一類帶p(x)-雙調(diào)和算子的Kirchhoff型問題的多解性

繆 清

(云南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

研究

(1)

變指數(shù)算子的微分方程可以描述“逐點(diǎn)異性”的物理現(xiàn)象，它來源于非線性彈性力學(xué)[1].問題(1)帶有非局部項(xiàng)，此類問題常被稱為Kirchhoff型問題.近年來，關(guān)于Kirchhoff型問題的研究得到了很多結(jié)果[2-6].文獻(xiàn)[3]利用環(huán)繞定理,證明一類帶Dirichlet邊值條件的p-Kirchhoff型問題解的存在性.文獻(xiàn)[4]研究一類p(x)-Kirchhoff型問題解的存在性. 然而，關(guān)于帶p(x)-Kirchhoff型雙調(diào)和問題的結(jié)果相對(duì)較少.文獻(xiàn)[7]利用Ekeland變分原理，證明問題(1)中當(dāng)f(x,u)=λ|u|q(x)-2u時(shí)解的存在性與多解性.

當(dāng)問題(1)中f(x,u)=λa(x)|u|γ(x)-2u時(shí)，文獻(xiàn)[8]證明問題解的存在性.文獻(xiàn)[9]在非線性項(xiàng)滿足 Ambrosetti-Rabinowitz(AR)條件時(shí)得到問題(1)的多解性，且AR條件可以得到f(x,u)關(guān)于變量u在無窮遠(yuǎn)處是超線性的.論文主要研究非線性項(xiàng)不滿足AR條件時(shí)問題(1)的多解性.

1 預(yù)備知識(shí)及引理

令

定義空間Wm,p(x)(Ω),有

Wm,p(x)(Ω)={u∈Lp(x)(Ω)|Dαu∈Lp(x)(Ω),|α|≤m},

則范數(shù)‖·‖,|Δ·|p(x),‖·‖2,p(x)在X中是等價(jià)的[11],X是可分的自反Banach空間， 則存在{ej}?X，使得

則X=Yk⊕Zk，給定k∈N,Yk是X的k維子空間.

(a) 若‖u‖≥1,有

‖u‖p-≤ρ(u)≤‖u‖p+.

(b) 若‖u‖≤1,有

‖u‖p+≤ρ(u)≤‖u‖p-.

(c) ‖u‖→0?ρ(u)→0.

定義函數(shù)

引理3[13](i)J′ 是連續(xù)的有界嚴(yán)格單調(diào)算子；

(iii)J′是同胚的.

引理4[14](噴泉定理) 泛函φ∈C1(X,R),φ(0)=0,φ(-u)=φ(u),且滿足

(iii) 若函數(shù)φ滿足：對(duì)任何點(diǎn)列{un}?X，當(dāng){φ(un)}有界，(1+‖un‖)‖φ′(un)‖→0 時(shí)，{un}有收斂子列，即稱φ滿足(C)條件.

則泛函有一列趨于+∞的臨界值.

2 主要結(jié)果

令ci為正常數(shù)，定義泛函Φ為

則u是問題(1)的弱解等價(jià)于u是泛函Φ的臨界點(diǎn).

函數(shù)M(t),f(x,t)滿足以下條件:

(M0) 存在正常數(shù)m0,滿足M(t)≥m0(?t≥0);

(F2)F(x,0)=0,F(x,-t)=F(x,t)對(duì)所有的x∈Ω,t∈R成立;

引理5假設(shè)條件(M0),(M1),(F0),(F1)滿足，則Φ(u)滿足(C)條件.

證明設(shè){un}?X為Φ的(C)序列，首先證明序列{un}在X中有界.假設(shè)當(dāng)n→∞時(shí)，‖un‖→+∞，由條件(F1),存在K>1,使得

(2)

令Ωn={x∈Ω||u|>K}，由(2)式，存在σ>0,有

不等式兩邊同時(shí)除以‖un‖p-，當(dāng)n→∞時(shí)，矛盾，因此，{un}在X中有界. 由于X是自反空間，則存在u∈X,使得{un}在X中弱收斂于u、在Lα(x)中強(qiáng)收斂于u.由Holder不等式和條件(F0),當(dāng)n→∞時(shí)，有

當(dāng)n→∞時(shí)，有Φ′(un)→0,可知

定理假設(shè)條件(M0),(M1),(F0)～(F3)成立，則問題(1)有一列解{un}滿足：當(dāng)n→∞時(shí)，有Φ(un)→+∞.

對(duì)于u∈Zk,‖u‖=rk>1，由條件 (M1),(F0)可知

因此，有

由條件(F3)，對(duì)任意的τ>0,?c3>0，使得

當(dāng)u∈Yk,‖u‖=ρk>rk>1時(shí)，有

則條件(F1)不滿足(AR)條件.