數(shù)學(xué)建模：提升高等數(shù)學(xué)教學(xué)效率的有效途徑

李棟紅

（陽(yáng)泉師范高等專(zhuān)科學(xué)校，山西 陽(yáng)泉 045200）

高等院校中，數(shù)學(xué)是一門(mén)基礎(chǔ)性課程，占據(jù)高等院校課程體系的特殊地位，高等數(shù)學(xué)能夠?yàn)楹罄^課程提供有效的應(yīng)用工具與基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)培養(yǎng)大學(xué)生的能力具有重要作用。但是，由于現(xiàn)代社會(huì)信息化程度不斷提高，當(dāng)今教育也對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)的要求更高。比如，在構(gòu)建課程體系、設(shè)置教學(xué)內(nèi)容等方面必須有新突破，不斷改革數(shù)學(xué)教學(xué)模式、手段以及方法，為社會(huì)培養(yǎng)出獨(dú)具創(chuàng)新意識(shí)的現(xiàn)代化應(yīng)用人才。此外，由于高等教育的普及化與大眾化，而且高等院校招生規(guī)模也在不斷擴(kuò)大，使得其總體生源素質(zhì)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，尤其是高職院校學(xué)生存在非常薄弱的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。對(duì)于此現(xiàn)象，如何提升高等數(shù)學(xué)教學(xué)效率，與時(shí)代發(fā)展和進(jìn)步需求相適應(yīng)，是目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)中需要探討的問(wèn)題。因此，論文將有效結(jié)合高等數(shù)據(jù)教學(xué)實(shí)踐，對(duì)提升高等數(shù)學(xué)教學(xué)效率的有效途徑進(jìn)行分析與探討。

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的作用

（一）激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的興趣

學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中對(duì)通過(guò)數(shù)學(xué)理論與方法去分析與解決實(shí)際問(wèn)題有所了解，提高其解決和分析問(wèn)題的水平與能力，并在某種程度上提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主動(dòng)性，保證學(xué)生在未來(lái)工作中能夠以數(shù)學(xué)的思維解決實(shí)際問(wèn)題。正所謂對(duì)材料感興趣能夠幫助學(xué)生學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)能夠?qū)⒏嘤行У膶W(xué)習(xí)材料提供給學(xué)生。就現(xiàn)實(shí)視角與社會(huì)發(fā)展現(xiàn)狀來(lái)說(shuō)，社會(huì)的發(fā)展需要大學(xué)生一定要具備高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。若學(xué)生具有較低的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，則該學(xué)生就難以在工程與科技等領(lǐng)域有所貢獻(xiàn)與作為?，F(xiàn)階段一些學(xué)生存在畏懼?jǐn)?shù)學(xué)心理，認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一種噩夢(mèng)，還有些學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)僅僅是學(xué)位與考試的代名詞，并沒(méi)有特別大的用處，要想端正這種思想，一定要從數(shù)學(xué)源頭與解決實(shí)際問(wèn)題著手。對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行學(xué)習(xí)與應(yīng)用的思維屬于一種行之有效的措施，因?yàn)閷W(xué)生在建模中能夠切身領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)是科學(xué)范疇，由此就能帶給學(xué)生一種對(duì)解決問(wèn)題的有效方式。

（二）提高學(xué)生數(shù)學(xué)適應(yīng)能力、應(yīng)用能力和綜合素質(zhì)

從根本上說(shuō)，數(shù)學(xué)建模是科研活動(dòng)的范疇，而且對(duì)學(xué)生今后的工作和學(xué)習(xí)極具深遠(yuǎn)影響，同時(shí)對(duì)學(xué)生水平和能力也有更高要求，對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)和思想予以普及，不僅能夠在某種程度上提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行應(yīng)用的能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力與合作意識(shí)，同時(shí)還能促進(jìn)高校教學(xué)改革和課程建設(shè)，以此激發(fā)學(xué)生本身所具有的創(chuàng)新精神。對(duì)于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系實(shí)際問(wèn)題與理論數(shù)學(xué)的重要橋梁。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，首先，必須積極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)背景和知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)，以此加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行理解的能力，進(jìn)一步拓展學(xué)生知識(shí)面，最終提高學(xué)生數(shù)學(xué)水平。其次，必須在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型中培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力與意識(shí)。通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的學(xué)習(xí)，參與數(shù)學(xué)建模，以此增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，并在一定程度上提高學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)對(duì)實(shí)際問(wèn)題予以解決的能力。

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用

通常在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中都會(huì)忽視數(shù)學(xué)定理幾何意義與數(shù)學(xué)現(xiàn)象中的幾何背景，而是直接向?qū)W生傳達(dá)數(shù)學(xué)定理與定義，同時(shí)將其應(yīng)用在高數(shù)解題思路中，不重視高數(shù)知識(shí)形成過(guò)程與應(yīng)用的解釋和揭示，幾乎不會(huì)顧及到微積分和幾何聯(lián)系的緊密性，這對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)具有非常大的影響。根據(jù)此現(xiàn)象，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中必須注重與某些定理、概念以及題目的建模意義進(jìn)行有效結(jié)合，對(duì)學(xué)生作針對(duì)性授課，以使數(shù)學(xué)建模在高數(shù)教學(xué)中的重要作用得到充分發(fā)揮。

1.通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

將初看起來(lái)雜亂無(wú)章的實(shí)際問(wèn)題抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模的主要目標(biāo)。數(shù)學(xué)建模中，對(duì)于錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，需要建模者對(duì)其主觀能動(dòng)性進(jìn)行充分發(fā)揮，探索與發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，創(chuàng)造性地用形式或似真推理，對(duì)觀察、實(shí)驗(yàn)、類(lèi)比、聯(lián)想、歸納、直覺(jué)和審美等多種思維方式進(jìn)行綜合利用，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的。將客觀實(shí)際與數(shù)學(xué)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)的紐帶首先是數(shù)學(xué)建模，也就是說(shuō)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（由數(shù)字、數(shù)學(xué)符號(hào)、字母組成的圖表、公式或程序）來(lái)描述實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系、空間形式。它主要通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，及解決各種實(shí)際問(wèn)題等形式來(lái)考察大學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)、應(yīng)用能力和創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)模型就是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)表述。確切地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型就是對(duì)于一個(gè)特定的對(duì)象，為了一個(gè)特定目標(biāo)，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律做出一些必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，并運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學(xué)算法、公式、表格、圖示等。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)簡(jiǎn)化、抽象建立能近似刻劃并解決實(shí)際問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。比如，求解曲邊梯形面積引申出“定積分”的定義，為了使學(xué)生更為清晰直觀地了解形成“定積分”概念的過(guò)程，可以采用“取近似、作分割、取極限以及求和式”等相關(guān)建模操作，同時(shí)以動(dòng)畫(huà)演示的方式在分割區(qū)間處于[a,b]時(shí)，Sm與積分會(huì)隨著n的進(jìn)一步擴(kuò)大，逐漸向曲邊梯形面積S逼近的過(guò)程，由此在對(duì)面積求解予以完成的同時(shí)，也會(huì)將定積分概念引申出來(lái)。這樣能夠有效揭示定積分概念產(chǎn)生的背景，對(duì)學(xué)生對(duì)概念的正確把握與理解非常有利，同時(shí)進(jìn)一步深化了高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念教學(xué)。

2.在數(shù)學(xué)幾何公式中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模

一般微積分定理中都有相應(yīng)的幾何背景與幾何意義，如果可以對(duì)其幾何意義進(jìn)行充分利用，將形與數(shù)所特有的內(nèi)在聯(lián)系充分揭示出來(lái)，以構(gòu)造輔助函數(shù)的關(guān)系，能夠保證定理及時(shí)獲證。比如，證明微積分中值定理其實(shí)就是利用定理幾何意義，通過(guò)構(gòu)造高數(shù)輔助函數(shù)，即，將其轉(zhuǎn)化為羅爾定理，最終得出結(jié)論。

在高等數(shù)學(xué)中，所計(jì)算出來(lái)的多數(shù)問(wèn)題都非常有難度，而且十分繁瑣，如果可以通過(guò)數(shù)學(xué)建模使學(xué)生思維得到啟迪，將對(duì)高數(shù)問(wèn)題的解答極為有利。對(duì)于所計(jì)算的一些重積分，若可以將被積函數(shù)的奇偶性與區(qū)域?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行有效結(jié)合，能夠使復(fù)雜而抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題更為直觀與形象，進(jìn)一步降低解題難度，化繁為簡(jiǎn)，這樣能夠?qū)⒎e分值快速求出來(lái)。

分析：因?yàn)楸环e函數(shù)中含有抽象函數(shù)，即f（x2+y2），所以，不能對(duì)其作直接性積分，然而，一定要注意被積函數(shù)中（x，y）=xyf（x2+y2）與以下條件相滿(mǎn)足：

也就是說(shuō)，（x，y）中的變量函數(shù)x屬于奇函數(shù)，而變量函數(shù)y同樣屬于奇函數(shù)，依照對(duì)稱(chēng)區(qū)間中奇函數(shù)的定積分性質(zhì)，若區(qū)域存在對(duì)稱(chēng)性，那么就能夠簡(jiǎn)化積分計(jì)算。將積分區(qū)域畫(huà)出來(lái)，觀察可知，采用曲線(xiàn)y=-x3能夠?qū)^(qū)域進(jìn)行x軸對(duì)稱(chēng)區(qū)域D2與y軸對(duì)稱(chēng)區(qū)域D1，以此依照區(qū)域中積分的可加性得出

三、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)教學(xué)匯總需要注意的問(wèn)題

（一）以高等數(shù)學(xué)教學(xué)為主，數(shù)學(xué)建模為輔

根據(jù)課堂教學(xué)地位與主要內(nèi)容，將高等數(shù)學(xué)視為課堂教學(xué)的基本內(nèi)容。從根本上說(shuō)，數(shù)學(xué)建模被稱(chēng)為學(xué)生認(rèn)知的有效途徑，并服務(wù)于高等數(shù)學(xué)教學(xué)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)教學(xué)的補(bǔ)充與延伸，具有從屬作用。所以，應(yīng)該以高等數(shù)學(xué)為主，數(shù)學(xué)建模為輔，兩者避免出現(xiàn)本末倒置與平分秋色的情況。所以，將數(shù)學(xué)建模方法與思想融入到高數(shù)教學(xué)的問(wèn)題，其實(shí)就是將數(shù)學(xué)建模理念所滲透的高數(shù)教學(xué)量避免超過(guò)一個(gè)度，不然，高等數(shù)學(xué)課可能就會(huì)演變?yōu)閿?shù)學(xué)建模課。所以在數(shù)學(xué)教學(xué)具體實(shí)踐中，一定要注意區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與課型，避免出現(xiàn)由于學(xué)生偏好數(shù)學(xué)建模而對(duì)課型做任意改變，適當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模。

（二）引入數(shù)學(xué)建模時(shí)機(jī)要恰當(dāng)

將數(shù)學(xué)建模理念以合理順序融入高數(shù)教學(xué)中，可以說(shuō)這是一門(mén)學(xué)問(wèn)。不是每一個(gè)高數(shù)教學(xué)都必須將建模方法融入進(jìn)去，也不比在一整堂課中始終貫穿數(shù)學(xué)建模，必須與高數(shù)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有效結(jié)合，由淺入深、循序漸進(jìn)地推介各種數(shù)學(xué)建模措施。

（三）和高等數(shù)學(xué)知識(shí)相匹配

一般情況下，學(xué)生要想全面掌握數(shù)學(xué)建模方法與內(nèi)容，通常需花費(fèi)很多時(shí)間，而高等數(shù)學(xué)課時(shí)極為有限，所以如何在有限時(shí)間內(nèi)將高數(shù)教學(xué)任務(wù)高效完成，將數(shù)學(xué)建模融入進(jìn)去，對(duì)高數(shù)教學(xué)效果與效率有何影響等等，都是值得高數(shù)師生深思的問(wèn)題。由此可見(jiàn)，建模方法范疇必須做到和高數(shù)知識(shí)相匹配。若數(shù)學(xué)建模案例內(nèi)容在所學(xué)高數(shù)范疇之外，那么必須耗損有限的時(shí)間資源，這就等于說(shuō)是忙中添亂，最終導(dǎo)致適得其反的教學(xué)效果。例如，在對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)12，212，123…進(jìn)行教學(xué)時(shí)，可以進(jìn)入《莊子》語(yǔ)錄：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”；在向?qū)W生傳授定積分定義時(shí)，可將求曲邊梯形面積當(dāng)做原型。

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