勒讓德開折及其生成族

孫偉志，許靜波

(1．東北師范大學(xué) 人文學(xué)院，吉林 長春 130117；2．吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 吉林 四平 136000)

0 引言

奇點理論在微分方程上的應(yīng)用始于20世紀80年代末期，在20世紀90年代得到了迅速發(fā)展，日本數(shù)學(xué)家S.Izumiya為其主要代表人物之一.1992年，S.Izumiya首次用奇點理論的方法研究一階偏微分方程的一般性質(zhì)；文獻[1,2]中討論了如何從奇點理論的角度定義方程的奇解；文獻[3]給出了哈密爾頓-雅可比方程幾何奇點的半局部分類.2003年，M.Takahashi對克萊羅型常微分方程的分歧進行了分類[4]；2006年，他給出了一般克萊羅型完整系統(tǒng)分歧的分類[5]；2007年，在文獻[6]中，他研究了完全可積一階常微分方程的分歧分類.在文獻[7]中，我們討論了完全可積的二元一階偏微分方程的分歧分類.為了深入研究克萊羅型微分方程與完全可積一階偏微分方程的性質(zhì)，我們需要進一步探討上述兩類方程幾何奇點的半局部分類問題.然而方程幾何奇點的分類與其對應(yīng)的勒讓德開折的分類一致，因此本文給出1-參數(shù)勒讓德開折與多重勒讓德開折的定義并研究其性質(zhì)，本文的研究結(jié)果是對克萊羅型微分方程與完全可積一階偏微分方程幾何奇點進行半局部分類的基礎(chǔ).

1 1-參數(shù)勒讓德開折

本部分我們介紹奇點理論意義下一階偏微分方程的幾何框架，并給出1-參數(shù)勒讓德開折的概念.

考慮隱n元一階偏微分方程，

F(x1…，xn,y,p1，…,pn)=0，

其中pi=dy/dxi(i=1，…，n)，F(xiàn)為以0為正則值的光滑函數(shù)，即F-1(0)為J1(n,)中的n+1維子流形.這里J1(n,)表示n元函數(shù)的1-jet叢，可將其看成2n+1維歐氏空間2n+1，具有坐標系統(tǒng)

(x,y,p)=(x1,…，xn,y,p1,…，pn).

定義1設(shè)i:(L,u0)→J1(n,)為浸入芽，若dimL=n，且i*θ=0，則稱i為勒讓德浸入芽.稱π°i的像為i的波前集，記為W(i).

下面考慮1-jet叢J1(×n,)，通常稱之為開折的1-jet叢.可將其看成2n+3維歐氏空間2n+3，坐標系統(tǒng)為

(t,x,y,s,p)=(t,x1,…，xn,y,s,p1，…，pn)．

Π：J1(×n,)→(×n)×,(t,x,y,s,p)|→(t,x,y)

為自然投射.

定義2設(shè)R為n+1維光滑流形，μ:(R,u0)→(,t0)為淹沒芽，l ：(R，u0)→J1(n,)為光滑映射芽.若對任意t∈(,t0),lt=l |μ-1(t)，均為勒讓德浸入芽，則稱(μ,l )為勒讓德族.

設(shè)映射芽L：(R，u0)→J1(×n,)為

L(u)=(μ(u),x°l (u),y°l (u),h(u),p°l (u))，

易知其為勒讓德浸入芽.若1-形式θ與Θ固定，則L由勒讓德族(μ,l )唯一確定.

定義3稱L為與勒讓德族(μ,l )相伴的1-參數(shù)勒讓德開折.

現(xiàn)在我們介紹勒讓德開折之間的等價關(guān)系.

定義4設(shè)L0：(R,u0)→J1(×n，)與L1：(R,u1)→J1(×n，)均為1-參數(shù)勒讓德開折.若存在切觸微分同胚芽

K：(J1(×n,)，z0)→(J1(×n，),z1)，

K(t,x,y,s,p)=(φ1(t),φ2(t,x,y),φ3(t,x,y),φ4(t,x,y,s,p),φ5(t,x,y,s,p))

與微分同胚芽Ψ：(R,u0)→(R,u1)，使K°L0=L1°Ψ，則稱L0與L1為P-勒讓德等價的.

定義5若存在微分同胚芽

Φ:(×(n×)，Π(z0))→(×(n×)，Π(z1))
Φ(t,x,y)=(φ1(t),φ2(t,x,y),φ3(t,x,y)),

使Φ(W(L0))=W(L1)，則稱波前集W(L0)與W(L1)具有微分同胚的分歧.

注1：由定義不難看出，若L0與L1為P-勒讓德等價的，則二者的波前具有微分同胚的分歧；由Zakalyukin定理[8]，對一般的1-參數(shù)勒讓德開折，反之也成立.

2 生成族

受到Arnold-Zakalyukin理論[8，9]的啟發(fā)，我們可以定義1-參數(shù)勒讓德開折的生成族，并且證得兩個1-參數(shù)勒讓德開折為P-勒讓德等價的當且僅當它們的生成族為穩(wěn)定t-P-K-等價的.從而利用生成族在t-P-K-等價關(guān)系下的分類研究1-參數(shù)勒讓德開折在P-勒讓德等價關(guān)系下的分類.

定義6設(shè)函數(shù)芽F：((×n)×k)→(,0)，

若d2F|為非奇異的，則稱F為廣義相位函數(shù)芽.

注2:(1)若F為廣義相位函數(shù)芽，則C(F)=d2F-1(0)為光滑的n+1維流形芽；(2)πF:(C(F),0)→(πF(t,x,q)=t)為淹沒芽.

ΦF:(C(F),0)→J1(×n,)為

其中

根據(jù)Arnold-Zakalyukin的理論[8-9]，可得下面的命題:

命題所有的勒讓德開折均可用上面的方法構(gòu)造.

于是有如下定義:

定義7稱函數(shù)芽

F:(×(n×)×k,0)→(,0)，
F(t,x,y,q)=F(t,x,q)-y

為ΦF的生成族.

下面我們定義勒讓德開折的生成族之間的等價關(guān)系.

Φ:(×(n×)×k,0)→(×(n×)×k,0)
Φ(t,x,y,q)=(φ1(t),φ2(t,x,y),φ3(t,x,y),φ4(t,x,y,q))

注3:穩(wěn)定的t-P-K-等價的概念與勒讓德浸入芽關(guān)于勒讓德等價的穩(wěn)定性的概念相同.

若

與勒讓德奇點理論的中的相關(guān)證明類似，我們有如下定理:

3 多重勒讓德開折及其生成族

為了對完全可積偏微分方程的幾何解的圖的分歧進行分類，我們需要借助多重勒讓德開折的奇點分類，為此，本部分給出多重勒讓德開折的概念，同時對其基本性質(zhì)進行研究.

下面給出多重勒讓德開折的概念，并建立多重勒讓德開折之間的等價關(guān)系.

定義11設(shè)Li：(R，u0)→(J1(×n，),zi)(i=1，…，r)均為勒讓德開折，z1,…，zr互不相同，Π(zi)=0，稱(L1，…，Lr)為多重勒讓德開折.

Ki：(J1(×n,),zi)→J1(×n,),)(i=1,…，r),Ki(t,x,y,s,p)=(φ1(t),φ2(t,x,y),φ3(t,x,y),(t,x,y,s,p),(t,x,y,s,p))

Φ:(×(n×)，0)→(×(n×)，0)，
Φ(t,x,y)=(φ1(t),φ2(t,x,y),φ3(t,x,y)),

下面仿照勒讓德開折的生成族之間t-P-K-等價的概念給出多重勒讓德開折的多重生成族之間的t-(P-K)(r)-等價的概念:

Φi：(×(n×)×k,0)→(×(n×)×k,0)(i=1，…，r)，
Φi(t,x,y,q)=(φ1(t),φ2(t,x,y),φ3(t,x,y),(t,x,y,q))

注5:穩(wěn)定的t-(P-K)(r)-等價的概念與勒讓德浸入芽關(guān)于勒讓德等價的穩(wěn)定性的概念相同.

多勒讓德開折與其生成族的關(guān)系如下:

與P-K余維數(shù)的定義類似，我們也有(P-K)(r)余維數(shù)的定義:

dim

若

由文獻[10]中的通用性定理，可得下面的結(jié)果:

4 多重函數(shù)芽的K(r)-等價及余維估計

為了將多重勒讓德開折的多重生成族進行分類，本部分考慮多重函數(shù)芽的概念，并研究其在K(r)-等價關(guān)系下的余維估計定理.本部分的結(jié)果是對多重生成族進行分類的基礎(chǔ).首先給出多重函數(shù)芽的概念:

定義17設(shè)fi：(k,0)→(,0)(i=1，…，r)均為光滑函數(shù)芽，稱f=(f1，…，fr)為多重函數(shù)芽.

下面定義多重函數(shù)芽之間的K(r)-等價關(guān)系:

定義18設(shè)f0=(f0,1，…，f0,r)與g0=(g0,1，…，g0,r)均為多重函數(shù)芽.若對任意i=1,…，r,f0,i與g0,i均K-等價，則稱多重函數(shù)芽f0與g0是K(r)-等價的.

其中

由定義我們易得(P-K)(r)-通用形變與K(r)-通用形變的關(guān)系如下:

定理5設(shè)f=(f1，…，fr)為多重函數(shù)芽,其中

fi:(n×)×k,0)→(，0)(i=1，…，r)

為光滑函數(shù)芽，f0=(f0,1，…，f0,r)=(f1|(0×0)×k，…，fr|(0×0)×k)，則

其中K-cod(f0,i)=dimEq/〈，…，，f0，i〉Eq.

證明:因為

K-cod(f0,i)=dimE(x,y,q)/〈，…，，fi〉E(x,y,q)+M(x,y)E(x,y,q).

所以

[1]S.Izumiya.Generic properties of first order partial differential equations[C].Topology Hawaii,1992,91～100.

[2]S.Izumiya,J.Yu.How to define singular solutions[J].Kodai Mathematical Journal,1993,16:227～234.

[3]S.Izumiya,G.T.Kossioris.Semi-local classification of geometric singularities for Hamilton-Jacobi equations[J].Journal of Differential Equation,1995,118:166～193.

[4]M.Takahashi.Bifurcations of ordinary differential equations of Clairaut type[J].Journal of Differential Equation,2003,190:578～599.

[5]M.Takahashi.Bifurcations of holonomic systems of general Clairaut type[J].Hokkaido Mathematical Journal,2006,35:905～934.

[6]M.Takahashi.Bifurcations of completely integrable first-order ordinary differential equations[J].Journal of Mathematical Sciences,2007,144:3854～3869.

[7]J.B.Xu,L.Chen,W.Z.Sun.Bifurcations of completely integrable 2-variable first-order partial differential equations[J].J.Math.Anal.Appl.,2011,381:638～648.

[8]V.M.Zakalyukin.Reconstructions of fronts and caustics depending on a parameter and versality of mappings[J].J.Soviet Math.,1983,27:2713～2735.

[9]V.I.Arnol'd,S.M.Gusein-Zade,A.N.Varchenko.Singularities of differentiable maps[M].1nd ed.Birkhauser:1986.

[10]J.Damon.The unfolding and determinacy theorems for supgroups of A and K[J].Memo.Amer.Math.Soc.,1984,50(506):1～88.