(dòng)軸定區(qū)間上的最值問題）已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-a，當(dāng)-5<-a<5時(shí)，則f（-a）≥0；當(dāng)-a≥5時(shí)，則f（5）≥0；當(dāng)-a≤-5時(shí)，f（-5）≥0.該題主要考二次函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合的思想方法.

（2）（動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間上的最值問題）已知函數(shù)f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：分類討論，結(jié)合函數(shù)圖像，利用函數(shù)單調(diào)性解決函數(shù)的最小值問題.（解答過程省略）

若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍；

若函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值，求a的值，并說明在區(qū)間（1，4）內(nèi)函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

分析：該題主要涉及二次函數(shù)的單調(diào)性及最值問題.同時(shí)也考查了導(dǎo)數(shù)中的基本性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)與二次函數(shù)的結(jié)合.

三、與二次函數(shù)緊密相關(guān)的二次方程的根的分布情況

類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的兩根均大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（2）若方程的兩根，一根大于1，一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：該題考查二次方程根的分布情況，一種是兩根在同一區(qū)域，另一種是兩根在不同區(qū)域，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來解決，要考慮到對(duì)稱軸、判別式以及x=1的函數(shù)值的符號(hào)等.endprint

筆者通過對(duì)近三年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)有以下的命題規(guī)律.

1.考查熱點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，尤其是“三個(gè)二次”的綜合應(yīng)用，常與數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想聯(lián)系在一起.

2.考查形式：選擇題、填空題、解答題均可能出現(xiàn).

3.考查角度：一是以二次函數(shù)的圖像為載體，利用數(shù)形結(jié)合的思想，解決二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值問題及與此相關(guān)的參數(shù)范圍問題；二是一元二次方程根的分布問題；三是考查二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關(guān)系，其中以二次函數(shù)為核心，通過二次函數(shù)的圖像貫穿始終.

4.命題趨勢(shì)：與其他初等函數(shù)復(fù)合在一起考查函數(shù)性質(zhì).因三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，所以與導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一起也是高考的命題方向.

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，特別是以二次函數(shù)為例來更深刻地認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念.二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A中的元素x對(duì)應(yīng)，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）這里表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題：

類型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

類型Ⅱ：設(shè)f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函數(shù)的圖像、單調(diào)性及最值

在高中階段學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，必須讓學(xué)生加深對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像、開口、對(duì)稱軸以及定義域和值域的理解，在區(qū)間（-∞，-上的單調(diào)性用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證.

類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖像，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系.掌握把含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖像.

類型Ⅳ：（定軸動(dòng)區(qū)間上的最值問題）設(shè)f（x）=2x2-x-1在區(qū)間[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表達(dá)式.

變式訓(xùn)練：已知函數(shù)f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]時(shí)有最大值2，求a的值.

（1）（動(dòng)軸定區(qū)間上的最值問題）已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-a，當(dāng)-5<-a<5時(shí)，則f（-a）≥0；當(dāng)-a≥5時(shí)，則f（5）≥0；當(dāng)-a≤-5時(shí)，f（-5）≥0.該題主要考二次函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合的思想方法.

（2）（動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間上的最值問題）已知函數(shù)f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：分類討論，結(jié)合函數(shù)圖像，利用函數(shù)單調(diào)性解決函數(shù)的最小值問題.（解答過程省略）

若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍；

若函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值，求a的值，并說明在區(qū)間（1，4）內(nèi)函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

分析：該題主要涉及二次函數(shù)的單調(diào)性及最值問題.同時(shí)也考查了導(dǎo)數(shù)中的基本性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)與二次函數(shù)的結(jié)合.

三、與二次函數(shù)緊密相關(guān)的二次方程的根的分布情況

類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的兩根均大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（2）若方程的兩根，一根大于1，一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：該題考查二次方程根的分布情況，一種是兩根在同一區(qū)域，另一種是兩根在不同區(qū)域，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來解決，要考慮到對(duì)稱軸、判別式以及x=1的函數(shù)值的符號(hào)等.endprint

筆者通過對(duì)近三年高考試題的統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)有以下的命題規(guī)律.

1.考查熱點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，尤其是“三個(gè)二次”的綜合應(yīng)用，常與數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想聯(lián)系在一起.

2.考查形式：選擇題、填空題、解答題均可能出現(xiàn).

3.考查角度：一是以二次函數(shù)的圖像為載體，利用數(shù)形結(jié)合的思想，解決二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值問題及與此相關(guān)的參數(shù)范圍問題；二是一元二次方程根的分布問題；三是考查二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關(guān)系，其中以二次函數(shù)為核心，通過二次函數(shù)的圖像貫穿始終.

4.命題趨勢(shì)：與其他初等函數(shù)復(fù)合在一起考查函數(shù)性質(zhì).因三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，所以與導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一起也是高考的命題方向.

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來闡明函數(shù)，特別是以二次函數(shù)為例來更深刻地認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念.二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A中的元素x對(duì)應(yīng)，記為f（x）=ax2+bx+c（a≠0）這里表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問題：

類型I：已知f（x）=2x2+x+2，求f（x+1）.

類型Ⅱ：設(shè)f（x+1）=x2-4x+1，求f（x）.

二、二次函數(shù)的圖像、單調(diào)性及最值

在高中階段學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，必須讓學(xué)生加深對(duì)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像、開口、對(duì)稱軸以及定義域和值域的理解，在區(qū)間（-∞，-上的單調(diào)性用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證.

類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖像，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（1）y=x2+2|x+1|-1；

（2）y=|x2-5x+6|.

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系.掌握把含有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖像.

類型Ⅳ：（定軸動(dòng)區(qū)間上的最值問題）設(shè)f（x）=2x2-x-1在區(qū)間[m，m+1]上的最小值是g（m）.求y=g（m）的表達(dá)式.

變式訓(xùn)練：已知函數(shù)f（x）=-x2+2ax+1-a在[0，1]時(shí)有最大值2，求a的值.

（1）（動(dòng)軸定區(qū)間上的最值問題）已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]，若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-a，當(dāng)-5<-a<5時(shí)，則f（-a）≥0；當(dāng)-a≥5時(shí)，則f（5）≥0；當(dāng)-a≤-5時(shí)，f（-5）≥0.該題主要考二次函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)形結(jié)合的思想方法.

（2）（動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間上的最值問題）已知函數(shù)f（x）=x2+2mx-1，x∈[m，m+1]，若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析：分類討論，結(jié)合函數(shù)圖像，利用函數(shù)單調(diào)性解決函數(shù)的最小值問題.（解答過程省略）

若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，4）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍；

若函數(shù)f（x）在x=a處取得極小值，求a的值，并說明在區(qū)間（1，4）內(nèi)函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

分析：該題主要涉及二次函數(shù)的單調(diào)性及最值問題.同時(shí)也考查了導(dǎo)數(shù)中的基本性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)與二次函數(shù)的結(jié)合.

三、與二次函數(shù)緊密相關(guān)的二次方程的根的分布情況

類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2-2ax+4若方程f（x）-x=0.

（1）若方程的兩根均大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（2）若方程的兩根，一根大于1，一根小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：該題考查二次方程根的分布情況，一種是兩根在同一區(qū)域，另一種是兩根在不同區(qū)域，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來解決，要考慮到對(duì)稱軸、判別式以及x=1的函數(shù)值的符號(hào)等.endprint