行列式的直觀表示與教法探究

藺 云

(嘉應(yīng)學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 梅州 514015)

行列式的名詞是法國數(shù)學(xué)家柯西引入的；行列式的符號(hào) 是19世紀(jì)的英國數(shù)學(xué)家凱萊引入使用的；雅典數(shù)學(xué)家克萊姆使用行列式，給出了一次方程組求解的簡便算法，并給出了一次方程組有解和解的個(gè)數(shù)問題的判別法(即克萊姆法則).

由于線性代數(shù)的主題是線性方程組的求解問題， 從歷史上看， 行列式概念是形成于線性代數(shù)的開端， 因此，它是線數(shù)代數(shù)的主要概念．然而，行列式能夠使用機(jī)械化計(jì)算(即對(duì)角線法則)的只是二階、三階的，對(duì)4階以上的行列式用此法則求值是相當(dāng)困難的，故需要定義n階行列式.

現(xiàn)行線性代數(shù)教科書中，給出的n階行列式概念不僅高度抽象，而且結(jié)構(gòu)系統(tǒng)復(fù)雜，是線性代數(shù)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn).由計(jì)算二階行列式的對(duì)角線規(guī)則，推廣到計(jì)算三階行列式的對(duì)角線規(guī)則，其表達(dá)式比較直觀，且分別可用二元一次線性方程組與三元一次線性方程組的加減消元法來證明;但是，由三階行列式的定義推廣到n階行列式，就不那么容易，幾乎所有的教科書都是先引入排列、對(duì)換、排列逆序數(shù)的概念，再與三階行列式展開每一項(xiàng)的腳下標(biāo)排列以及每一項(xiàng)的符號(hào)相比較，然后構(gòu)建了由確定各項(xiàng)的元素、各項(xiàng)元素的符號(hào)、以及求和總項(xiàng)數(shù)這三位一體規(guī)則的體系結(jié)構(gòu).即

缺點(diǎn)是：其間由于運(yùn)用太多的子概念做插曲，使人對(duì)定義生成過程倍感曲折，不是那么自然地引出和直觀表達(dá)；而且用定義計(jì)算行列式，書寫起來拖泥帶水，例如下面行列式的計(jì)算[1]：

(-1)N(4321)a14a23a32a41=(-1)61·2·3·4=24，

式中未交待字母aij是怎樣引進(jìn)的，如果沒有它，就不知道(-1)6又是怎么來的．所以，用定義計(jì)算行列式的方法也很難掌握.因此， 筆者想到了改寫傳統(tǒng) 階行列式定義的表達(dá)式，優(yōu)化教與學(xué)，以解決存在于少課時(shí)的線性代數(shù)課程教學(xué)中內(nèi)容多課時(shí)少的矛盾.

仔細(xì)琢磨了3階行列式概念的表達(dá).

但很顯然，由于間接侵權(quán)制度已經(jīng)被廣泛接受，如果未經(jīng)專利權(quán)人許可而提供這些產(chǎn)品，往往會(huì)被認(rèn)定為侵權(quán)，因此專利權(quán)人的獨(dú)占權(quán)利范圍實(shí)際已經(jīng)及于這些產(chǎn)品。這樣，當(dāng)專利權(quán)人同意而售出這些產(chǎn)品時(shí)，與其同意售出“專利產(chǎn)品”、“依據(jù)專利方法直接獲得的產(chǎn)品”沒有什么不同，專利權(quán)人已經(jīng)可以從中獲得利益。

這樣一來，3階行列式可表示為

(1)

(2)

(3)

再將(1)、(2)、(3)式推廣到n階行列式，就有如下定義與性質(zhì).

定義2 由n2個(gè)元素aij(i，j=1，2，…，n)組成的記號(hào)

稱為n階行列式，其中橫排稱為行，豎排稱為列，它表示所有取自不同行，不同列的n個(gè)元素乘積a1j1a1j2…a1jn的代數(shù)和，即

推論1

推論2

應(yīng)用定義2，計(jì)算前面的例題，得

總之，數(shù)學(xué)概念是教學(xué)思維的出發(fā)點(diǎn)． 概念教學(xué)理論強(qiáng)調(diào)概念的用處，概念必須看作既是對(duì)象又是工具，因而，概念既提供知識(shí)又提供使用．[2]所以，從教學(xué)的觀點(diǎn)評(píng)估，這兩方面如何才能相輔相成．本定義的優(yōu)點(diǎn)在于，在概念生成不用排列逆序數(shù)的知識(shí)，盡管置換的奇偶性的討論與排列的奇偶性計(jì)算類似，需要計(jì)算一個(gè)n級(jí)排列經(jīng)過相鄰對(duì)換，變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)．但本定義的表達(dá)式結(jié)構(gòu)簡單，從形式主義觀點(diǎn)看，引入符號(hào)sgn和置換概念，可以形成特殊的概念形象，用日本數(shù)學(xué)家黑木哲德的話說：“這就有點(diǎn)像大人帶小孩出門，牽著小孩的手走路還沒有背著他走來的方便”[3].尤其在線性代數(shù)課程設(shè)定為少課時(shí)的教學(xué)中，有化繁為簡之效.

[1] 吳贛昌．線性代數(shù)[M]．北京：中國人民出版社，2011：9，3-10．

[2] ROLT B，等．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)理論是一門科學(xué)[M]． 唐瑞芬，譯．上海：上海教育出版社，1998:11，62．

[3] 黑木哲德．?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)理解手冊(cè)[M]． 趙雪梅，譯．上海：學(xué)林出版社，2011：8，147-149．