化歸：“形”變“道”通

李純聰

（福建省廈門市鐘宅民族小學(xué)，福建廈門361009）

化歸：“形”變“道”通

李純聰

（福建省廈門市鐘宅民族小學(xué)，福建廈門361009）

化歸，即化轉(zhuǎn)歸結(jié)。它是將所遇問題不斷地變形，直至把它轉(zhuǎn)化成另一個熟知、容易解決的問題，或者已經(jīng)會解決的問題，這就是化歸的思維方式。通常有：化生疏為熟悉、化復(fù)雜為簡單、化抽象為具體、化疑難為容易、化綜合為單一、化不規(guī)則為規(guī)則、化無形為有形、化無模為有模、化單解為多解、化間接為直接等等?；瘹w，對于解決問題，將起到綱舉目張的作用，實現(xiàn)圖形變換，讓思路“明”了；數(shù)形轉(zhuǎn)換，讓規(guī)律“現(xiàn)”了；關(guān)系轉(zhuǎn)換，讓解法“活”了；算式變形，讓道路“通”了。

化歸方法；“形”變；“道”通

化歸，即化轉(zhuǎn)歸結(jié)。它是將所遇問題不斷地變形，直至把它轉(zhuǎn)化成另一個熟知、容易解決的問題，或者已經(jīng)會解決的問題，這就是化歸的思維方式。通常有：化生疏為熟悉、化復(fù)雜為簡單、化抽象為具體、化疑難為容易、化綜合為單一、化不規(guī)則為規(guī)則、化無形為有形、化無模為有模、化單解為多解、化間接為直接等?；瘹w，對于解決問題，將起到綱舉目張的作用。以下是筆者在教學(xué)實踐中運用化歸教學(xué)的幾點體會。

一、圖形變換，讓思路“明”了

有些數(shù)學(xué)問題，看似條件不足，關(guān)系不清，解決起來有難度。不過，借助恒等法、分割法進行變形轉(zhuǎn)化，即對圖形恒等變換，有時可以起到“柳暗花明又一村”的感覺，讓思路變得明了，讓問題解決成為可能。

如：計算圖1等腰直角三角形面積。（單位：厘米）

看完題目，學(xué)生產(chǎn)生困惑，即要求三角形面積，通常需要知道它的底和高，而本題只知道等腰直角三角形底，這面積該怎樣計算呢？對此，引導(dǎo)學(xué)生觀察，我們可不可以這樣變形？（做法：再復(fù)制出三個完全一樣的等腰直角三角形，與原來的那個等腰直角三角形組合，見圖1。）變形后，現(xiàn)在從圖1中，我們知道了什么？它與原圖形相比，前后發(fā)生了怎樣的變化？學(xué)生在觀察、比較中明白并理清了關(guān)系，也感受到了恒等變形的轉(zhuǎn)化思想。

當(dāng)然，還可以這樣轉(zhuǎn)化（如圖2）8.4×8.4÷ 4=17.64（cm2）進行求解。

事實證明，借助圖形變換進行轉(zhuǎn)化，可以化間接關(guān)系為直接關(guān)系，以此溝通了問題之間的聯(lián)系，明確了數(shù)量之間的關(guān)系，解答思路明晰。這樣在變形中，有效地掃清障礙，找到了圖形問題解決的光明之“道”。

圖1

圖2

二、數(shù)形轉(zhuǎn)換，讓規(guī)律“現(xiàn)”了

華羅庚先生說過，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家兩邊飛。數(shù)上構(gòu)形，形上覓數(shù)，即借助數(shù)形對應(yīng)，可以使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，讓潛在的、不易發(fā)現(xiàn)的規(guī)律原形畢露。

比如，探究“前n項連續(xù)自然數(shù)的和”，即求“1+2+3+…+（n-1）+n”的和。對于要找到這樣的計算規(guī)律，談何容易？特別是在面對自然班全體學(xué)生教學(xué)時，更加突顯它的難度，在此如果借助數(shù)形轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形對照，發(fā)現(xiàn)它的計算規(guī)律已不在話下。過程大體是這樣：

從簡單算式入手，讓復(fù)雜問題簡單化。學(xué)生從1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，1+2+3+4+5=15等算式和結(jié)果中，只能發(fā)現(xiàn)前一個算式的結(jié)果加上新的自然數(shù)，等于當(dāng)前算式的結(jié)果，除此之外，很難發(fā)現(xiàn)計算上的普遍規(guī)律，操作性也不強。于是，筆者借助如下點陣圖讓學(xué)生感受規(guī)律。

學(xué)生通過觀察圖形，比較算式，發(fā)現(xiàn)紅色或黑色點陣正好是連續(xù)自然數(shù)列的和，以1+2+3+4+5=15為例，這個數(shù)列的和正好是占長為5、寬為6的方形點陣數(shù)的一半，而5對應(yīng)算式的項數(shù)，6是項數(shù)與1的和，由此推導(dǎo)得到計算規(guī)律為“項數(shù)×（項數(shù)+1）÷2，其實就是項數(shù)×（首項+末項）÷2，當(dāng)項數(shù)為n時，前n項連續(xù)自然數(shù)求和規(guī)律便昭然于眾，即n×（n+1）÷2。

教學(xué)發(fā)現(xiàn)，借助數(shù)形結(jié)合方法進行轉(zhuǎn)化，可以化復(fù)雜為簡單，轉(zhuǎn)抽象為具體，在數(shù)上構(gòu)形，形上覓數(shù)中，利于學(xué)生數(shù)學(xué)思考和自主發(fā)現(xiàn)、理解、把握規(guī)律，讓蘊含于數(shù)式中的規(guī)律，在直觀形象的圖形中暴露無疑，讓難覓的規(guī)律“現(xiàn)”了出來。

三、關(guān)系轉(zhuǎn)換，讓解法“活”了

在問題解決中，有些題目數(shù)量間的關(guān)系錯綜復(fù)雜，學(xué)生有所迷惑，但通過單位“1”或者間接向直接關(guān)系轉(zhuǎn)化，還可以實現(xiàn)解法多元，策略多樣。

比如，在解決“已知比一個數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少，求這個數(shù)”稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題時，借助單位“1”的轉(zhuǎn)換，可以有不同的解決問題的方法。

例：小明體重是35kg，他的體重比爸爸的體重輕，小明爸爸的體重是多少千克？

在問題解決教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，通過數(shù)量間關(guān)系的轉(zhuǎn)換，可以化單（或少）解為多解，可以使算法多樣，對促進學(xué)生思維的靈活性、廣闊性等數(shù)學(xué)品質(zhì)大有益處。

四、算式變形，讓道路“通”了

在分?jǐn)?shù)的巧算與速算計算教學(xué)中，有些算式的簡便特點隱蔽較深，如果借助裂項方法對算式進行等量變形，讓相對的兩個分?jǐn)?shù)抵消為0，可以達到簡算的目的，由此實現(xiàn)化復(fù)雜為簡單的計算效果。

在教學(xué)中，我們一定要把復(fù)雜的事情變得簡單，那是本事，千萬別把簡單的事情變得復(fù)雜，那是找事。老子曾經(jīng)說過，天下難事必成于易，天下大事必作于細(xì)。為此，教學(xué)中我們應(yīng)該靈活地運用數(shù)學(xué)思想方法——化歸。通過圖形變換、數(shù)形結(jié)合、關(guān)系轉(zhuǎn)換、算式變形等方法，達到化抽象為具體、化復(fù)雜為簡單、化單解為多解、化困難為容易。借助化歸，實現(xiàn)“形”變“道”通，將讓問題解決中的“天塹”變成思路、算理、算法上的“通途”。

編輯∕高偉

李純聰（1966－），男，福建龍巖漳平人，大專，小學(xué)高級教師，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。