混凝土泵車臂架位姿方程建立及相關(guān)參數(shù)分析

高鳳陽，王 珊，張 亞

（沈陽建筑大學(xué) 交通與機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168）

0 引言

機(jī)電一體化與機(jī)器人技術(shù)已成為高性能工程機(jī)械的發(fā)展方向，混凝土泵車作為現(xiàn)代建筑業(yè)有效的工具，其施工操作自動化已逐漸受到人們的重視。為實現(xiàn)混凝土泵車操作自動化，我們需解決：當(dāng)混凝土泵車臂架系統(tǒng)的關(guān)節(jié)角給定時，確定澆筑點(diǎn)的位置；當(dāng)澆筑點(diǎn)的位置給定后，經(jīng)逆運(yùn)算反求出臂架系統(tǒng)的各個關(guān)節(jié)角的相應(yīng)值。前者稱為混凝土泵車臂架系統(tǒng)關(guān)節(jié)角與末端位置的正解，后者稱為反解。另外，混凝土泵車臂架系統(tǒng)是一具有冗余自由度的空間機(jī)構(gòu)，因此其反解不是唯一確定的解，需要采用某些方法使多節(jié)臂的臂架系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)控制，且其解是唯一反解。這一理論分析為進(jìn)一步實現(xiàn)混凝土泵車臂架系統(tǒng)的自動化和機(jī)器人化奠定了基礎(chǔ)，具有實際應(yīng)用意義和理論研究價值。

1 混凝土泵車臂架系統(tǒng)位姿方程建立

混凝土泵車臂架系統(tǒng)基本是由底座、回轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)、大臂、中臂（以2 個為例）、小臂和軟管等部分組成的串聯(lián)開鏈機(jī)構(gòu)。利用D-H 法建立混凝土泵車臂架系統(tǒng)的機(jī)器人化簡圖如圖1 所示, 其中Zi軸與關(guān)節(jié)軸重合，Xi軸為沿著臂架的方向，Yi軸根據(jù)右手定則確定；角度θi為繞Zi軸，Xi軸到Xi-1軸轉(zhuǎn)過的角度，規(guī)定順時針為正，逆時針為負(fù)。

圖1 混凝土泵車臂架系統(tǒng)的機(jī)器人化簡圖Fig.1 A simplified robot graphic of concrete pump truck boom syste

根據(jù)所建的數(shù)學(xué)模型，可以得到混凝土泵車臂架系統(tǒng)末端的坐標(biāo)系相對于基坐標(biāo)系的位姿矩陣：

式中：s0=sinθ0；c0=cosθ0；s1234=sin（θ1+θ2+θ3+θ4）；

c1234=cos （θ1+θ2+θ3+θ4）；px=c0[c1234l4+c123l3+c12l2+l1c1]；

py=s0[c1234l4+c123l3+c12l2+l1c1]；pz=s1234l4+s123l3+s12l2+l1s1。

上述式（5）的位姿矩陣為混凝土泵車臂架系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)正解。

2 混凝土泵車臂架系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)反解

假設(shè)混凝土泵車在工作時沒有障礙物，其臂架系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)反解是已知澆筑點(diǎn)位置，采用合理的解法，求解出臂架系統(tǒng)的各個關(guān)節(jié)角的相應(yīng)值，并且保證解是唯一確定的，從而為混凝土泵車臂架系統(tǒng)的自動化奠定基礎(chǔ)。

根據(jù)混凝土泵車的實際工作特點(diǎn)和要求，本文提出兩種約束解決方案：其一、混凝土泵車在工作時，使四節(jié)臂的臂架整體近似呈弧形，這樣使得泵送混凝土過程中，混凝土流動基本連續(xù)，遇到的阻力最小，從而使得混凝土泵車有較小的能耗和較高的工作效率。其二、混凝土泵車在工作時，在臂架整體近似呈弧形的同時，使后兩節(jié)臂中的任意一節(jié)臂保持水平位置，這樣可以減弱泵管內(nèi)混凝土自由落體造成的臂架振動，避免臂架過早疲勞斷裂。兩種方案在某一時刻不同的臂架狀態(tài)如圖2、圖3 所示。

對于兩種約束方案而 言，關(guān) 節(jié) 角θ0的 大小是唯一確定的，根據(jù)式 （5），顯然，可先求得θ0的唯一解：

圖2 臂架整體近似呈弧形Fig.2 All the booms are similar arc

圖3 前三節(jié)臂近似呈弧形，第四節(jié)臂水平Fig.3 The Former three booms are similar arc,the fourth one is level

約束方案一：確定唯一反解的策略為首先假設(shè)臂架轉(zhuǎn)動的最小分辨角度為2°，規(guī)定關(guān)節(jié)角之間的關(guān)系為90°-θ1=-θ2=-θ3=-θ4=θ，此為臂架整體近似呈弧形可能的條件，θ 的大小可由下面的公式求得：

這樣，先得到一組關(guān)節(jié)角的相應(yīng)值θ1、θ2、θ3、θ4，為保證泵送過程中泵送順利，防止臂架振動，初步令θ1=70°，Δθ=（70°-θ）∕3，重新取θ20=θ30=θ40=-θ-Δθ，代入式（7），求得θ10的相應(yīng)值。觀察上述求出的θ10的相應(yīng)值是否滿足θ10∈[0，90°]，并且最接近70°，第一節(jié)臂架關(guān)節(jié)角θ1大一些，有利于操作。

其次，如果θ 無解，則說明此澆筑點(diǎn)無法到達(dá)；如果得出的θ10?[0，90°]，則令θ2n=θ3n=θ4n=θ2±2n°（n=0,1…），代入式（7），求解θ1的值，直到求得偏離70°最小的n值，如果出現(xiàn)θ10∈[0，90°]，偏離70°超過2°，則可根據(jù)θ2n=θ3n=θ4n=θ20±2n° （n=0,1…），代入式 （7），再次求解新的θ1n，直到求得偏離70°最近的n 值，即可得到相應(yīng)的θ2n、θ3n、θ4n的值。在上述的約束條件下，根據(jù)所列出的方程，可得出：

根據(jù)這樣的算法，θ0、θ1、θ2、θ3、θ4已完全解出，混凝土泵車臂架系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)反解結(jié)束。

約束方案二：由于θ0唯一確定，可不考慮底座θ0的旋轉(zhuǎn)，混凝土泵車的四節(jié)臂在同一平面內(nèi)的運(yùn)動方程：

由式（10）和（11）可知，px1、pz1為已知值，θ1、θ2、θ3、θ4為未知數(shù)，即兩個方程，四個未知數(shù)，所以機(jī)器人冗余自由度為2，因此關(guān)節(jié)角沒有唯一確定的解。

約束條件一：從大量事實來看，臂架的斷裂和應(yīng)力裂縫一般都出現(xiàn)在第四節(jié)臂上，因為在施工時這節(jié)臂是受振幅最大、受力變化最頻繁和擺動最大的位置。因此假設(shè)混凝土泵車的最后一節(jié)臂水平。

此時，臂架末端的坐標(biāo)系相對于機(jī)座處的基坐標(biāo)系繞X 軸轉(zhuǎn)了90°，所以式（10）中有s1234=0，c1234=1，即

約束條件二：根據(jù)約束方案一，使混凝土泵車除了第四節(jié)臂以外的前三節(jié)臂仍近似呈弧形，規(guī)定：

則有：

關(guān)節(jié)角θ1、θ2、θ3的具體解法與約束方案一中的求解過程類似，這里不再贅述，而θ4根據(jù)式（12）得到。直到求得θ1偏離70°最近的值，即可得到相應(yīng)的θ2、θ3、θ4的值。至此，θ0、θ1、θ2、θ3、θ4完全解出?；炷帘密嚤奂芟到y(tǒng)的運(yùn)動學(xué)反解結(jié)束。

3 混凝土泵車臂架系統(tǒng)的運(yùn)動學(xué)反解算例

已知混凝土泵車臂架系統(tǒng)末端的位置：px=18.2m，py=10.5m，pz=16.6m，各個臂架的長度：l1=9.1m，l2=7.889m，l3=7.680m，l4=7.934m，求解各個關(guān)節(jié)角的相應(yīng)值。兩種約束方案解答過程中的θ0、θ1、θ2、θ3、θ4如表1和表2 所示。根據(jù)式（6）可得：θ0=arctan（py，px）=30°。

表1約束方案一的反解過程Tab.1Thenegativesolutionsprocessofconstraintsplanone

表2約束方案二的反解過程Tab.2Thenegativesolutionsprocessofconstraintsplantwo

約束方案一和約束方案二的反解均符合混凝土泵車的工作特點(diǎn)和要求，也滿足反解的唯一確定性要求。

4 結(jié)束語

本文研究結(jié)果表明：根據(jù)D-H 法可以求解出滿足要求的混凝土泵車的正解和反解，并且兩種反解約束方案的算法均滿足混凝土泵車實際工作特點(diǎn)和要求以及反解的唯一性要求，容易在控制軟件中實現(xiàn)，提高了反解的運(yùn)算速度，可以作為混凝土泵車臂架的智能化控制的理論基礎(chǔ)。

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