一類二階哈密頓系統(tǒng)的無窮多同宿軌

張申貴，李 琰

(1 西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院，甘肅 蘭州，730030；2 蘭州市第八中學)

哈密頓系統(tǒng)所描述的運動是運動中最簡單的周期運動,天體的周期軌道就對應(yīng)于非線性哈密頓系統(tǒng)的同宿軌。哈密頓系統(tǒng)周期解和同宿軌一直是數(shù)學家和物理學家所關(guān)心的重要課題?？紤]二階哈密頓系統(tǒng)

(1)

當B≡0時,一些學者開始利用臨界點理論對系統(tǒng)(1)的同宿軌進行研究[1～8], 得到了一些同宿軌存在的結(jié)果,如次線性條件[1],次二次條件[2],超線性條件[3～5],變號位勢[6]，漸進線性[7，8]等。

當B不恒等于0時,文獻[9]在超線性條件研究了系統(tǒng)(1)同宿軌的存在性。

當B不恒等于0時,具有線性增長非線性項時,本研究將分析系統(tǒng)(1)無窮多同宿軌的存在性。

1 準備知識

記H為H1(R,RN)為Hilbert空間，定義算子J:H→H為Ju,v

λ1≤λ2≤…≤λk≤…,當k→+∞時,λk→+∞。

對應(yīng)的特征函數(shù){ek}k∈N，即Aek=λkek。記E=E-⊕E0⊕E+, 其中E0為零特征值對應(yīng)的特征函數(shù)組成，E-為負特征值對應(yīng)的特征函數(shù)組成，E+=(E0⊕E-)⊥。

對?u∈E,有u=u-+u0+u+，其中u-∈E-,u0∈E0,u+∈E+,

假設(shè)L(t)滿足以下條件：

(L1)存在常數(shù)β>1使得meas{t∈R:|t|-βL(t)0。

在條件(L1)和(L2)之下，空間E緊嵌入Lp(R,RN),p≥1,從而

‖u‖Lp≤C‖u‖

(2)

在E上定義泛函：

則u∈E為φ的臨界點等于u是系統(tǒng)(1)的同宿軌[6]。

引理1[7]：設(shè)E為無窮維Banach空間,φ∈C1(E,R)為偶泛函且滿足(PS)條件,φ(0)=0。若E=E1⊕E2,其中E1為有限維空間。泛函φ滿足以下2個條件:

(i)φ在E2中上方有界。

其中，Bρ={x∈E;‖x‖≤ρ},則泛函φ有無窮多個非平凡臨界點。

2 主要結(jié)果及其證明

2.1 主要結(jié)果

定理1設(shè)存在常數(shù)M1>0,使得

|Wu(t,u)|≤M1(|u|+1)

(3)

2M1C2<1

(4)

對?(t,u)∈R×RN成立。且

(5)

對?(t,u)∈R×RN成立。及

(6)

對t∈R一致成立。若W(t,0)≡0,W(t,-u)=W(t,u),則系統(tǒng)(1)有無窮多個同宿軌。

例如令W(t,x)=|x|2+|x|，則非線性項W(t,x)是關(guān)于變量x線性增長的，W(t,x)滿足定理1中條件，但不滿足文獻[1～9]中定理的條件。

2.2 結(jié)果證明

證明通過驗證泛函φ滿足引理1的所有條件，則φ有無窮多個臨界點，從而系統(tǒng)(1)有無窮多個同宿軌。以下用c表示常數(shù)。

第1步 驗證泛函φ滿足(PS)條件.設(shè){uj}為(PS)序列， 則

|φ(uj)|≤c,φ′(uj)→0,(j→∞)

(7)

由(2)式、(3)式、H?lder不等式，有

(8)

由(7)式、(8)式，有

‖uj‖≥φ′(uj),≥‖‖2-R(Wu(t,uj),)dt≥‖‖2-(M1C2‖uj‖‖‖+M1C‖‖)，

由上式推得：

(9)

同理可證：

(10)

反設(shè)當j→∞時‖uj‖→∞，即{uj}在E中無界。

由(9)式、(10)式，并注意到2M1C2<1,當n→∞時，故有

(11)

由(11)式，?ε>0，當1-2M1C2-ε>0，有

(12)

由(9)式、(10)式，有

(13)

由(2)式、(3)式、H?lder不等式、(13)式有

(14)

(15)

由(13)式、(14)式、(15)式有

第2步 證明泛函φ在E+中是上方有界的。

由(2)式、(3)式, 對u+∈E+有

注意到2M1C2<1,當‖u‖→∞時,φ(u)→-∞,從而泛函φ滿足引理1中條件(i)。

‖u‖∞≤C0‖u‖

(16)

(17)

W(t,u)≥C2|u|2

(18)

對|u|≤M2和t∈R成立。由(16)式、(17)式和(18)式,有

至此, 引理1所有條件均滿足,則φ有無窮多個臨界點，問題(1)有無窮多個同宿軌。

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