淺談初中數(shù)學(xué)的例題教學(xué)

張育麗

近年來(lái)，數(shù)學(xué)教研的工作重點(diǎn)已轉(zhuǎn)到“優(yōu)化課堂教學(xué)”上來(lái)。注重例題的教學(xué)，優(yōu)化教材例題教學(xué)，充分發(fā)揮例題的橋梁作用，這是每位數(shù)學(xué)教師需要深入研討的重要課題。在解題中，不斷改變解題方向，從不同角度，不同的側(cè)面去探討問(wèn)題的解法，尋求最佳方法，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，將抽象化為具體，化難為易，化整為零，從而提高學(xué)生的解題能力和探究推理能力，使教學(xué)達(dá)到“事半功倍”的效果。

一、透視例題的意圖，化陌生為熟悉

教材中的每個(gè)例題的編排都有其意圖，都能夠比較具體地反映教學(xué)的有關(guān)內(nèi)容，及學(xué)生應(yīng)掌握的程度。由于它們被安排在不同的教學(xué)環(huán)節(jié)上，其目的也就有所側(cè)重。因此，教師必須根據(jù)教學(xué)的實(shí)際和需要，深入鉆研例題，領(lǐng)會(huì)和認(rèn)識(shí)例題的意圖，突出重點(diǎn)，兼顧其他，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題的意圖進(jìn)行透視，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自我學(xué)習(xí)的情境，逐步地培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和習(xí)慣。

例1：當(dāng)（1）x=5，y=3；（2）x=5，y=-3時(shí)，求：代數(shù)式|x|+|y|-2|x||y|的值。

我引導(dǎo)學(xué)生透視例題意圖，如下：

①?gòu)?fù)習(xí)代數(shù)式的值的概念。②進(jìn)一步熟練求代數(shù)式的值的方法和步驟。③復(fù)習(xí)鞏固絕對(duì)值的概念。④掌握有關(guān)絕對(duì)值運(yùn)算的方法。⑤此例兩個(gè)小題答案表明特殊情形下，同一字母取不同的數(shù)值時(shí)，同一代數(shù)式的值可能相同的事實(shí)。⑥找出本例特殊的原因。在學(xué)生明確了例題意圖后，教師便可啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行自我完善學(xué)習(xí)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)效果符合例題意圖要求，經(jīng)常進(jìn)行如此訓(xùn)練，不僅大大提高了例題教學(xué)效果，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

所以，例題教學(xué)要保證學(xué)生能聽得懂，接受得了。要做到這一點(diǎn)，教師備課時(shí)必須做到“吃透兩頭”：一頭是“吃透例題”，即對(duì)例題的內(nèi)容、知識(shí)范圍、與前后知識(shí)的聯(lián)系、技能水平、難易程度等要一清二楚；另一頭是“吃透學(xué)生”，即對(duì)學(xué)生的知識(shí)水平、能力水平、經(jīng)驗(yàn)水平、年齡特征等要心中有數(shù)。對(duì)于一些難度較大，估計(jì)學(xué)生一下接受有困難的例題，要降低難度，搭好臺(tái)階，使學(xué)生感到只要自己“跳一跳”就能達(dá)到。

二、發(fā)掘課本習(xí)題的潛在功能，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

教材中的例題，習(xí)題大多數(shù)都是經(jīng)過(guò)專家嚴(yán)格篩選而配置的，具有典型性和探索性，所蘊(yùn)含的內(nèi)容也相當(dāng)豐富，所以教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生研究、發(fā)掘例題、習(xí)題的潛在功能，并將其視為教學(xué)的主要內(nèi)容之一，它有利于培養(yǎng)學(xué)生能力，開發(fā)學(xué)生智力，使學(xué)生靈活運(yùn)用已學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。

例2：解關(guān)于x的方程：x+■=c+■（c≠0）

它的根是x1=c，x2=■，這個(gè)方程的兩個(gè)根互為倒數(shù)且恰是方程右邊互為倒數(shù)的常數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生觀察，掌握這些特點(diǎn)，就可以靈活運(yùn)用這個(gè)結(jié)論簡(jiǎn)捷地解決課外的許多習(xí)題。

例3：（競(jìng)賽題）解方程■+■=■

解法一：用換元法，y=■則方程變?yōu)閥+■=■，先求出y，再求x。

解法二：利用例3結(jié)論，將方程變?yōu)椤?■=2+■，從而得：■=2，■=■即可求出原方程的根。

像這樣引導(dǎo)學(xué)生研究一些例題，發(fā)掘其功能，利用它解決問(wèn)題，不僅能收到事半功倍，以少勝多的效果，而且還能化難為易，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

由于教材正文中有的引例的計(jì)算不簡(jiǎn)便，不利于整個(gè)解題過(guò)程的操作與展示，筆者把課后的練習(xí)題設(shè)置為例題。

例4：某飲料廠1月份生產(chǎn)飲料的產(chǎn)量為500噸，3月份上升到720噸，求這個(gè)飲料廠2月份和3月份產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率。

分析：設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，1月份產(chǎn)量為500噸，2月份產(chǎn)量為500（1+x）噸，3月份產(chǎn)量為500（1+x）（1+x）即500（1+x）2噸，列方程500（1+x）2=720

解題之后，延伸分析：如果1月份產(chǎn)量為a噸，3月份產(chǎn)量為b噸，則2月份產(chǎn)量為a（1+x）噸，3月份產(chǎn)量為a（1+x）（1+x）即a（1+x）2噸，列方程a（1+x）2 =b

總結(jié)平均增長(zhǎng)率問(wèn)題規(guī)律：a（1+x）n=b其中a為增長(zhǎng)的初始數(shù)據(jù)，n為增長(zhǎng)的次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的最終數(shù)據(jù)，如果是降低百分率問(wèn)題，只需將加號(hào)變?yōu)闇p號(hào)即可。有了這個(gè)公式，學(xué)生再遇到此類問(wèn)題就可“迎刃而解”。

三、通過(guò)例題引申，化封閉為開放

在例題的教學(xué)中，不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊?，可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，養(yǎng)成深入研究問(wèn)題的習(xí)慣。

九年級(jí)上冊(cè)第97頁(yè)——思考探索

例5：如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿著邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，問(wèn)：幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？

■

圖1

解答：設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm2，則AP=x，BQ=2x；

∴PB=AB-AP=6-x ∴S△PBQ=■PB·BQ=■·（6-x）·2x=x（6-x）即x（6-x）=8，x2-6x+8=0，（x-4）（x-2）=0

∴x1=4 x2=2

∴4秒或2秒后△PBQ的面積等于8cm2

引申新題：如圖2，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OBCD是矩形，C（6，12），點(diǎn)P從點(diǎn)O沿著x軸向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)。

求：（1）點(diǎn)B、D的坐標(biāo)。

（2）幾秒后，△PDQ是直角三角形？

（3）幾秒后，△PDQ是等腰三角形？

（4）幾秒后，△PDQ的面積最大，并求出Q的坐標(biāo)和△PDQ的面積。

通過(guò)這一系列的問(wèn)題引申，吸引學(xué)生積極地去思考，借以鞏固知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生分析能力和學(xué)生討論問(wèn)題的的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的利用能力，使學(xué)生真正學(xué)會(huì)通過(guò)二次函數(shù)來(lái)求最值問(wèn)題。endprint

四、變換例題結(jié)構(gòu)，化零為整

針對(duì)課本上重要知識(shí)和學(xué)生掌握知識(shí)與技能的薄弱環(huán)節(jié)，就地取材，例題的教學(xué)宜求“變”、求“活”。利用交換題目的結(jié)構(gòu)，通過(guò)變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方向、多層次地思考，擴(kuò)大例題的輻射面，加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解、掌握和變通，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

例6：已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)是B，OC∥AD，求證：DC是⊙O的切線。

在講解例題時(shí)，我們要對(duì)其進(jìn)行深度的挖掘，注重例題的變化，加大知識(shí)的擴(kuò)展與延伸。在上課的過(guò)程中，我對(duì)原題的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行交換，改編為：

題1：已知AB是⊙O的直徑，DC是⊙O的切線，切點(diǎn)是D，OC∥AD，求證：BC是⊙O的切線。

題2：已知，AD是⊙O的弦，DC是⊙O的切線，切點(diǎn)是D，OC∥AD，過(guò)C作⊙O的切線BC，切點(diǎn)是B，求證：AB是⊙O的直徑。

對(duì)例題的變式，我們可通過(guò)改變條件和結(jié)論，圖形變式，類比和拓展等多種途徑，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度的探討，把一個(gè)題變成一類題，從而促成知識(shí)的遷移和延伸，達(dá)到使學(xué)生解一題，會(huì)一類的目的。

例7：（原例題）已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是4，底長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。我們可以將此例題進(jìn)行一題多變。

變式1：已知等腰三角形一腰長(zhǎng)為4，周長(zhǎng)為14，求底邊長(zhǎng)。（這是考查逆向思維能力）

變式2：已等腰三角形一邊長(zhǎng)為4；另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。（前兩題相比，需要改變思維策略，進(jìn)行分類討論）

變式3：已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。（顯然“3”只能為“底”，否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性）

變式4：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，求底邊長(zhǎng)y的取值范圍。

變式5：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，周長(zhǎng)是14。請(qǐng)先寫出二者的函數(shù)關(guān)系式，再在平面直角坐標(biāo)內(nèi)畫出二者的圖象。（與前面相比，要求又提高了，特別是對(duì)條件0

通過(guò)例題的層層變式，學(xué)生對(duì)三邊關(guān)系定理的認(rèn)識(shí)又深了一步，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般、從具體到抽象地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；通過(guò)例題解法多變的教學(xué)則有利于幫助學(xué)生形成發(fā)散思維，而又打破思維定勢(shì)；有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。

波利亞說(shuō)：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是習(xí)題教學(xué)。教師要充分發(fā)揮例題教學(xué)的示范和引領(lǐng)作用，使之成為促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的有效途徑?！蓖ㄟ^(guò)例題教學(xué)不僅能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和思維能力，而且能以點(diǎn)帶面，提升學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，探尋并掌握學(xué)習(xí)的“捷徑”，大大提高教與學(xué)的效率。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]（美）喬治·波利亞著，劉景麟等譯.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[2]王麗君.挖掘課本習(xí)題價(jià)值的實(shí)踐[J].北京：中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（5）.

（責(zé)任編輯：張華偉）

四、變換例題結(jié)構(gòu)，化零為整

針對(duì)課本上重要知識(shí)和學(xué)生掌握知識(shí)與技能的薄弱環(huán)節(jié)，就地取材，例題的教學(xué)宜求“變”、求“活”。利用交換題目的結(jié)構(gòu)，通過(guò)變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方向、多層次地思考，擴(kuò)大例題的輻射面，加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解、掌握和變通，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

例6：已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)是B，OC∥AD，求證：DC是⊙O的切線。

在講解例題時(shí)，我們要對(duì)其進(jìn)行深度的挖掘，注重例題的變化，加大知識(shí)的擴(kuò)展與延伸。在上課的過(guò)程中，我對(duì)原題的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行交換，改編為：

題1：已知AB是⊙O的直徑，DC是⊙O的切線，切點(diǎn)是D，OC∥AD，求證：BC是⊙O的切線。

題2：已知，AD是⊙O的弦，DC是⊙O的切線，切點(diǎn)是D，OC∥AD，過(guò)C作⊙O的切線BC，切點(diǎn)是B，求證：AB是⊙O的直徑。

對(duì)例題的變式，我們可通過(guò)改變條件和結(jié)論，圖形變式，類比和拓展等多種途徑，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度的探討，把一個(gè)題變成一類題，從而促成知識(shí)的遷移和延伸，達(dá)到使學(xué)生解一題，會(huì)一類的目的。

例7：（原例題）已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是4，底長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。我們可以將此例題進(jìn)行一題多變。

變式1：已知等腰三角形一腰長(zhǎng)為4，周長(zhǎng)為14，求底邊長(zhǎng)。（這是考查逆向思維能力）

變式2：已等腰三角形一邊長(zhǎng)為4；另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。（前兩題相比，需要改變思維策略，進(jìn)行分類討論）

變式3：已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。（顯然“3”只能為“底”，否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性）

變式4：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，求底邊長(zhǎng)y的取值范圍。

變式5：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，周長(zhǎng)是14。請(qǐng)先寫出二者的函數(shù)關(guān)系式，再在平面直角坐標(biāo)內(nèi)畫出二者的圖象。（與前面相比，要求又提高了，特別是對(duì)條件0

通過(guò)例題的層層變式，學(xué)生對(duì)三邊關(guān)系定理的認(rèn)識(shí)又深了一步，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般、從具體到抽象地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；通過(guò)例題解法多變的教學(xué)則有利于幫助學(xué)生形成發(fā)散思維，而又打破思維定勢(shì)；有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。

波利亞說(shuō)：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是習(xí)題教學(xué)。教師要充分發(fā)揮例題教學(xué)的示范和引領(lǐng)作用，使之成為促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的有效途徑?！蓖ㄟ^(guò)例題教學(xué)不僅能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和思維能力，而且能以點(diǎn)帶面，提升學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，探尋并掌握學(xué)習(xí)的“捷徑”，大大提高教與學(xué)的效率。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]（美）喬治·波利亞著，劉景麟等譯.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[2]王麗君.挖掘課本習(xí)題價(jià)值的實(shí)踐[J].北京：中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（5）.

（責(zé)任編輯：張華偉）

四、變換例題結(jié)構(gòu)，化零為整

針對(duì)課本上重要知識(shí)和學(xué)生掌握知識(shí)與技能的薄弱環(huán)節(jié)，就地取材，例題的教學(xué)宜求“變”、求“活”。利用交換題目的結(jié)構(gòu)，通過(guò)變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方向、多層次地思考，擴(kuò)大例題的輻射面，加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解、掌握和變通，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

例6：已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)是B，OC∥AD，求證：DC是⊙O的切線。

在講解例題時(shí)，我們要對(duì)其進(jìn)行深度的挖掘，注重例題的變化，加大知識(shí)的擴(kuò)展與延伸。在上課的過(guò)程中，我對(duì)原題的題設(shè)和結(jié)論進(jìn)行交換，改編為：

題1：已知AB是⊙O的直徑，DC是⊙O的切線，切點(diǎn)是D，OC∥AD，求證：BC是⊙O的切線。

題2：已知，AD是⊙O的弦，DC是⊙O的切線，切點(diǎn)是D，OC∥AD，過(guò)C作⊙O的切線BC，切點(diǎn)是B，求證：AB是⊙O的直徑。

對(duì)例題的變式，我們可通過(guò)改變條件和結(jié)論，圖形變式，類比和拓展等多種途徑，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度的探討，把一個(gè)題變成一類題，從而促成知識(shí)的遷移和延伸，達(dá)到使學(xué)生解一題，會(huì)一類的目的。

例7：（原例題）已知等腰三角形的腰長(zhǎng)是4，底長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。我們可以將此例題進(jìn)行一題多變。

變式1：已知等腰三角形一腰長(zhǎng)為4，周長(zhǎng)為14，求底邊長(zhǎng)。（這是考查逆向思維能力）

變式2：已等腰三角形一邊長(zhǎng)為4；另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。（前兩題相比，需要改變思維策略，進(jìn)行分類討論）

變式3：已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另一邊長(zhǎng)為6，求周長(zhǎng)。（顯然“3”只能為“底”，否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)密性）

變式4：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，求底邊長(zhǎng)y的取值范圍。

變式5：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，周長(zhǎng)是14。請(qǐng)先寫出二者的函數(shù)關(guān)系式，再在平面直角坐標(biāo)內(nèi)畫出二者的圖象。（與前面相比，要求又提高了，特別是對(duì)條件0

通過(guò)例題的層層變式，學(xué)生對(duì)三邊關(guān)系定理的認(rèn)識(shí)又深了一步，有利于培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般、從具體到抽象地分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；通過(guò)例題解法多變的教學(xué)則有利于幫助學(xué)生形成發(fā)散思維，而又打破思維定勢(shì)；有利于培養(yǎng)思維的變通性和靈活性。

波利亞說(shuō)：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是習(xí)題教學(xué)。教師要充分發(fā)揮例題教學(xué)的示范和引領(lǐng)作用，使之成為促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的有效途徑?！蓖ㄟ^(guò)例題教學(xué)不僅能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力和思維能力，而且能以點(diǎn)帶面，提升學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，探尋并掌握學(xué)習(xí)的“捷徑”，大大提高教與學(xué)的效率。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]（美）喬治·波利亞著，劉景麟等譯.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[2]王麗君.挖掘課本習(xí)題價(jià)值的實(shí)踐[J].北京：中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013（5）.

（責(zé)任編輯：張華偉）