中心主子陣約束下矩陣方程AX=B的雙對稱解*

趙麗君

（臺州學院 數(shù)學與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

中心主子陣約束下矩陣方程AX=B的雙對稱解*

趙麗君

（臺州學院 數(shù)學與信息工程學院，浙江 臨海 317000）

中心主子陣是指劃去周邊相同的行和列所得的主子陣。從中心主子陣擴充到雙對稱矩陣是有效和自然的一種矩陣擴充。通過分析雙對稱矩陣以及中心主子陣的結構，不僅給出了方程AX=B在中心主子陣約束下有雙對稱解的充分必要條件，而且給出了通解的表達式。在此基礎上，也給出了最佳逼近問題的解的表達式。

雙對稱矩陣；中心主子陣；線性約束

1 引言

令Rn×m表示全體n×m階實矩陣集合，令AT，rank（A），A+，R（A）和N（A）分別表示矩陣A的轉置，秩，Moore-penrose廣義逆，列空間和零空間.I表示單位陣?！珹‖為矩陣的Frobenius范數(shù).令BSRn×m表示所有n×n階雙對稱矩陣的全體［1］，Ac（k）=（0，Ik，0）A（0，Ik，0）T表示矩陣A的k階中心主子陣，即劃去周邊相同行和列所得的k階主子陣［4］.A［k］=（0，Ik）A（0，Ik）T表示矩陣A的k階逆序主子陣.

雙對稱矩陣在通信理論，工程和統(tǒng)計，數(shù)值分析理論等許多方面有著重要的應用.事實上，對稱Toeplitz矩陣和對稱Hankel就是兩類典型的雙對稱矩陣.關于雙對稱矩陣的研究已經有很多很好的結果，例如［3，6］以及他們的參考文獻.雙對稱矩陣由于其本身特殊的結構，考慮順序主子陣約束問題是不合宜的，因為它破壞了原矩陣的雙對稱性.在中心主子陣約束下AX=B的雙對稱問題的提法顯然要比在順序主子陣約束下AX=B的雙對稱問題［2］的提法更加合理，因為它是根據雙對稱結構的特性提出來的，但至今沒有文章有關這方面的研究，本文就這一問題進行討論.

問題I.已知X，B∈Rn×m，A0∈Rk×k求A∈BSRn×n使得AX=B且Ac（k）=A0.

2 問題I的解

引理1［2］.A∈BSRn×n當且僅當存在A11∈BSR（n-r）×（n-r），A22∈BSRr×r使得

其中r=［n/2］表示不超過n/2的最大整數(shù)，且Dn是正交矩陣.

引理2［1］.令A∈BSRn×n具有（1）的形式，A0∈BSRn×n.若A0有分解式

其中A10，A20分別為k-t階與t階對稱矩陣，則A0是A的中心主子陣，當且僅當A10=A11［k-t］，A20=A22［t］.

設X∈BSRn×m的奇異值分解為

其中U，V為正交矩陣。

引理3［3］.給定X，B∈Rn×m，且X的奇異值分解為（3），則方程AX=B有對稱解的充要條件是XTB=BTX和BX+X=B，且通解為，其中G為對稱矩陣.

引理4［5］.設X∈Rn×m的奇異值分解為（3），則方程XTCX=K有對稱解的充要條件是KT=K，KX+X=K，且通解可表示為，其中C12是實矩陣，C22是對稱矩陣.

定理1.設X，B∈Rn×m，A0∈BSRk×k且A0如 （2）所示進行分塊有如下分解），，其中X1，B1為前n-r行向量，X2，B2為后r行向量。并且有如下奇異值分解

則問題I有解的充要條件是

且解可表示為

其中E12，F(xiàn)12是任意的實矩陣，E22，F(xiàn)22是任意的對稱矩陣.

且A11和A22滿足

其中G1，G2是任意的對稱矩陣.將（12）代入（11）,并注意到（5）（6）（7）式，則有，由引理4知，此式成立當且僅當，而由引理2和（7）式知Ki均是對稱的，因此等價于（8），且G1和G2可表示為（10）.

3 問題II的解

當問題I有解時，容易驗證解集合是閉凸集，因此，問題II存在唯一的最佳逼近解.下面我們給出最佳逼近解的具體表達式.

注意到W1是正交的，且是對稱的，所以

4 結束語

雙對稱矩陣由于本身的特殊結構，在中心主子陣約束條件下的雙對稱矩陣問題比在順序主子陣約束下的雙對稱矩陣問題［2］的提法更加有效、自然和合理。因為順序主子陣不具備雙對稱結構，而中心主子陣仍然具有雙對稱結構。根據雙對稱矩陣的特點，我們得到了雙對稱矩陣及其中心主子陣的降階結構，并解決了雙對稱矩陣在中心主子陣約束下關于矩陣方程AX=B的約束問題，即得到了方程有解的充分必要條件以及解的表達形式。在此基礎上，解決了相應的最佳逼近問題。

［1］Lijun Zhao, Xiyan Hu, Lei Zhang. Inverse eigenvalue problems for bisymmetric matrices under a central principal submatrix constraint［J］.Linear&Multilinear Algebra,2011,59（2）：117-128.

［2］Zhenyun Peng, Xiyan Hu, Lei Zhang. The inverse problem of bisymmetric matrices with a submatrix constraint［J］.Numerical Linear Algebra Applications,2004,11：59-73.

［3］孫繼廣.實對稱矩陣兩類逆特征值問題［J］.計算數(shù)學，1988，10（3）：282-290.

［4］Qingxinag Yin. Construction of real antisymmetric and bi-antisymmetric matrices with prescribed spectrum data［J］.Linear Algebra Applications,2004,389：95-106.

［5］Hua Dai,Lancaster Peter.Linear matrix equations from an inverse problem of vibration theory［J］.Linear Algebra Applications,1996,246：31-47.

Solutions to AX=B for Bisymmetric Matrices under a Central Principal Submatrix Constraint

ZHAO Li-jun

（School of Mathematics&Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China）

A central principal submatrix is a submatrix obtained by deleting the same number of rows and columns in edges of a matrix.This is a feasible and reasoned way to expand the submatrix to bisymmetric matrices. By means of the special structure of bisymmetric matrices and its central principal submatrix, this paper obtains not only necessary and sufficient conditions for the solvability of AX=B in bisymmetric matrices set under a central principal submatrix,but also the general representation of the solutions.Based on this,the expression of the solution for the corresponding optimal approximation problem is given.

bisymmetric matrix;central principal submatrix;linear constraint

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2014.03.002

2014-02-28；

2014-03-26

國家自然科學基金委員會資助（11301107）。

趙麗君（1982- ），女，浙江臺州人，講師，博士，主要從事計算數(shù)學研究。