二階常系數(shù)線性微分方程的降階法

盧亦平，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

二階常系數(shù)線性微分方程的降階法

盧亦平，錢椿林

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

考慮二階常系數(shù)線性微分方程的降階法.首先，寫出二階齊次常系數(shù)線性微分方程的特征方程，求出特征方程的兩個(gè)特征根；然后，利用積分因子乘以微分方程和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，將二階常系數(shù)線性微分方程化為一階微分形式；最后，將一階微分形式兩邊同時(shí)積分，求解一階線性微分方程，可求得二階常系數(shù)線性微分方程的一個(gè)特解或通解.利用降階法，可以求得微分方程的一個(gè)特解或通解.其計(jì)算方法簡(jiǎn)單和方便，在實(shí)際中具有應(yīng)用價(jià)值.

二階常系數(shù)線性微分方程；降階法；特征根；一階微分形式

1 問題提出

微分方程

式中：f(χ)為已知函數(shù)；p，q為已知常數(shù)；y=y(χ)為未知函數(shù)，稱式(1)為二階常系數(shù)線性微分方程.如果f(χ)≠0，稱式(1)為二階非齊次常系數(shù)線性微分方程；如果f(χ)=0，稱式(1)為二階齊次常系數(shù)線性微分方

程，即

對(duì)于二階非齊次常系數(shù)線性微分方程(1)的求解，通常的做法是，討論非齊次項(xiàng)f(χ)的情形，主要有兩種類型：形如與形如或其中為n次多項(xiàng)式.利用待定系數(shù)法可求得一個(gè)特解[1-5].對(duì)于非齊次項(xiàng)f(χ)是一般的情形，用待定系數(shù)法顯得無能為力.在本文中，對(duì)于一般的非齊次項(xiàng)f(χ)，利用降階法，求出其微分方程的一個(gè)特解或通解.其計(jì)算方法簡(jiǎn)單和方便，在實(shí)際中很有用.

2 二階非齊次常系數(shù)線性微分方程的降階法

二階非齊次常系數(shù)線性微分方程的降階法的具體步驟為：

第1步，寫出二階齊次常系數(shù)線性微分方程(2)的特征方程，即λ2+pλ+q=0，求出特征方程的兩個(gè)特征根λ1和λ2，且λ1+λ2=-p，λ1λ2=q.

第2步，用 1eχλ?(或 2eχλ?)乘以式(1)的兩邊，得

利用關(guān)系式λ1+λ2=-p，λ1λ2=q和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，將式(3)化為一階微分形式，即

第3步，對(duì)于式(4)的兩邊同時(shí)積分，可將二階線性微分方程化為一階線性微分方程，有

當(dāng)λ1=λ2時(shí)，通解為

一個(gè)特解公式為

其中

3 舉例

利用具體例子說明用降階法求微分方程解的詳細(xì)計(jì)算過程.

解 第1步，寫出特征方程，即λ2+4λ+4=0，其特征根為λ1=λ2=-2.

第2步，用e2χ乘以微分方程的兩邊，得

上式可化為如下的一階微分形式

第3步，對(duì)于式(7)的兩邊同時(shí)積分，可將二階線性微分方程化為一階線性微分方程，有

第4步，求解一階線性微分方程(8)，通解為

例2 求微分方程 y′+ y = sec χ的通解.

解 第1步，寫出特征方程，即λ2+1=0，其特征根為λ1=i，λ2=-i.

第2步，分別用e-iχ與eiχ乘以微分方程的兩邊，得

上式可化為如下的一階微分形式

將式(9)與式(10)相加再除以2，得

第3步，對(duì)于式(11)的兩邊同時(shí)積分，可將二階線性微分方程化為一階線性微分方程，有

第4步，求解一階線性微分方程(12)，通解為

只要考慮微分方程(13)的一個(gè)特解的虛部即可.

第1步，寫出特征方程，即λ2-4λ+13=0，其特征根為λ1=2+3i，λ2=2-3i.

上式可化為如下的一階微分形式

第3步，對(duì)于式(14)的兩邊同時(shí)積分，可將二階線性微分方程化為一階線性微分方程，一個(gè)特解為

第4步，求解一階線性微分方程(15)，得到一個(gè)特解為

取其解的虛部，得到一個(gè)特解為

解 第1步，寫出特征方程，即λ2-1=0，其特征根為λ1=1，λ2=-1.

第2步，用eχ乘以微分方程的兩邊，得

上式可化為如下的一階微分形式

第3步，對(duì)于式(16)的兩邊同時(shí)積分，可將二階線性微分方程化為一階線性微分方程，有

第4步，求解一階線性微分方程(17)，通解為

上面4個(gè)例子中，例1和例3是常見的非齊次項(xiàng)的微分方程的兩種類型，如果利用待定系數(shù)法求解，計(jì)算量比較大、比較繁瑣，例2和例4不是常見的非齊次項(xiàng)的微分方程的類型，利用待定系數(shù)法無法求解，利用降階法計(jì)算比較簡(jiǎn)單和方便.特別地對(duì)于不是常見的非齊次項(xiàng)的微分方程的類型，即一般的非齊次項(xiàng)的常系數(shù)線性微分方程，利用降階法都能得到求解，同時(shí)給出了一般的非齊次項(xiàng)的常系數(shù)線性微分方程求特解的一個(gè)公式，即公式(6)，因此降階法在實(shí)際中很有用.

[1]錢椿林. 高等數(shù)學(xué)[M]. 北京：電子工業(yè)出版社，2010.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社，2004.

[3]E 卡姆克. 常微分方程手冊(cè)[M]. 北京：科學(xué)出版社，1980.

[4]《現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)手冊(cè)》編委會(huì). 現(xiàn)代應(yīng)用分析卷[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，1998.

[5]《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫組. 數(shù)學(xué)手冊(cè)[M]. 北京：高等教育出版社，1984.

(責(zé)任編輯：沈鳳英)

Depression of Order for Two Order Linear Differential Equation with Constant Coeffcients

LU Yi-ping， QIAN Chun-lin
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

Depression of order for two order linear differential equation with constant coeffcients is considered. First of all，the characteristic equation of linear differential equation with constant coeffcients is written，and two characteristic roots are obtained，and then the differential equation is multiplied by the integral factor and operatied with derivative，the two order linear differential equation with constant coefficients is changed into the first-order differential form，and finally the first-order differential form is integrated.The two order linear differential equation becomes the linear differential equation of frst order，solving frst-order linear differential equations，and special or general solution of the differential equations can be obtained.The method is simple，convenient and very useful in practice.

two order linear differential equation with constant coefficients；depression of order；characteristic root；frst-order differential form

O175.1

A

1008-5475(2014)03-0049-04

2014-05-28；

2014-06-25

蘇州市職業(yè)大學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(2010SZDQ12)

盧亦平(1978-)，女，吉林白山人，講師，碩士，主要從事算子特征值估計(jì)研究.